Výměna omezujících operací - Interchange of limiting operations

v matematika, studium výměna omezujících operací je jednou z hlavních obav o matematická analýza, v těchto dvou daných omezujících operacích, řekněme L a M, nemůže být předpokládaný poskytnout stejný výsledek při použití v obou pořadích. Jedním z historických pramenů pro tuto teorii je studium trigonometrická řada.[1]

Formulace

V symbolech předpoklad

LM = ML,

Kde levá strana znamená, že M nejprve se použije L, a naopak na pravá strana, není platný rovnice mezi matematické operátory, za všech okolností a pro všechny operandy. Algebraista by řekl, že operace ne dojíždět. Přístup použitý v analýze je poněkud odlišný. Jsou nazývány závěry, které předpokládají, že omezující operace budou „dojíždět“ formální. Analytik se pokouší vymezit podmínky, za kterých jsou takové závěry platné; jinými slovy matematická přesnost je stanovena specifikací určité sady dostatečných podmínek pro udržení formální analýzy. Tento přístup ospravedlňuje například představu jednotná konvergence.[2] Je poměrně vzácné, že jsou nezbytné i takové dostatečné podmínky, aby mohla ostřejší část analýzy rozšířit oblast platnosti formálních výsledků.

Odborně řečeno, analytici proto posouvají obálku technik a rozšiřují význam dobře vychovaný pro daný kontext. G. H. Hardy napsal, že „Problém rozhodování, zda jsou dvě dané limitní operace komutativní, je jedním z nejdůležitějších v matematice“.[3] Názor zjevně není ve prospěch kusového přístupu, ale ponechání analýzy na úrovni heuristický, bylo to z Richard Courant.

Příklady

Existuje mnoho příkladů, jedním z nejjednodušších je a dvojitá sekvence Am,n: nemusí nutně platit, že operace s ohledem na limity jako m → ∞ a jako n → ∞ lze volně zaměňovat.[4] Například vezměte

Am,n = 2m − n

ve kterém brát limit jako první s ohledem na n dává 0 as ohledem na m dává ∞.

Mnoho ze základních výsledků nekonečně malý počet také spadají do této kategorie: symetrie parciálních derivací, diferenciace pod integrálním znaménkem, a Fubiniho věta vypořádat se s výměnou diferenciace a integrace operátory.

Jedním z hlavních důvodů, proč Lebesgueův integrál se používá je, že existují věty, například dominující věta o konvergenci, které poskytují dostatečné podmínky, za kterých lze zaměnit integraci a omezit provoz. Nezbytné a dostatečné podmínky pro tuto výměnu objevil Federico Cafiero.[5]

Seznam souvisejících vět

Viz také

Poznámky

  1. ^ "Trigonometrická řada", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
  2. ^ Carothers, N.L. (2000). Skutečná analýza. New York: Cambridge University Press. p.150. ISBN  0-521-49749-3.
  3. ^ V příloze Poznámka k operacím s dvojím limitem na Kurz čisté matematiky.
  4. ^ Knapp, Anthony W. (2005). Základní reálná analýza. Boston: Birkhäuser. p. 13. ISBN  0-8176-3250-6.
  5. ^ Cafiero, Federico (1953). „Sul passaggio al limite sotto il segno d'integrale per successioni d'integrali di Stieltjes-Lebesgue negli spazi astratti, con masse variabili con gli integrandi“. Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. 22: 223–245. PAN  0057951. Zbl  0052.05003.