Interiérový produkt - Interior product
v matematika, vnitřní produkt (také známý jako derivát interiéru, multiplikace interiéru, vnitřní množení, vnitřní derivace, operátor vloženínebo vnitřní derivace) je stupeň −1 (anti) odvození na vnější algebra z diferenciální formy na hladké potrubí. Vnitřní produkt, pojmenovaný v opozici vůči vnější produkt, by neměla být zaměňována s vnitřní produkt. Produkt pro interiér ιXω je někdy psáno jako X ⨼ ω.[1]
Definice
Produkt interiéru je definován jako kontrakce a diferenciální forma s vektorové pole. Tedy pokud X je vektorové pole na potrubí M, pak
je mapa který pošle a p-formulář ω do (p-1) -forma ιXω definováno vlastností, která
pro všechna vektorová pole X1, ..., Xp−1.
Produkt v interiéru je jedinečný antiderivace stupně -1 na vnější algebra takové, že na jedné formě α
- ,
kde ⟨ , ⟩ je duality párování mezi α a vektor X. Výslovně, pokud β je p- tedy forma
Výše uvedený vztah říká, že produkt v interiéru se řídí odstupňovanou Leibnizovo pravidlo. Operace splňující linearitu a Leibnizovo pravidlo se nazývá derivace.
Vlastnosti
Antisymetrií forem
a tak . To lze přirovnat k vnější derivace d, který má tuto vlastnost d ∘ d = 0.
Produkt pro interiér se týká vnější derivace a Derivát lži různých forem podle Cartanův vzorec (aka Cartan identita, Vzorec kartotékové homotopy[2] nebo Cartan magický vzorec):
Tato identita definuje dualitu mezi vnějšími a vnitřními deriváty. Cartanova identita je důležitá v symplektická geometrie a obecná relativita: viz momentová mapa.[3] Vzorec kartotékové homotopy je pojmenován po Élie Cartan.[4]
Produkt interiéru s ohledem na komutátor dvou vektorových polí , uspokojuje identitu
Viz také
Poznámky
- ^ Znak ⨼ je U + 2A3C Unicode
- ^ Út, Sec 20.5.
- ^ Existuje další vzorec, který se nazývá „Cartanův vzorec“. Vidět Steenrodova algebra.
- ^ Je „Cartanova magická formulace“ způsobena Élie nebo Henri?, mathoverflow, 2010-09-21, vyvoláno 2018-06-25
Reference
- Theodore Frankel, Geometrie fyziky: Úvod; Cambridge University Press, 3. vyd. 2011
- Loring W. Tu, Úvod do rozdělovačů, 2e, Springer. 2011. doi:10.1007/978-1-4419-7400-6