Elektromagnetický čtyř potenciál - Electromagnetic four-potential - Wikipedia

Články o
Elektromagnetismus
Elektřina Magnetismus Dějiny Učebnice
Elektrostatika Elektrický náboj Coulombův zákon Dirigent Hustota náboje Permitivita Elektrický dipólový moment Elektrické pole Elektrický potenciál Elektrický tok  / potenciální energie Elektrostatický výboj Gaussův zákon Indukce Izolátor Hustota polarizace Statická elektřina Triboelektřina
Magnetostatika Ampereův zákon Biot – Savartův zákon Gaussův zákon pro magnetismus Magnetické pole Magnetický tok Magnetický dipólový moment Magnetická propustnost Magnetický skalární potenciál Magnetizace Magnetomotorická síla Pravidlo pravé ruky
Elektrodynamika Lorentzův silový zákon Elektromagnetická indukce Faradayův zákon Lenzův zákon Zdvihový proud Potenciál magnetického vektoru Maxwellovy rovnice Elektromagnetické pole Elektromagnetický puls Elektromagnetická radiace Maxwellův tenzor Poyntingův vektor Liénard – Wiechertův potenciál Jefimenkovy rovnice Vířivý proud Londýnské rovnice Matematické popisy elektromagnetického pole
Elektrická síť Střídavý proud Kapacita Stejnosměrný proud Elektrický proud Elektrolýza Hustota proudu Joule topení Elektromotorická síla Impedance Indukčnost Ohmův zákon Paralelní obvod Odpor Rezonanční dutiny Sériový obvod Napětí Vlnovody
Koviantní formulace Elektromagnetický tenzor (tenzor napětí a energie ) Čtyřproudové Elektromagnetický čtyř potenciál
Vědci Ampér Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Jindřich Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Zpěvák Tesla Volta Weber

An elektromagnetický čtyř potenciál je relativistické vektorová funkce ze kterého elektromagnetické pole lze odvodit. Kombinuje obojí elektrický skalární potenciál a a potenciál magnetického vektoru do jednoho čtyři-vektor.^[1]

Měřeno v daném referenční rámec a za dané měřidlo, první složka elektromagnetického čtyř potenciálu se běžně považuje za elektrický skalární potenciál a další tři složky tvoří potenciál magnetického vektoru. Zatímco jak skalární, tak vektorový potenciál závisí na rámci, elektromagnetický čtyřpotenciál je Lorentzův kovariant.

Stejně jako ostatní potenciály, mnoho různých elektromagnetických čtyř potenciálů odpovídá stejnému elektromagnetickému poli, v závislosti na volbě měřidla.

Tento článek používá notace tenzorového indexu a Minkowského metrika podepsat konvenci (+ − − −). Viz také kovariance a kontravariance vektorů a zvyšování a snižování indexů pro více informací o notaci. Vzorce jsou uvedeny v SI jednotky a Gaussian-cgs jednotky.

Definice

The elektromagnetický čtyř potenciál lze definovat jako:^[2]

SI jednotky	Gaussovy jednotky
${ displaystyle A ^ { alpha} = left ( phi / c, mathbf {A} right) , !}$	${ displaystyle A ^ { alpha} = ( phi, mathbf {A})}$

ve kterém ϕ je elektrický potenciál, a A je magnetický potenciál (A vektorový potenciál ). Jednotky A^α jsou PROTI ·s ·m⁻¹ v SI a Mx ·cm⁻¹ v Gaussian-cgs.

Elektrická a magnetická pole spojená s těmito čtyřmi potenciály jsou:^[3]

SI jednotky	Gaussovy jednotky
${ displaystyle mathbf {E} = - mathbf { nabla} phi - { frac { částečné mathbf {A}} { částečné t}}}$	${ displaystyle mathbf {E} = - mathbf { nabla} phi - { frac {1} {c}} { frac { částečný mathbf {A}} { částečný t}}}$
${ displaystyle mathbf {B} = mathbf { nabla} krát mathbf {A}}$	${ displaystyle mathbf {B} = mathbf { nabla} krát mathbf {A}}$

v speciální relativita se elektrické a magnetické pole transformuje pod Lorentzovy transformace. Toto lze napsat ve formě a tenzor - elektromagnetický tenzor. Toto je psáno z hlediska elektromagnetického čtyř potenciálu a čtyřstupňový tak jako:

${ displaystyle F ^ { mu nu} = částečné ^ { nu} A ^ { mu} - částečné ^ { mu} A ^ { nu} = { begin {bmatrix} 0 & -E_ { x} / c & -E_ {y} / c & -E_ {z} / c E_ {x} / c & 0 & -B_ {z} & B_ {y} E_ {y} / c & B_ {z} & 0 & -B_ { x} E_ {z} / c & -B_ {y} & B_ {x} a 0 end {bmatrix}}}$

za předpokladu, že podpis Minkowski metrika je (+ - - -). Pokud je uvedený podpis místo (- + + +), pak ${ displaystyle F ^ { mu nu} = částečné ^ { mu} A ^ { nu} - částečné ^ { nu} A ^ { mu}}$. To v podstatě definuje čtyři potenciál z hlediska fyzikálně pozorovatelných veličin a redukce na výše uvedenou definici.

V Lorenzově rozchodu

Často Stav měřidla Lorenz ${ displaystyle částečné _ { alpha} A ^ { alpha} = 0}$ v setrvačný referenční rámec slouží ke zjednodušení Maxwellovy rovnice tak jako:^[2]

SI jednotky	Gaussovy jednotky
${ displaystyle Box A ^ { alpha} = mu _ {0} J ^ { alpha}}$	${ displaystyle Box A ^ { alpha} = { frac {4 pi} {c}} J ^ { alpha}}$

kde J^α jsou komponenty čtyřproudový, a

${ displaystyle Box = { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2}} { částečné t ^ {2}}} - nabla ^ {2}}$

je d'Alembertian operátor. Pokud jde o skalární a vektorový potenciál, stává se tato poslední rovnice:

SI jednotky	Gaussovy jednotky
${ displaystyle Box phi = { frac { rho} { epsilon _ {0}}}}$	${ displaystyle Box phi = 4 pi rho}$
${ displaystyle Box mathbf {A} = mu _ {0} mathbf {j}}$	${ displaystyle Box mathbf {A} = { frac {4 pi} {c}} mathbf {j}}$

Za daný poplatek a rozdělení proudu ρ(r, t) a j(r, t), řešení těchto rovnic v jednotkách SI jsou:^[3]

${ displaystyle phi ( mathbf {r}, t) = { frac {1} {4 pi epsilon _ {0}}} int mathrm {d} ^ {3} x ^ { prime} { frac { rho ( mathbf {r} ^ { prime}, t_ {r})} { left | mathbf {r} - mathbf {r} ^ { prime} vpravo |}}}$

${ displaystyle mathbf {A} ( mathbf {r}, t) = { frac { mu _ {0}} {4 pi}} int mathrm {d} ^ {3} x ^ { prime} { frac { mathbf {j} ( mathbf {r} ^ { prime}, t_ {r})} { left | mathbf {r} - mathbf {r} ^ { prime} vpravo |}},}$

kde

${ displaystyle t_ {r} = t - { frac { left | mathbf {r} - mathbf {r} ' right |} {c}}}$

je zpožděný čas. To je někdy také vyjádřeno pomocí

${ displaystyle rho ( mathbf {r} ', t_ {r}) = [ rho ( mathbf {r}', t)],}$

kde hranaté závorky jsou určeny k označení, že čas by měl být vyhodnocen v retardovaném čase. Samozřejmě, protože výše uvedené rovnice jsou jednoduše řešením an nehomogenní diferenciální rovnice k nim lze přidat jakékoli řešení homogenní rovnice, aby byla splněna okrajové podmínky. Tato homogenní řešení obecně představují vlny šířící se ze zdrojů mimo hranici.

Když jsou integrály výše hodnoceny pro typické případy, např. oscilačního proudu (nebo náboje), bylo zjištěno, že poskytují jak složku magnetického pole, která se mění podle r⁻² (dále jen indukční pole ) a složka klesající jako r⁻¹ (dále jen radiační pole ).^{[je zapotřebí objasnění ]}

Diskuse

Když zploštělý do a jeden formulář, A lze rozložit pomocí Hodgeova věta o rozkladu jako součet an přesný, koaxiální a harmonická forma,

${ displaystyle A = d alpha + delta beta + gamma}$.

V kombinaci s definicí elektromagnetický tenzor F = dA, tento rozklad ukazuje, že svoboda měřidla v A je zcela obsažen uvnitř da a y.

Viz také

• Čtyři-vektor
• Kovarianční formulace klasického elektromagnetismu
• Jefimenkovy rovnice
• Gluonové pole

Reference

• Rindler, Wolfgang (1991). Úvod do speciální relativity (2.). Oxford: Oxford University Press. ISBN  0-19-853952-5.
• Jackson, J. D. (1999). Klasická elektrodynamika (3.). New York: Wiley. ISBN  0-471-30932-X.