Heine – Cantorova věta - Heine–Cantor theorem

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Dubna 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Heine – Cantorova věta, pojmenoval podle Eduard Heine a Georg Cantor, uvádí, že pokud F : M → N je spojitá funkce mezi dvěma metrické prostory, a M je kompaktní, pak F je rovnoměrně spojité. Důležitým zvláštním případem je, že každá spojitá funkce z a Zavřeno ohraničený interval do reálná čísla je rovnoměrně spojitá.

Důkaz

Předpokládejme to ${ displaystyle M}$ a ${ displaystyle N}$ jsou dva metrické prostory s metrikami ${ displaystyle d_ {M}}$ a ${ displaystyle d_ {N}}$, resp. Předpokládejme dále ${ displaystyle f: M až N}$ je kontinuální, a to ${ displaystyle M}$ je kompaktní. Chceme to ukázat ${ displaystyle f}$ je jednotně kontinuální, to znamená pro každého ${ displaystyle varepsilon> 0}$ tady existuje ${ displaystyle delta> 0}$ tak, že pro všechny body ${ displaystyle x, y}$ v doména ${ displaystyle M}$, ${ displaystyle d_ {M} (x, y) < delta}$ to naznačuje ${ displaystyle d_ {N} (f (x), f (y)) < varepsilon}$.

Opravte některé ${ displaystyle varepsilon> 0}$. Kontinuitou, pro jakýkoli bod ${ displaystyle x}$ v doméně ${ displaystyle M}$, existují nějaké ${ displaystyle delta _ {x}> 0}$ takhle ${ displaystyle d_ {N} (f (x), f (y)) < varepsilon / 2}$ když ${ displaystyle y}$ je uvnitř ${ displaystyle delta _ {x}}$ z ${ displaystyle x}$.

Nechat ${ displaystyle U_ {x}}$ být otevřeno ${ displaystyle delta _ {x} / 2}$- sousedství ${ displaystyle x}$, tj soubor

${ displaystyle U_ {x} = left {y mid d_ {M} (x, y) <{ frac {1} {2}} delta _ {x} right }.}$

Od každého bodu ${ displaystyle x}$ je obsažen v jeho vlastní ${ displaystyle U_ {x}}$, zjistíme, že kolekce ${ displaystyle {U_ {x} mid x v M }}$ je otevřený Pokrýt z ${ displaystyle M}$. Od té doby ${ displaystyle M}$ je kompaktní, tento kryt má konečnou podobu ${ displaystyle {U_ {x_ {1}}, U_ {x_ {2}}, ldots, U_ {x_ {n}} }}$ kde ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {n} v M}$. Každá z těchto otevřených sad má přidružený poloměr ${ displaystyle delta _ {x_ {i}} / 2}$. Pojďme nyní definovat ${ displaystyle delta = min _ {1 leq i leq n} delta _ {x_ {i}} / 2}$, tj. minimální poloměr těchto otevřených množin. Protože máme konečný počet kladných poloměrů, toto minimum ${ displaystyle delta}$ je dobře definovaný a pozitivní. Nyní to ukazujeme ${ displaystyle delta}$ pracuje na definici jednotné kontinuity.

Předpokládejme to ${ displaystyle d_ {M} (x, y) < delta}$ pro dva ${ displaystyle x, y}$ v ${ displaystyle M}$. Protože sady ${ displaystyle U_ {x_ {i}}}$ tvoří otevřený (pod) obal našeho prostoru ${ displaystyle M}$, víme, že ${ displaystyle x}$ musí ležet v jednom z nich, řekněme ${ displaystyle U_ {x_ {i}}}$. Pak tu máme ${ displaystyle d_ {M} (x, x_ {i}) <{ frac {1} {2}} delta _ {x_ {i}}}$. The nerovnost trojúhelníku pak to naznačuje

${ displaystyle d_ {M} (x_ {i}, y) leq d_ {M} (x_ {i}, x) + d_ {M} (x, y) <{ frac {1} {2}} delta _ {x_ {i}} + delta leq delta _ {x_ {i}},}$

z toho vyplývá ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ jsou oba nanejvýš ${ displaystyle delta _ {x_ {i}}}$ pryč od ${ displaystyle x_ {i}}$. Podle definice ${ displaystyle delta _ {x_ {i}}}$, z toho vyplývá, že ${ displaystyle d_ {N} (f (x_ {i}), f (x))}$ a ${ displaystyle d_ {N} (f (x_ {i}), f (y))}$ jsou oba menší než ${ displaystyle varepsilon / 2}$. Aplikováním nerovnosti trojúhelníku se získá požadované

${ displaystyle d_ {N} (f (x), f (y)) leq d_ {N} (f (x_ {i}), f (x)) + d_ {N} (f (x_ {i} ), f (y)) <{ frac { varepsilon} {2}} + { frac { varepsilon} {2}} = varepsilon.}$

Pro alternativní důkaz v případě ${ displaystyle M = [a, b]}$, uzavřený interval, viz článek Nestandardní počet.

externí odkazy

• Heine – Cantorova věta na PlanetMath.
• Důkaz Heine-Cantorovy věty na PlanetMath.