Diferenciace integrálů - Differentiation of integrals

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Červen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, problém diferenciace integrálů spočívá v určení, za jakých okolností střední hodnota integrální vhodné funkce na malém sousedství bodu přibližuje hodnotu funkce v daném bodě. Více formálně, vzhledem k prostoru X s opatření μ a a metrický d, jeden se ptá, jaké funkce F : X → R dělá

${displaystyle lim _ {r o 0} {frac {1} {mu {ig (} B_ {r} (x) {ig)}}} int _ {B_ {r} (x)} f (y), mathrm {d} mu (y) = f (x)}$

pro všechny (nebo alespoň μ-téměř všechny ) X ∈ X? (Tady, stejně jako ve zbytku článku, B_r(X) označuje otevřený míč v X s d-poloměr r a střed X.) Je to přirozená otázka, zejména s ohledem na heuristickou konstrukci Riemannův integrál, ve kterém je téměř implicitní F(X) je „dobrým zástupcem“ pro hodnoty F u X.

Věty o diferenciaci integrálů

Lebesgueovo opatření

Jedním z výsledků diferenciace integrálů je Lebesgueova věta o diferenciaci, jak dokazuje Henri Lebesgue v roce 1910. Zvažte n-dimenzionální Lebesgueovo opatření λⁿ na n-dimenzionální Euklidovský prostor Rⁿ. Pak pro všechny lokálně integrovatelná funkce F : Rⁿ → R, jeden má

${displaystyle lim _ {r o 0} {frac {1} {lambda ^ {n} {ig (} B_ {r} (x) {ig)}}} int _ {B_ {r} (x)} f ( y), mathrm {d} lambda ^ {n} (y) = f (x)}$

pro λⁿ- téměř všechny body X ∈ Rⁿ. Je však důležité si uvědomit, že nulová množina „špatných“ bodů míry závisí na funkci F.

Borel měří na Rⁿ

Výsledek pro Lebesgueovo opatření se ukazuje jako zvláštní případ následujícího výsledku, který je založen na Besicovitchova věta o krytí: pokud μ je jakýkoli místně konečné Borelův rozměr na Rⁿ a F : Rⁿ → R je místně integrovatelný s ohledem na μ, pak

${displaystyle lim _ {r o 0} {frac {1} {mu {ig (} B_ {r} (x) {ig)}}} int _ {B_ {r} (x)} f (y), mathrm {d} mu (y) = f (x)}$

pro μ- téměř všechny body X ∈ Rⁿ.

Gaussovy míry

Problém diferenciace integrálů je v nekonečně dimenzionálním prostředí mnohem těžší. Zvažte a oddělitelný Hilbertův prostor (H, 〈,〉) Vybavené a Gaussova míra y. Jak je uvedeno v článku o Vitalijská krycí věta, Vitalijská krycí věta selže pro Gaussovy míry na nekonečně dimenzionálních Hilbertových prostorech. Dva výsledky Davida Preissa (1981 a 1983) ukazují druh obtíží, na které lze v tomto prostředí čekat:

• Existuje Gaussova míra y na oddělitelném Hilbertově prostoru H a sada Borel M ⊆ H tak, že pro y-téměř všechny X ∈ H,

${displaystyle lim _ {r o 0} {frac {gamma {ig (} Mcap B_ {r} (x) {ig)}} {gamma {ig (} B_ {r} (x) {ig)}}} = 1.}$

• Existuje Gaussova míra y na oddělitelném Hilbertově prostoru H a funkce F ∈ L¹(H, y; R) takové, že

${displaystyle lim _ {r o 0} inf left {left. {frac {1} {gamma {ig (} B_ {s} (x) {ig)}}} int _ {B_ {s} (x)} f (y), mathrm {d} gama (y) ight | xin H, 0$

Existuje však určitá naděje, pokud bude mít člověk dobrou kontrolu nad kovariance z y. Nechte operátora kovariance y být S : H → H dána

${displaystyle langle Sx, yangle = int _ {H} langle x, zangle langle y, zangle, mathrm {d} gama (z),}$

nebo pro některé počitatelný ortonormální základ (E_i)_i∈N z H,

${displaystyle Sx = součet _ {iin mathbf {N}} sigma _ {i} ^ {2} langle x, e_ {i} úhel e_ {i}.}$

V roce 1981 Preiss a Jaroslav Tišer ukázali, že pokud existuje konstanta 0 <q <1 takový

${displaystyle sigma _ {i + 1} ^ {2} leq qsigma _ {i} ^ {2},}$

pak pro všechny F ∈ L¹(H, y; R),

${displaystyle {frac {1} {mu {ig (} B_ {r} (x) {ig)}}} int _ {B_ {r} (x)} f (y), mathrm {d} mu (y) {xrightarrow [{r o 0}] {gamma}} f (x),}$

kde je konvergence konvergence v míře s ohledem na y. V roce 1988 Tišer ukázal, že pokud

${displaystyle sigma _ {i + 1} ^ {2} leq {frac {sigma _ {i} ^ {2}} {i ^ {alpha}}}}$

pro některé α > 5/2, pak

${displaystyle {frac {1} {mu {ig (} B_ {r} (x) {ig)}}} int _ {B_ {r} (x)} f (y), mathrm {d} mu (y) {xrightarrow [{r o 0}] {}} f (x),}$

pro y-téměř všechny X a všechno F ∈ L^str(H, y; R), str > 1.

Od roku 2007 stále zůstává otevřenou otázkou, zda existuje nekonečně rozměrná Gaussova míra y na oddělitelném Hilbertově prostoru H tak, že pro všechny F ∈ L¹(H, y; R),

${displaystyle lim _ {r o 0} {frac {1} {gamma {ig (} B_ {r} (x) {ig)}}} int _ {B_ {r} (x)} f (y), mathrm {d} gama (y) = f (x)}$

pro y-téměř všechny X ∈ H. Předpokládá se však, že žádné takové opatření neexistuje, protože σ_i bude muset velmi rychle chátrat.

Viz také

• Diferenciace pod integrálním znaménkem

Reference

• Preiss, David; Tišer, Jaroslav (1982). "Diferenciace opatření na Hilbertově prostoru". Teorie měření, Oberwolfach 1981 (Oberwolfach, 1981). Přednášky z matematiky. 945. Berlín: Springer. 194–207. doi:10.1007 / BFb0096675. PAN  0675283.
• Tišer, Jaroslav (1988). „Věta o diferenciaci pro Gaussovy míry na Hilbertově prostoru“ (PDF). Transakce Americké matematické společnosti. 308 (2): 655–666. doi:10.2307/2001096. JSTOR  2001096. PAN  0951621.