Schoenflies notace - Schoenflies notation
The Schoenflies (nebo Schönflies) notace, pojmenoval podle Němec matematik Arthur Moritz Schoenflies, je notace primárně používaná ke specifikaci bodové skupiny ve třech rozměrech. Protože skupina bodů sama o sobě je zcela dostačující k popisu symetrie molekuly, zápis je často dostačující a běžně používaný pro spektroskopie. Nicméně v krystalografie, existuje další translační symetrie a bodové skupiny nestačí k popisu úplné symetrie krystalů, takže úplná vesmírná skupina místo toho se obvykle používá. Pojmenování skupin s úplným prostorem obvykle následuje další běžnou konvenci, Hermann – Mauguinova notace, známý také jako mezinárodní notace.
Ačkoli notace Schoenflies bez horních skriptů je čistě bodová skupinová notace, volitelně lze přidat horní skripty pro další určení jednotlivých skupin prostorů. U vesmírných skupin však připojení k podkladovému prvky symetrie je mnohem jasnější v notaci Hermann – Mauguin, proto je druhá notace obvykle preferována pro vesmírné skupiny.
Symetrické prvky
Symetrické prvky jsou označeny i pro inverzní centra, C pro správné osy otáčení, σ pro zrcadlové roviny a S pro nesprávné osy otáčení (osy rotace a odrazu ). C a S obvykle následuje číslo dolního indexu (abstraktně označeno n) označující možné pořadí otáčení.
Podle konvence je osa správné rotace největšího řádu definována jako hlavní osa. Všechny ostatní prvky symetrie jsou popsány ve vztahu k ní. Je označena vertikální rovina zrcadla (obsahující hlavní osu) σproti; označuje se vodorovná rovina zrcadla (kolmá k hlavní ose) σh.
Skupiny bodů
Ve třech dimenzích existuje nekonečné množství skupin bodů, ale všechny lze klasifikovat několika rodinami.
- Cn (pro cyklický ) má nosa rotace skládání.
- Cnh je Cn s přidáním zrcadlové (odrazové) roviny kolmé k ose otáčení (vodorovná rovina).
- Cnv je Cn s přidáním n zrcadlové roviny obsahující osu otáčení (svislé roviny).
- Cs označuje skupinu pouze s rovinou zrcadlení (pro Spiegel, Němec pro zrcadlo) a žádné další prvky symetrie.
- S2n (pro Spiegel, Němčina pro zrcadlo ) obsahuje pouze 2n-složit osa rotace a odrazu. Index by měl být i proto, že kdy n je liché a n-fold osa rotace a odrazu je ekvivalentní kombinaci n- tedy složená osa otáčení a kolmá rovina Sn = Cnh pro liché n.
- Cni má jen a osa rotoinverze. Tyto symboly jsou nadbytečné, protože libovolná osa rotoinverze může být vyjádřena jako osa rotace a odrazu, tedy pro liché n Cni = S2n a C2ni = Sn = Cnha dokonce n C2ni = S2n. Pouze Ci (význam C1i) se běžně používá, ale v některých textech můžete vidět symboly jako C3i, C5i.
- Dn (pro vzepětí, nebo oboustranný) má n-násobná osa otáčení plus n dvojí osy kolmé na tuto osu.
- Dnh má navíc vodorovnou rovinu zrcadla a v důsledku toho také n vertikální roviny zrcadla, z nichž každá obsahuje n-násobná osa a jedna z dvojitých os.
- Dnd má kromě prvků Dn, n vertikální roviny zrcadla, které procházejí mezi dvojitými osami (úhlopříčné roviny).
- T (chirál čtyřboká skupina) má osy rotace čtyřstěnu (tři 2-násobné osy a čtyři 3-násobné osy).
- Td zahrnuje diagonální roviny zrcadla (každá diagonální rovina obsahuje pouze jednu dvojitou osu a prochází mezi dvěma dalšími dvojitými osami, jako v D2d). Toto přidání diagonálních rovin má za následek tři nesprávné operace otáčení S4.
- Th obsahuje tři vodorovné roviny zrcadla. Každá rovina obsahuje dvě dvojité osy a je kolmá na třetí dvojitou osu, což má za následek inverzní střed i.
- Ó (chirál osmistěn skupina) má osy otáčení osmistěnu nebo krychle (tři 4násobné osy, čtyři 3násobné osy a šest diagonálních 2násobných os).
- Óh zahrnuje horizontální roviny zrcadla a v důsledku toho vertikální roviny zrcadlení. Obsahuje také inverzní centrum a nesprávné rotační operace.
- Já (chirál icosahedral skupina) označuje, že skupina má osy rotace dvacetistěnu nebo dvanáctistěn (šest 5násobných os, deset 3násobných os a 15 2násobných os).
- Jáh zahrnuje vodorovné zrcadlové roviny a obsahuje také inverzní střed a nesprávné rotační operace.
Všechny skupiny, které neobsahují několik os vyššího řádu (řád 3 nebo více), lze uspořádat do tabulky, jak je znázorněno níže; symboly označené červeně by se neměly používat.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | ... | ∞ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Cn | C1 | C2 | C3 | C4 | C5 | C6 | C7 | C8 | C∞ | |
| Cnv | C1v = C1 hod | C2v | C3v | C4v | C5v | C6v | C7v | C8v | C.V | |
| Cnh | C1 hod = Cs | C2h | C3h | C4h | C5h | C6h | C7h | C8h | C.H | |
| Sn | S1 = Cs | S2 = Ci | S3 = C3h | S4 | S5 = C5h | S6 | S7 = C7h | S8 | S∞ = C.H | |
| Cni (redundantní) | C1i = Ci | C2i = Cs | C3i = S6 | C4i = S4 | C5i = S10 | C6i = C3h | C7i = S14 | C8i = S8 | C.I = C.H | |
| Dn | D1 = C2 | D2 | D3 | D4 | D5 | D6 | D7 | D8 | D∞ | |
| Dnh | D1 hod = C2v | D2h | D3h | D4h | D5h | D6h | D7h | D8h | D.H | |
| Dnd | D1d = C2h | D2d | D3d | D4d | D5 d | D6d | D7d | D8d | D.D = D.H |
V krystalografii kvůli krystalografická věta o omezení, n je omezen na hodnoty 1, 2, 3, 4 nebo 6. Nekrystalické skupiny jsou zobrazeny šedě. D4d a D6d jsou také zakázány, protože obsahují nesprávné otáčení s n = 8, respektive 12. 27 skupin bodů v tabulce plus T, Td, Th, Ó a Óh tvoří 32 krystalografické skupiny bodů.
Skupiny s n = ∞ se nazývají limitní skupiny nebo Curie skupiny. Existují další dvě limitní skupiny, které nejsou uvedeny v tabulce: K. (pro Kugel, Němec pro míč, koule), skupina všech rotací v trojrozměrném prostoru; a K.h, skupina všech rotací a odrazů. V matematice a teoretické fyzice jsou známí jako speciální ortogonální skupina a ortogonální skupina v trojrozměrném prostoru se symboly SO (3) a O (3).
Vesmírné skupiny
The vesmírné skupiny s danou bodovou skupinou jsou očíslovány 1, 2, 3, ... (ve stejném pořadí jako jejich mezinárodní číslo) a toto číslo je přidáno jako horní index k symbolu Schönflies pro odpovídající skupinu bodů. Například skupiny čísel 3 až 5, jejichž bodová skupina je C2 mají symboly Schönflies C1
2, C2
2, C3
2.
Zatímco v případě bodových skupin symbol Schönflies jednoznačně definuje prvky symetrie skupiny, další horní index pro vesmírnou skupinu nemá žádné informace o translační symetrii prostorové skupiny (centrování mřížky, translační komponenty os a rovin), proto je potřeba odkazovat na speciální tabulky obsahující informace o korespondenci mezi Schönflies a Hermann – Mauguinova notace. Taková tabulka je uvedena v Seznam vesmírných skupin strana.
Viz také
Reference
- Flurry, R. L., Skupiny symetrie: Teorie a chemické aplikace. Prentice-Hall, 1980. ISBN 978-0-13-880013-0 LCCN: 79-18729
- Bavlna, F. A., Chemické aplikace teorie skupinJohn Wiley & Sons: New York, 1990. ISBN 0-471-51094-7
- Harris, D., Bertolucci, M., Symetrie a spektroskopie. New York, Dover Publications, 1989.