Tomahawk (geometrie) - Tomahawk (geometry)

Tomahawk s rukojetí a hrotem zesíleným

The tomahavk je nástroj v geometrie pro úhlová trisekce, problém rozdělení úhel na tři stejné části. Hranice jeho tvaru zahrnují a půlkruh a dva úsečky, uspořádané způsobem, který se podobá a tomahavk, indiánská sekera.[1][2] Stejný nástroj byl také nazýván obuvnický nůž,[3] ale toto jméno se běžněji používá v geometrii pro označení jiného tvaru, arbelos (křivočarý trojúhelník ohraničený třemi vzájemně tangenciálními půlkruhy).[4]

Popis

Základní tvar tomahawku se skládá z půlkruhu („čepel“ tomahawku), s úsečkou o délce poloměru táhnoucí se podél stejné čáry jako průměr půlkruhu (jehož špička je „hrot“) tomahawku) a s dalším úsečkovým segmentem libovolné délky („rukojeť“ tomahawku) kolmým k průměru. Aby se z něj stal fyzický nástroj, jeho rukojeť a hrot mohou být zesíleny, pokud bude úsečka podél rukojeti nadále součástí hranice tvaru. Na rozdíl od související trisekce pomocí a tesařské náměstí, druhou stranu zesílené rukojeti není třeba dělat rovnoběžně s tímto úsečkovým segmentem.[1]

V některých zdrojích se používá spíše plný kruh než půlkruh,[5] nebo je tomahawk také zesílen podél průměru svého půlkruhu,[6] ale tyto úpravy nijak nezmění působení tomahawku jako trisektoru.

Roztrojení

Tomahawk protínající úhel. Rukojeť INZERÁT tvoří jeden trisektor a tečkovanou čáru AC do středu půlkruhu tvoří druhý.

Chcete-li použít tomahawk k protržení úhlu, je umístěn tak, aby se jeho rukojeť dotýkala vrcholu úhlu, přičemž čepel byla uvnitř úhlu, tečna k jednomu ze dvou paprsků tvořících úhel a hrot se dotýkal druhého paprsku úhel. Jedna ze dvou trisekčních linií pak leží na segmentu rukojeti a druhá prochází středem půlkruhu.[1][6] Pokud je úhel, který má být trisected, vzhledem k délce rukojeti tomahawku příliš ostrý, nemusí být možné Tomahawk tímto způsobem do tohoto úhlu vložit, ale tento problém lze vyřešit opakovaným zdvojnásobením úhlu, dokud nebude velký dost na to, aby ho tomahawk rozkrojil, a poté opakovaně půlil rozkrojený úhel, tolikrát, kolikrát se zdvojnásobil původní úhel.[2]

Pokud je označen vrchol úhlu A, bod tečnosti čepele je B, střed půlkruhu je C, horní část rukojeti je Da bodec je E, potom trojúhelníky ACD a ADE jsou oba pravé trojúhelníky se sdílenou základnou a stejnou výškou, takže jsou shodné trojúhelníky. Protože po stranách AB a před naším letopočtem trojúhelníku ABC jsou dotyčnicí a poloměrem půlkruhu, jsou navzájem kolmé a ABC je také pravý trojúhelník; má stejnou přeponu jako ACD a stejné délky stran před naším letopočtem = CD, takže je opět v souladu s dalšími dvěma trojúhelníky, což ukazuje, že tři úhly vytvořené na vrcholu jsou stejné.[5][6]

Ačkoli tomahawk může být sám konstruován pomocí a kompas a pravítko,[7] a může být použit pro trisect úhel, to není v rozporu Pierre Wantzel Věta z roku 1837, že libovolné úhly nelze roztrhat pomocí kompasu a samotné neoznačené přímky.[8] Důvodem je to, že umístění zkonstruovaného tomahawku do požadované polohy je formou neusis to není povoleno v konstrukcích kompasů a pravítek.[9]

Dějiny

Vynálezce tomahawku není znám,[1][10] ale nejstarší zmínky o něm pocházejí z Francie 19. století. To sahá přinejmenším až do roku 1835, kdy se objevil v knize od Claude Lucien Bergery, Géométrie appliquée à l'industrie, à l'usage des artistes et des ouvriers (3. vydání).[1] Další časnou publikaci stejné trisekce vytvořil Henri Brocard v roce 1877;[11] Brocard zase připisuje svůj vynález monografii francouzského námořního důstojníka z roku 1863 Pierre-Joseph Glotin [d ].[12][13][14]

Reference

  1. ^ A b C d E Yates, Robert C. (1941), "Trisection Problem, Kapitola III: Mechanické trisektory", Národní matematický časopis, 15 (6): 278–293, JSTOR  3028413, PAN  1569903.
  2. ^ A b Gardner, Martin (1975), Matematický karneval: od hlavolamů, míchání karet a triků bleskových kalkulaček až po jízdu na horské dráze do čtvrté dimenze, Knopf, s. 262–263.
  3. ^ Dudley, Underwood (1996), Trisektory„MAA Spectrum (2. vyd.), Cambridge University Press, s. 14–16, ISBN  9780883855140.
  4. ^ Alsina, Claudi; Nelsen, Roger B. (2010), „9.4 Obuvnický nůž a solný sklep“, Okouzlující důkazy: Cesta do elegantní matematiky, Dolciani Mathematical Expositions, 42, Mathematical Association of America, str. 147–148, ISBN  9780883853481.
  5. ^ A b Meserve, Bruce E. (1982), Základní pojmy algebry, Publikace Courier Dover, s. 244, ISBN  9780486614700.
  6. ^ A b C Isaacs, I. Martin (2009), Geometrie pro vysokoškolákyČisté a aplikované vysokoškolské texty, 8, American Mathematical Society, str. 209–210, ISBN  9780821847947.
  7. ^ Eves, Howard Whitley (1995), College Geometry, Jones & Bartlett Learning, s. 191, ISBN  9780867204759.
  8. ^ Wantzel, L. (1837), „Recherches sur les moyens de reconnaître si un Problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas“, Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (francouzsky), 1 (2): 366–372.
  9. ^ Slovo „neusis“ popisuje La Nave, Federica; Mazur, Barry (2002), „Reading Bombelli“, Matematický zpravodaj, 24 (1): 12–21, doi:10.1007 / BF03025306, PAN  1889932 ve smyslu „rodina konstrukcí závislých na jediném parametru“, ve které, jak se parametr mění, dojde při požadované hodnotě parametru k nějaké kombinatorické změně konstrukce. La Nave a Mazur popisují jiné trisekce než tomahawk, ale stejný popis platí i zde: tomahawk umístěný s rukojetí na vrcholu, parametrizovaný polohou hrotu na jeho paprsku, dává rodinu konstrukcí, ve kterých jsou relativní polohy čepel a její paprsek se mění, když je hrot umístěn ve správném bodě.
  10. ^ Aaboe, Asger (1997), Epizody z raných dějin matematiky, Nová matematická knihovna, 13, Mathematical Association of America, str. 87, ISBN  9780883856130.
  11. ^ Brocard, H. (1877), „Note sur la division mécanique de l'angle“, Bulletin de la Société Mathématique de France (francouzsky), 5: 43–47.
  12. ^ Glotin (1863), „De quelques moyens pratiques de diviser les angles en parties égales“, Mémoires de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux (francouzsky), 2: 253–278.
  13. ^ George E. Martin (1998), PŘEDMLUVA ke geometrickým konstrukcím
  14. ^ Dudley (1996) nesprávně píše tato jména jako Bricard a Glatin.

externí odkazy