Reynoldsova věta o transportu - Reynolds transport theorem

v diferenciální počet, Reynoldsova věta o transportu (také známý jako Leibniz – Reynoldsův transportní teorém), nebo v krátkosti Reynoldsova věta, je trojrozměrné zobecnění Leibnizovo integrální pravidlo který je také známý jako diferenciace pod integrálním znaménkem Věta je pojmenována po Osborne Reynolds (1842–1912). Používá se k přepracování derivací integrovaných veličin a je užitečný při formulování základních rovnic mechanika kontinua.

Zvažte integraci F = F(X,t) v časově závislém regionu Ω (t) to má hranici ∂Ω (t), poté vezmeme derivaci s ohledem na čas:

${displaystyle {frac {d} {dt}} int _ {Omega (t)} mathbf {f}, dV.}$

Pokud chceme přesunout derivaci v rámci integrálu, existují dva problémy: časová závislost Fa zavedení a odstranění prostoru z Ω díky své dynamické hranici. Reynoldsova věta o transportu poskytuje nezbytný rámec.

Obecná forma

Reynoldsovu teorém o transportu lze vyjádřit následovně:^[1][2][3]

${displaystyle {frac {d} {dt}} int _ {Omega (t)} mathbf {f}, dV = int _ {Omega (t)} {frac {částečný mathbf {f}} {částečný t}}, dV + int _ {částečné Omega (t)} vlevo (mathbf {v} ^ {b} cdot mathbf {n} ight) mathbf {f}, dA}$

ve kterém n(X,t) je ven směřující jednotka normální vektor, X je bod v regionu a je proměnnou integrace, dV a dA jsou objemové a povrchové prvky v X, a proti^b(X,t) je rychlost plošného prvku (ne rychlost proudění). Funkce F mohou mít tenzorovou, vektorovou nebo skalární hodnotu.^[4] Všimněte si, že integrál na levé straně je funkcí pouze času, a proto byla použita celková derivace.

Formulář pro hmotný prvek

V mechanice kontinua se tato věta často používá materiální prvky. Jedná se o balíky tekutin nebo pevných látek, do kterých žádný materiál nevstupuje ani z nich neodchází. Li Ω (t) je hmotný prvek, pak existuje rychlostní funkce proti = proti(X,t)a hraniční prvky poslouchají

${displaystyle mathbf {v} ^ {b} cdot mathbf {n} = mathbf {v} cdot mathbf {n}.}$

Tuto podmínku lze nahradit za získání:^[5]

${displaystyle {frac {d} {dt}} vlevo (int _ {Omega (t)} mathbf {f}, dVight) = int _ {Omega (t)} {frac {částečný mathbf {f}} {částečný t} }, dV + int _ {částečné Omega (t)} (mathbf {v} cdot mathbf {n}) mathbf {f}, dA.}$

Důkaz hmotného prvku

Nechat Ω0 být referenční konfigurací regionu Ω (t). Nechte pohyb a gradient deformace být dán ${displaystyle mathbf {x} = {oldsymbol {varphi}} (mathbf {X}, t),}$ ${displaystyle {oldsymbol {F}} (mathbf {X}, t) = {oldsymbol {abla}} {oldsymbol {varphi}}.}$ Nechat J(X,t) = det F(X,t). Definovat ${displaystyle {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t) = mathbf {f} ({oldsymbol {varphi}} (mathbf {X}, t), t).}$ Pak jsou integrály v aktuální a referenční konfiguraci příbuzné ${displaystyle {egin {aligned} int _ {Omega (t)} mathbf {f} (mathbf {x}, t), dV & = int _ {Omega _ {0}} mathbf {f} ({oldsymbol {varphi}} (mathbf {X}, t), t), J (mathbf {X}, t), dV_ {0} & = int _ {Omega _ {0}} {hat {mathbf {f}}} (mathbf { X}, t), J (mathbf {X}, t), dV_ {0} .end {aligned}}}$ To, že tato derivace je pro materiálový prvek, je implicitní v časové konstantě referenční konfigurace: v materiálových souřadnicích je konstantní. Časová derivace integrálu na objem je definována jako ${displaystyle {frac {d} {dt}} vlevo (int _ {Omega (t)} mathbf {f} (mathbf {x}, t), dVight) = lim _ {Delta tightarrow 0} {frac {1} { Delta t}} vlevo (int _ {Omega (t + Delta t)} mathbf {f} (mathbf {x}, t + Delta t), dV-int _ {Omega (t)} mathbf {f} (mathbf { x}, t), dVight).}$ Převádíme na integrály přes referenční konfiguraci a dostaneme ${displaystyle {frac {d} {dt}} vlevo (int _ {Omega (t)} mathbf {f} (mathbf {x}, t), dVight) = lim _ {Delta tightarrow 0} {frac {1} { Delta t}} vlevo (int _ {Omega _ {0}} {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t + Delta t), J (mathbf {X}, t + Delta t), dV_ {0} -int _ {Omega _ {0}} {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t), J (mathbf {X}, t), dV_ {0} ight).}$ Od té doby Ω0 je nezávislý na čase, máme ${displaystyle {egin {aligned} {frac {d} {dt}} vlevo (int _ {Omega (t)} mathbf {f} (mathbf {x}, t), dVight) & = int _ {Omega _ {0 }} vlevo (lim _ {Delta tightarrow 0} {frac {{hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t + Delta t), J (mathbf {X}, t + Delta t) - {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t), J (mathbf {X}, t)} {Delta t}} ight), dV_ {0} & = int _ {Omega _ {0}} {frac {částečné} {částečné t}} vlevo ({hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t), J (mathbf {X}, t) ight), dV_ {0} & = int _ {Omega _ {0}} vlevo ({frac {částečné} {částečné t}} {ig (} {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t) {ig)}, J (mathbf { X}, t) + {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t), {frac {částečné} {částečné t}} {ig (} J (mathbf {X}, t) {ig) } ight), dV_ {0} .end {zarovnáno}}}$ Časová derivace J darováno:[6] ${displaystyle {egin {aligned} {frac {částečné J (mathbf {X}, t)} {částečné t}} = {frac {částečné} {částečné t}} (det {oldsymbol {F}}) & = (det {oldsymbol {F}}) ({oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v}) & = J (mathbf {X}, t), {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} {ig (} {oldsymbol {varphi}} (mathbf {X}, t), t {ig)} & = J (mathbf {X}, t), {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} (mathbf {x}, t) .end {zarovnáno}}}$ Proto, ${displaystyle {egin {aligned} {frac {d} {dt}} vlevo (int _ {Omega (t)} mathbf {f} (mathbf {x}, t), dVight) & = int _ {Omega _ {0 }} vlevo ({frac {částečné} {částečné t}} vlevo ({hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t) ight), J (mathbf {X}, t) + {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t), J (mathbf {X}, t), {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} (mathbf {x}, t) ight), dV_ {0} & = int _ {Omega _ {0}} vlevo ({frac {částečné} {částečné t}} vlevo ({hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t) ight) + {hat {mathbf {f}}} (mathbf {X}, t), {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} (mathbf {x}, t) ight), J (mathbf {X}, t), dV_ {0} & = int _ {Omega (t)} vlevo ({tečka {mathbf {f}}} (mathbf {x}, t) + mathbf {f} (mathbf {x}, t), {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} (mathbf {x}, t) ight), dV.end {zarovnáno}}}$ kde ${displaystyle {dot {mathbf {f}}}}$ je materiální časová derivace z F. Materiálová derivace je dána vztahem ${displaystyle {dot {mathbf {f}}} (mathbf {x}, t) = {frac {částečný mathbf {f} (mathbf {x}, t)} {částečný t}} + {ig (} {oldsymbol { abla}} mathbf {f} (mathbf {x}, t) {ig)} cdot mathbf {v} (mathbf {x}, t).}$ Proto, ${displaystyle {frac {d} {dt}} vlevo (int _ {Omega (t)} mathbf {f} (mathbf {x}, t), dVight) = int _ {Omega (t)} vlevo ({frac { parciální mathbf {f} (mathbf {x}, t)} {parciální t}} + {ig (} {oldsymbol {abla}} mathbf {f} (mathbf {x}, t) {ig)} cdot mathbf {v } (mathbf {x}, t) + mathbf {f} (mathbf {x}, t), {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} (mathbf {x}, t) ight), dV,}$ nebo, ${displaystyle {frac {d} {dt}} vlevo (int _ {Omega (t)} mathbf {f}, dVight) = int _ {Omega (t)} vlevo ({frac {částečný mathbf {f}} {částečný t}} + {oldsymbol {abla}} mathbf {f} cdot mathbf {v} + mathbf {f}, {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} ight), dV.}$ Používání identity ${displaystyle {oldsymbol {abla}} cdot (mathbf {v} otimes mathbf {w}) = mathbf {v} ({oldsymbol {abla}} cdot mathbf {w}) + {oldsymbol {abla}} mathbf {v} cdot mathbf {w},}$ pak máme ${displaystyle {frac {d} {dt}} vlevo (int _ {Omega (t)} mathbf {f}, dVight) = int _ {Omega (t)} vlevo ({frac {částečný mathbf {f}} {částečný t}} + {oldsymbol {abla}} cdot (mathbf {f} často mathbf {v}) ight), dV.}$ Za použití věta o divergenci a totožnost (A ⊗ b) · n = (b · n)A, my máme ${displaystyle {egin {aligned} {frac {d} {dt}} vlevo (int _ {Omega (t)} mathbf {f}, dVight) & = int _ {Omega (t)} {frac {částečný mathbf {f }} {částečné t}}, dV + int _ {částečné Omega (t)} (mathbf {f} jiné mathbf {v}) cdot mathbf {n}, dA & = int _ {Omega (t)} {frac {částečný mathbf {f}} {částečný t}}, dV + int _ {částečný Omega (t)} (mathbf {v} cdot mathbf {n}) mathbf {f}, dA.qquad čtvercový konec {zarovnáno}}}$

Zvláštní případ

Pokud vezmeme Ω být tedy konstantní s ohledem na čas proti_b = 0 a identita se snižuje na

${displaystyle {frac {d} {dt}} int _ {Omega} f, dV = int _ {Omega} {frac {částečné f} {částečné t}}, dV.}$

podle očekávání. (Toto zjednodušení není možné, pokud je rychlost proudění nesprávně použita namísto rychlosti plošného prvku.)

Výklad a redukce do jedné dimenze

Věta je vyšší dimenzionální rozšíření diferenciace pod integrálním znaménkem a v některých případech se redukuje na tento výraz. Předpokládat F je nezávislý na y a z, a to Ω (t) je jednotkový čtverec v yz- letadlo a má X limity A(t) a b(t). Poté se Reynoldsova transportní věta redukuje na

${displaystyle {frac {d} {dt}} int _ {a (t)} ^ {b (t)} f (x, t), dx = int _ {a (t)} ^ {b (t)} {frac {částečné f} {částečné t}}, dx + {frac {částečné b (t)} {částečné t}} f {ig (} b (t), t {ig)} - {frac {částečné a (t )} {částečné t}} f {ig (} a (t), t {ig)} ,,}$

které až do výměny X a t, je standardní výraz pro diferenciaci pod integrálním znaménkem.

Viz také

• Diferenciace pod integrálním znaménkem
• Leibnizovo integrální pravidlo

Poznámky

Reference

• Leal, L. G. (2007). Pokročilé transportní jevy: mechanika tekutin a konvektivní transportní procesy. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-84910-4.
• Marsden, J. E.; Tromba, A. (2003). Vektorový počet (5. vydání). New York: W. H. Freeman. ISBN  978-0-7167-4992-9.
• Reynolds, O. (1903). Články o mechanických a fyzikálních předmětech. Sv. 3, Sub-mechanika vesmíru. Cambridge: Cambridge University Press.

externí odkazy

• Osborne Reynolds, Collected Papers on Mechanical and Physical Subject, ve třech svazcích, publikovaný kolem roku 1903, nyní plně a volně dostupný v digitálním formátu: Hlasitost 1, Svazek 2, Svazek 3,
• „Modul 6 - Reynoldsova transportní věta“. ME6601: Úvod do mechaniky tekutin. Georgia Tech. Archivovány od originál 27. března 2008.
• http://planetmath.org/reynoldstransporttheorem