Hankelova transformace - Hankel transform

v matematika, Hankelova transformace vyjadřuje jakoukoli danou funkci F(r) jako vážený součet nekonečného počtu Besselovy funkce prvního druhu $J ν (kr)$ . Besselovy funkce v součtu jsou všechny stejného řádu ν, ale liší se v měřítku k podél r osa. Potřebný koeficient $F ν$ každé Besselovy funkce v součtu, jako funkce měřítka k představuje transformovanou funkci. Hankelova transformace je integrální transformace a byl poprvé vyvinut matematikem Hermann Hankel. Je také známá jako Fourier-Besselova transformace. Stejně jako Fourierova transformace pro nekonečný interval souvisí s Fourierova řada přes konečný interval, takže Hankelova transformace přes nekonečný interval souvisí s Série Fourier – Bessel v konečném intervalu.

Definice

The Hankelova transformace řádu ${ displaystyle nu}$ funkce F(r) darováno

{ displaystyle F _ { nu} (k) = int _ {0} ^ { infty} f (r) J _ { nu} (kr) , r , mathrm {d} r,}

kde ${ displaystyle J _ { nu}}$ je Besselova funkce prvního druhu objednávky ${ displaystyle nu}$ s ${ displaystyle nu geq -1/2}$ . Inverzní Hankelova transformace $F ν (k)$ je definován jako

{ displaystyle f (r) = int _ {0} ^ { infty} F _ { nu} (k) J _ { nu} (kr) , k , mathrm {d} k,}

které lze snadno ověřit pomocí níže popsaného vztahu ortogonality.

Doména definice

Invertování Hankelovy transformace funkce F(r) je platný v každém okamžiku, kdy F(r) je spojitý, za předpokladu, že funkce je definována v (0, ∞), je po částech spojitý a má omezenou variabilitu v každém konečném podintervalu v (0, ∞) a

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} | f (r) | , r ^ { frac {1} {2}} , mathrm {d} r < infty.}

Stejně jako Fourierova transformace však lze doménu rozšířit argumentem hustoty, aby zahrnoval některé funkce, jejichž výše uvedený integrál není konečný, například ${ displaystyle f (r) = (1 + r) ^ {- 3/2}}$ .

Alternativní definice

Alternativní definice říká, že Hankelova transformace G(r) je^[1]

{ displaystyle h _ { nu} (k) = int _ {0} ^ { infty} g (r) J _ { nu} (kr) , { sqrt {kr}} , mathrm {d } r.}

Tyto dvě definice spolu souvisejí:

Li

{ displaystyle g (r) = f (r) { sqrt {r}}}

, pak

{ displaystyle h _ { nu} (k) = F _ { nu} (k) { sqrt {k}}.}

To znamená, že stejně jako u předchozí definice je takto definovaná Hankelova transformace také svou vlastní inverzí:

{ displaystyle g (r) = int _ {0} ^ { infty} h _ { nu} (k) J _ { nu} (kr) , { sqrt {kr}} , mathrm {d } k.}

Zjevná doména má nyní podmínku

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} | g (r) | , mathrm {d} r < infty,}

ale toto může být prodlouženo. Podle výše uvedeného odkazu můžeme vzít integrál jako limit, protože horní limit jde do nekonečna (an nesprávný integrál spíše než a Lebesgueův integrál ), a tímto způsobem Hankelova transformace a její inverzní práce pro všechny funkce v L² (0, ∞).

Transformace Laplaceovy rovnice

K transformaci a řešení lze použít Hankelovou transformaci Laplaceova rovnice vyjádřeno ve válcových souřadnicích. V rámci Hankelovy transformace se Besselův operátor stává násobením ${ displaystyle -q ^ {2}}$ .^[2] V osově symetrickém případě je parciální diferenciální rovnice transformována jako

{ displaystyle { mathcal {H}} _ {0} left {{ frac { částečné ^ {2} u} { částečné r ^ {2}}} + { frac {1} {r} } { frac { částečné u} { částečné r}} + { frac { částečné ^ {2} u} { částečné z ^ {2}}} pravé } = - q ^ {2} U + { frac { částečné ^ {2}} { částečné z ^ {2}}} U,}

což je obyčejná diferenciální rovnice v transformované proměnné ${ displaystyle U}$ .

Ortogonalita

Besselovy funkce tvoří ortogonální základ s ohledem na váhový faktor r:^[3]

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} J _ { nu} (kr) J _ { nu} (k'r) , r , mathrm {d} r = { frac { delta (k-k ')} {k}}, quad k, k'> 0.}

Plancherelova věta a Parsevalova věta

Li F(r) a G(r) jsou takové, že se jejich Hankel transformuje $F ν (k)$ a $G ν (k)$ jsou dobře definované, pak Plancherelův teorém státy

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} f (r) g (r) , r , mathrm {d} r = int _ {0} ^ { infty} F _ { nu} (k) G _ { nu} (k) , k , mathrm {d} k.}

Parsevalova věta, které státy

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} | f (r) | ^ {2} , r , mathrm {d} r = int _ {0} ^ { infty} | F_ { nu} (k) | ^ {2} , k , mathrm {d} k,}

je zvláštní případ Plancherelovy věty. Tyto věty lze dokázat pomocí vlastnosti ortogonality.

Vztah k vícerozměrné Fourierově transformaci

Hankelova transformace se objeví, když se zapíše vícerozměrná Fourierova transformace hypersférické souřadnice, což je důvod, proč se Hankelova transformace často objevuje ve fyzických problémech s válcovou nebo sférickou symetrií.

Zvažte funkci ${ displaystyle f ( mathbf {r})}$ a ${ textstyle d}$ -dimenzionální vektor $r$ . Své ${ textstyle d}$ -dimenzionální Fourierova transformace je definována jako

{ displaystyle F ( mathbf {k}) = int _ { mathbb {R} ^ {d}} f ( mathbf {r}) e ^ {- i mathbf {k} cdot mathbf {r }} , mathrm {d} mathbf {r}.}

Abychom jej přepsali na hypersférické souřadnice, můžeme použít rozklad rovinné vlny na

{ textstyle d}

-dimenzionální hypersférické harmonické

{ displaystyle Y_ {l, m}}

:^[4]

{ displaystyle e ^ {- i mathbf {k} cdot mathbf {r}} = (2 pi) ^ {d / 2} (kr) ^ {1-d / 2} součet _ {l = 0} ^ {+ infty} (- i) ^ {l} J_ {d / 2-1 + l} (kr) sum _ {m} Y_ {l, m} ( Omega _ { mathbf {k }}) Y_ {l, m} ^ {*} ( Omega _ { mathbf {r}}),}

kde

{ textstyle Omega _ { mathbf {r}}}

a

{ textstyle Omega _ { mathbf {k}}}

jsou množiny všech hypersférických úhlů v

{ displaystyle mathbf {r}}

-prostor a

{ displaystyle mathbf {k}}

-prostor. To dává následující výraz pro

{ textstyle d}

-dimenzionální Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích:

{ displaystyle F ( mathbf {k}) = (2 pi) ^ {d / 2} k ^ {1-d / 2} součet _ {l = 0} ^ {+ infty} (- i) ^ {l} sum _ {m} Y_ {l, m} ( Omega _ { mathbf {k}}) int _ {0} ^ {+ infty} J_ {d / 2-1 + l} (kr) r ^ {d / 2} mathrm {d} r int f ( mathbf {r}) Y_ {l, m} ^ {*} ( Omega _ { mathbf {r}}) mathrm {d} Omega _ { mathbf {r}}.}

Pokud se rozšíříme

{ displaystyle f ( mathbf {r})}

a

{ displaystyle F ( mathbf {k})}

v hypersférických harmonických:

{ displaystyle f ( mathbf {r}) = součet _ {l = 0} ^ {+ infty} součet _ {m} f_ {l, m} (r) Y_ {l, m} ( Omega _ { mathbf {r}}), quad F ( mathbf {k}) = sum _ {l = 0} ^ {+ infty} sum _ {m} F_ {l, m} (k) Y_ {l, m} ( Omega _ { mathbf {k}}),}

Fourierova transformace v hypersférických souřadnicích se zjednodušuje

{ displaystyle k ^ {d / 2-1} F_ {l, m} (k) = (2 pi) ^ {d / 2} (- i) ^ {l} int _ {0} ^ {+ infty} r ^ {d / 2-1} f_ {l, m} (r) J_ {d / 2-1 + l} (kr) r mathrm {d} r.}

To znamená, že funkce s úhlovou závislostí ve formě hypersférické harmonické ji zachovávají na vícerozměrné Fourierově transformaci, zatímco radiální část prochází Hankelovou transformací (až na některé další faktory, jako je

{ textstyle r ^ {d / 2-1}}

).

Speciální případy

Fourierova transformace ve dvou dimenzích

Pokud je dvourozměrná funkce $F (r)$ je rozšířen v a vícepólová řada,

{ displaystyle f (r, theta) = součet _ {m = - infty} ^ { infty} f_ {m} (r) e ^ {im theta _ { mathbf {r}}},}

pak je jeho dvourozměrná Fourierova transformace dána

{ displaystyle F ( mathbf {k}) = 2 pi sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im theta _ { mathbf {k}}} F_ {m} (k), }

kde

{ displaystyle F_ {m} (k) = int _ {0} ^ { infty} f_ {m} (r) J_ {m} (kr) , r , mathrm {d} r}

je

{ textstyle m}

-Hankelova transformace řádu

{ displaystyle f_ {m} (r)}

(v tomto případě

{ textstyle m}

hraje roli momentu hybnosti, který byl označen

{ textový styl}

v předchozí části).

Fourierova transformace ve třech rozměrech

Pokud je trojrozměrná funkce $F (r)$ je rozšířen v a vícepólová řada přes sférické harmonické,

{ displaystyle f (r, theta _ { mathbf {r}}, varphi _ { mathbf {r}}) = součet _ {l = 0} ^ {+ infty} součet _ {m = -l} ^ {+ l} f_ {l, m} (r) Y_ {l, m} ( theta _ { mathbf {r}}, varphi _ { mathbf {r}}),}

pak je jeho trojrozměrná Fourierova transformace dána

{ displaystyle F (k, theta _ { mathbf {k}}, varphi _ { mathbf {k}}) = (2 pi) ^ {3/2} součet _ {l = 0} ^ {+ infty} (- i) ^ {l} sum _ {m = -l} ^ {+ l} F_ {l, m} (k) Y_ {l, m} ( theta _ { mathbf { k}}, varphi _ { mathbf {k}}),}

kde

{ displaystyle { sqrt {k}} F_ {l, m} (k) = int _ {0} ^ {+ infty} { sqrt {r}} f_ {l, m} (r) J_ { l + 1/2} (kr) r mathrm {d} r.}

je Hankelova transformace

{ displaystyle { sqrt {r}} f_ {l, m} (r)}

řádu

{ textový styl (l + 1/2)}

.

Tento druh Hankelovy transformace poločíselného řádu je také známý jako sférická Besselova transformace.

Fourierova transformace $d$ rozměry (radiálně symetrický případ)

Pokud $d$ -dimenzionální funkce $F (r)$ nezávisí na úhlových souřadnicích, pak na $d$ -dimenzionální Fourierova transformace $F (k)$ také nezávisí na úhlových souřadnicích a je dán vztahem^[5]

{ displaystyle k ^ {d / 2-1} F (k) = (2 pi) ^ {d / 2} int _ {0} ^ {+ infty} r ^ {d / 2-1} f (r) J_ {d / 2-1} (kr) r mathrm {d} r.}

což je Hankelova transformace

{ displaystyle r ^ {d / 2-1} f (r)}

řádu

{ textstyle (d / 2-1)}

až na faktor

{ displaystyle (2 pi) ^ {d / 2}}

.

2D funkce uvnitř omezeného poloměru

Pokud je dvourozměrná funkce $F (r)$ je rozšířen v a vícepólová řada a koeficienty roztažnosti $F m$ jsou dostatečně hladké v blízkosti počátku a nula vně poloměru $R$ , radiální část $F (r)/ r m$ lze rozšířit na výkonovou řadu $1- (r / R) ^ 2$ :

{ displaystyle f_ {m} (r) = r ^ {m} součet _ {t geq 0} f_ {m, t} vlevo (1- vlevo ({ tfrac {r} {R}} vpravo) ^ {2} vpravo) ^ {t}, quad 0 leq r leq R,}

tak, že dvojrozměrná Fourierova transformace $F (r)$ se stává

{ displaystyle { begin {zarovnáno} F ( mathbf {k}) & = 2 pi sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im theta _ {k}} sum _ {t } f_ {m, t} int _ {0} ^ {R} r ^ {m} left (1- left ({ tfrac {r} {R}} right) ^ {2} right) ^ {t} J_ {m} (kr) r , mathrm {d} r && & = 2 pi sum _ {m} i ^ {- m} e ^ {im theta _ {k}} R ^ {m + 2} sum _ {t} f_ {m, t} int _ {0} ^ {1} x ^ {m + 1} (1-x ^ {2}) ^ {t} J_ {m} (kxR) , mathrm {d} x && (x = { tfrac {r} {R}}) & = 2 pi sum _ {m} i ^ {- m} e ^ { im theta _ {k}} R ^ {m + 2} sum _ {t} f_ {m, t} { frac {t! 2 ^ {t}} {(kR) ^ {1 + t}} } J_ {m + t + 1} (kR), end {zarovnáno}}}

kde poslední rovnost vyplývá z §6,567.1 ze dne.^[6] Koeficienty roztažnosti $F m, t$ jsou přístupné pomocí diskrétní Fourierova transformace techniky:^[7] pokud je radiální vzdálenost zmenšena

{ Displaystyle r / R equiv sin theta, quad 1- (r / R) ^ {2} = cos ^ {2} theta,}

koeficienty Fourier-Čebyševovy řady $G$ se objeví jako

{ displaystyle f (r) ekviv r ^ {m} součet _ {j} g_ {m, j} cos (j theta) = r ^ {m} součet _ {j} g_ {m, j } T_ {j} ( cos theta).}

Pomocí opětovné expanze

{ displaystyle cos (j theta) = 2 ^ {j-1} cos ^ {j} theta - { frac {j} {1}} 2 ^ {j-3} cos ^ {j- 2} theta + { frac {j} {2}} { binom {j-3} {1}} 2 ^ {j-5} cos ^ {j-4} theta - { frac {j } {3}} { binom {j-4} {2}} 2 ^ {j-7} cos ^ {j-6} theta + cdots}

výnosy $F m, t$ vyjádřeno jako součet $G m, j$ .

To je jedna příchuť technik rychlé Hankelovy transformace.

Vztah k Fourierovým a Ábelovým transformacím

Hankelova transformace je jedním z členů FHA cyklus integrálních operátorů. Ve dvou dimenzích, pokud definujeme $A$ jako Ábelova transformace operátor, $F$ jako Fourierova transformace operátor a $H$ jako operátor Hankelovy transformace s nulovým řádem, pak speciální případ věta o projekci a řezu pro kruhově symetrické funkce uvádí, že

{ displaystyle FA = H.}

Jinými slovy, použití Abelovy transformace na jednorozměrnou funkci a následné použití Fourierovy transformace na tento výsledek je stejné jako použití Hankelovy transformace na tuto funkci. Tuto koncepci lze rozšířit na vyšší dimenze.

Numerické hodnocení

Jednoduchý a efektivní přístup k numerickému vyhodnocení Hankelovy transformace je založen na pozorování, že může být sesláno ve formě konvoluce logaritmickou změnou proměnných^[8]

{ displaystyle r = r_ {0} e ^ {- rho}, quad k = k_ {0} e ^ { kappa}.}

V těchto nových proměnných čte Hankelova transformace

{ displaystyle { tilde {F}} _ { nu} ( kappa) = int _ {- infty} ^ { infty} { tilde {f}} ( rho) { tilde {J} } _ { nu} ( kappa - rho) mathrm {d} rho,}

kde

{ displaystyle { tilde {f}} ( rho) = (r_ {0} e ^ {- rho}) ^ {1-n} f (r_ {0} e ^ {- rho}), quad { tilde {F}} _ { nu} ( kappa) = (k_ {0} e ^ { kappa}) ^ {1 + n} F _ { nu} (k_ {0} e ^ { kappa}), quad { tilde {J}} _ { nu} ( kappa - rho) = (k_ {0} r_ {0} e ^ { kappa - rho}) ^ {1 + n } J _ { nu} (k_ {0} r_ {0} e ^ { kappa - rho}).}

Nyní lze integrál vypočítat numericky pomocí

{ textstyle O (N log N)}

složitost použitím rychlá Fourierova transformace. Algoritmus lze dále zjednodušit použitím známého analytického výrazu pro Fourierovu transformaci

{ textstyle { tilde {J}} _ { nu}}

:^[9]

{ displaystyle int _ {- infty} ^ {+ infty} { tilde {J}} _ { nu} (x) e ^ {- iqx} mathrm {d} x = { frac { Gamma left ({ frac { nu + 1 + n-iq} {2}} right)} { Gamma left ({ frac { nu + 1-n + iq} {2}} right )}} 2 ^ {n-iq} e ^ {iq ln (k_ {0} r_ {0})}.}

Optimální volba parametrů

{ textstyle r_ {0}, k_ {0}, n}

záleží na vlastnostech

{ textstyle f (r)}

, zejména jeho asymptotické chování při

{ textstyle r rightarrow 0}

a

{ textstyle r rightarrow infty}

.

Tento algoritmus je známý jako „kvazi-rychlá Hankelova transformace“ nebo jednoduše „rychlá Hankelova transformace“.

Protože je založen na rychlá Fourierova transformace v logaritmických proměnných, ${ textstyle f (r)}$ musí být definován na logaritmické mřížce. Pro funkce definované na jednotné mřížce existuje celá řada dalších algoritmů, včetně přímých kvadratura, metody založené na věta o projekci a řezu a metody využívající asymptotická expanze Besselových funkcí.^[10]

Některé Hankelovy transformační páry

^[11]

${ displaystyle f (r)}$	${ displaystyle F_ {0} (k)}$
${ displaystyle 1}$	${ displaystyle { frac { delta (k)} {k}}}$
${ displaystyle { frac {1} {r}}}$	${ displaystyle { frac {1} {k}}}$
${ displaystyle r}$	${ displaystyle - { frac {1} {k ^ {3}}}}$
${ displaystyle r ^ {3}}$	${ displaystyle { frac {9} {k ^ {5}}}}$
${ displaystyle r ^ {m}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {m + 1} gama vlevo ({ tfrac {m} {2}} + 1 vpravo)} {k ^ {m + 2} gama vlevo (- { tfrac {m} {2}} right)}}, quad -2 < Re (m) <- { tfrac {1} {2}}}$
${ displaystyle { frac {1} { sqrt {r ^ {2} + z ^ {2}}}}}$	${ displaystyle { frac {e ^ {- k \| z \|}} {k}}}$
${ displaystyle { frac {1} {z ^ {2} + r ^ {2}}}}$	${ displaystyle K_ {0} (kz), quad z in mathbf {C}}$
${ displaystyle { frac {e ^ {iar}} {r}}}$	${ displaystyle { frac {i} { sqrt {a ^ {2} -k ^ {2}}}}, quad a> 0, k$
${ displaystyle { frac {e ^ {iar}} {r}}}$	${ displaystyle { frac {1} { sqrt {k ^ {2} -a ^ {2}}}}, quad a> 0, k> a}$
${ displaystyle e ^ {- { frac {1} {2}} a ^ {2} r ^ {2}}}$	${ displaystyle { frac {1} {a ^ {2}}} e ^ {- { tfrac {k ^ {2}} {2a ^ {2}}}}}$
${ displaystyle { frac {1} {r}} J_ {0} (lr) e ^ {- sr}}$	${ displaystyle { frac {2} { pi { sqrt {(k + l) ^ {2} + s ^ {2}}}}} K { bigg (} { sqrt { frac {4kl} {(k + l) ^ {2} + s ^ {2}}}} { bigg)}}$
${ displaystyle -r ^ {2} f (r)}$	${ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2} F_ {0}} { mathrm {d} k ^ {2}}} + { frac {1} {k}} { frac { mathrm {d} F_ {0}} { mathrm {d} k}}}$

${ displaystyle f (r)}$	${ displaystyle F _ { nu} (k)}$
${ displaystyle r ^ {s}}$	${ displaystyle { frac {2 ^ {s + 1}} {k ^ {s + 2}}} { frac { Gamma left ({ tfrac {1} {2}} (2+ nu + s) right)} { Gamma ({ tfrac {1} {2}} ( nu -s))}}}$
${ displaystyle r ^ { nu -2s} Gamma (s, r ^ {2} h)}$	${ displaystyle { tfrac {1} {2}} left ({ tfrac {k} {2}} right) ^ {2s- nu -2} gamma left (1-s + nu, { tfrac {k ^ {2}} {4h}} vpravo)}$
${ displaystyle e ^ {- r ^ {2}} r ^ { nu} U (a, b, r ^ {2})}$	${ displaystyle { frac { Gamma (2+ nu -b)} {2 Gamma (2+ nu -b + a)}} vlevo ({ tfrac {k} {2}} vpravo) ^ { nu} e ^ {- { frac {k ^ {2}} {4}}} , _ {1} F_ {1} left (a, 2 + a-b + nu, { tfrac {k ^ {2}} {4}} vpravo)}$
${ displaystyle r ^ {n} J _ { mu} (lr) e ^ {- sr}}$	Vyjádřitelné z hlediska eliptické integrály.^[12]
${ displaystyle -r ^ {2} f (r)}$	${ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2} F _ { nu}} { mathrm {d} k ^ {2}}} + { frac {1} {k}} { frac { mathrm {d} F _ { nu}} { mathrm {d} k}} - { frac { nu ^ {2}} {k ^ {2}}} F _ { nu}}$

$K. n (z)$ je upravená Besselova funkce druhého druhu. $K. (z)$ je kompletní eliptický integrál prvního druhu.

Výraz

{ displaystyle { frac { mathrm {d} ^ {2} F_ {0}} { mathrm {d} k ^ {2}}} + { frac {1} {k}} { frac { mathrm {d} F_ {0}} { mathrm {d} k}}}

se shoduje s výrazem pro Operátor Laplace v polární souřadnice $(k, θ)$ aplikován na sféricky symetrickou funkci $F 0 (k)$ .

Hankelova transformace Zernikeovy polynomy jsou v podstatě Besselovy funkce (Noll 1976):

{ displaystyle R_ {n} ^ {m} (r) = (- 1) ^ { frac {nm} {2}} int _ {0} ^ { infty} J_ {n + 1} (k) J_ {m} (kr) , mathrm {d} k}

dokonce $n - m \geq 0$ .

Viz také

Reference

^ Louis de Branges (1968). Hilbertovy prostory celých funkcí. London: Prentice-Hall. p.189. ISBN 978-0133889000.
^ Poularikas, Alexander D. (1996). Příručka transformací a aplikací. Boca Raton Fla .: CRC Press. ISBN 0-8493-8342-0. OCLC 32237017.
^ Ponce de Leon, J. (2015). "Přehodnocení ortogonality Besselových funkcí prvního druhu v nekonečném intervalu". European Journal of Physics. 36 (1): 015016. Bibcode:2015EJPh ... 36a5016P. doi:10.1088/0143-0807/36/1/015016.
^ Avery, James Emil, autor. Hypersférické harmonické a jejich fyzikální aplikace. ISBN 978-981-322-930-3. OCLC 1013827621.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)
^ Faris, William G. (06.12.2008). „Radiální funkce a Fourierova transformace: Poznámky k matematice 583A, podzim 2008“ (PDF). University of Arizona, Department of Mathematics. Citováno 2015-04-25.
^ Gradshteyn, I. S .; Ryzhik, I. M. (2015). Zwillinger, Daniel (ed.). Tabulka integrálů, sérií a produktů (Osmá ed.). Akademický tisk. p. 687. ISBN 978-0-12-384933-5.
^ Secada, José D. (1999). "Numerické vyhodnocení Hankelovy transformace". Comp. Phys. Comm. 116 (2–3): 278–294. Bibcode:1999CoPhC.116..278S. doi:10.1016 / S0010-4655 (98) 00108-8.
^ Siegman, A.E. (1977-07-01). "Kvazi rychlá Hankelova transformace". Optická písmena. 1 (1): 13. Bibcode:1977OptL .... 1 ... 13S. doi:10,1364 / ol. 1.000013. ISSN 0146-9592. PMID 19680315.
^ Talman, James D (říjen 1978). Msgstr "Numerická Fourierova a Besselova transformace v logaritmické proměnné". Journal of Computational Physics. 29 (1): 35–48. Bibcode:1978JCoPh..29 ... 35T. doi:10.1016/0021-9991(78)90107-9. ISSN 0021-9991.
^ Cree, M. J.; Bones, P.J. (červenec 1993). Msgstr "Algoritmy pro numerické vyhodnocení Hankelovy transformace". Počítače a matematika s aplikacemi. 26 (1): 1–12. doi:10.1016/0898-1221(93)90081-6. ISSN 0898-1221.
^ Papoulis, Athanasios (1981). Systémy a transformace s aplikacemi na optiku. Florida USA: Krieger Publishing Company. str. 140–175. ISBN 978-0898743586.
^ Kausel, E .; Irfan Baig, M. M. (2012). „Laplaceova transformace produktů Besselových funkcí: návštěva dřívějších vzorců“ (PDF). Quarterly of Applied Mathematics. 70: 77–97. doi:10.1090 / s0033-569x-2011-01239-2. hdl:1721.1/78923.

Gaskill, Jack D. (1978). Lineární systémy, Fourierovy transformace a optika. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-29288-3.
Polyanin, A. D .; Manžirov, A. V. (1998). Příručka integrálních rovnic. Boca Raton: CRC Press. ISBN 978-0-8493-2876-3.
Smythe, William R. (1968). Statická a dynamická elektřina (3. vyd.). New York: McGraw-Hill. 179–223.
Offord, A. C. (1935). "On Hankel transformuje". Proceedings of the London Mathematical Society. 39 (2): 49–67. doi:10.1112 / plms / s2-39.1.49.
Eason, G .; Noble, B .; Sneddon, I.N. (1955). „O určitých integrálech typu Lipschitz-Hankel zahrnujících produkty Bessel Functions“. Filozofické transakce královské společnosti A. 247 (935): 529–551. Bibcode:1955RSPTA.247..529E. doi:10.1098 / rsta.1955.0005. JSTOR 91565.
Kilpatrick, J. E .; Katsura, Shigetoshi; Inoue, Yuji (1967). "Výpočet integrálů produktů Besselových funkcí". Matematika výpočtu. 21 (99): 407–412. doi:10.1090 / S0025-5718-67-99149-1.
MacKinnon, Robert F. (1972). „Asymptotické expanze Hankelových transformací a souvisejících integrálů“. Matematika výpočtu. 26 (118): 515–527. doi:10.1090 / S0025-5718-1972-0308695-9. JSTOR 2003243.
Linz, Peter; Kropp, T. E. (1973). „Poznámka k výpočtu integrálů zahrnujících produkty trigonometrických a Besselových funkcí“. Matematika výpočtu. 27 (124): 871–872. doi:10.2307/2005522. JSTOR 2005522.
Noll, Robert J (1976). "Zernikeovy polynomy a atmosférická turbulence". Journal of the Optical Society of America. 66 (3): 207–211. Bibcode:1976JOSA ... 66..207N. doi:10.1364 / JOSA.66.000207.
Siegman, A. E. (1977). „Quasi-fast Hankel transform“. Opt. Lett. 1 (1): 13–15. Bibcode:1977OptL .... 1 ... 13S. doi:10.1364 / OL.1.000013. PMID 19680315.
Magni, Vittorio; Cerullo, Giulio; De Silverstri, Sandro (1992). "Vysoce přesná rychlá Hankelova transformace pro šíření optického paprsku". J. Opt. Soc. Dopoledne. A. 9 (11): 2031–2033. Bibcode:1992JOSAA ... 9.2031M. doi:10.1364 / JOSAA.9.002031.
Agnesi, A .; Reali, Giancarlo C .; Patrini, G .; Tomaselli, A. (1993). "Numerické vyhodnocení Hankelovy transformace: poznámky". Journal of the Optical Society of America A. 10 (9): 1872. Bibcode:1993JOSAA..10.1872A. doi:10.1364 / JOSAA.10.001872.
Barakat, Richard (1996). „Numerické vyhodnocení Hankelovy transformace nultého řádu pomocí Filonovy kvadraturní filozofie“. Aplikovaná matematická písmena. 9 (5): 21–26. doi:10.1016/0893-9659(96)00067-5. PAN 1415467.
Ferrari, José A .; Perciante, Daniel; Dubra, Alfredo (1999). "Rychlá Hankelova transformace n-tého řádu". J. Opt. Soc. Dopoledne. A. 16 (10): 2581–2582. Bibcode:1999JOSAA..16.2581F. doi:10.1364 / JOSAA.16.002581.
Wieder, Thomas (1999). "Algoritmus 794: Numerická Hankelova transformace Fortranským programem HANKEL". ACM Trans. Matematika. Softw. 25 (2): 240–250. doi:10.1145/317275.317284.
Knockaert, Luc (2000). „Rychlá Hankelova transformace rychlými sinusovými a kosinovými transformacemi: Mellinovo spojení“ (PDF). IEEE Trans. Proces signálu. 48 (6): 1695–1701. Bibcode:2000ITSP ... 48.1695K. CiteSeerX 10.1.1.721.1633. doi:10.1109/78.845927.
Zhang, D. W .; Yuan, X.-C .; Ngo, N. Q .; Shum, P. (2002). "Rychlá Hankelova transformace a její aplikace pro studium šíření válcových elektromagnetických polí". Opt. Vyjádřit. 10 (12): 521–525. Bibcode:2002Oexpr..10..521Z. doi:10,1364 / oe. 10.000521. PMID 19436390.
Markham, Joanne; Conchello, Jose-Angel (2003). Msgstr "Numerické vyhodnocení Hankelových transformací pro oscilační funkce". J. Opt. Soc. Dopoledne. A. 20 (4): 621–630. Bibcode:2003JOSAA..20..621M. doi:10.1364 / JOSAA.20.000621. PMID 12683487.
Perciante, César D .; Ferrari, José A. (2004). "Rychlá Hankelova transformace n-té objednávky se zlepšeným výkonem". J. Opt. Soc. Dopoledne. A. 21 (9): 1811–2. Bibcode:2004JOSAA..21.1811P. doi:10.1364 / JOSAA.21.001811. PMID 15384449.
Gizar-Sicairos, Manuel; Guitierrez-Vega, Julio C. (2004). "Výpočet kvazi-diskrétní Hankelovy transformace celočíselného řádu pro šíření polí optických vln". J. Opt. Soc. Dopoledne. A. 21 (1): 53–58. Bibcode:2004JOSAA..21 ... 53G. doi:10.1364 / JOSAA.21.000053. PMID 14725397.
Cerjan, Charles (2007). „Reprezentace Zernike-Bessel a její aplikace na Hankelovu transformaci“. J. Opt. Soc. Dopoledne. A. 24 (6): 1609–1616. Bibcode:2007JOSAA..24.1609C. doi:10.1364 / JOSAA.24.001609. PMID 17491628.

[1] Louis de Branges (1968). Hilbertovy prostory celých funkcí. London: Prentice-Hall. p.189. ISBN 978-0133889000.

[2] Poularikas, Alexander D. (1996). Příručka transformací a aplikací. Boca Raton Fla .: CRC Press. ISBN 0-8493-8342-0. OCLC 32237017.

[3] Ponce de Leon, J. (2015). "Přehodnocení ortogonality Besselových funkcí prvního druhu v nekonečném intervalu". European Journal of Physics. 36 (1): 015016. Bibcode:2015EJPh ... 36a5016P. doi:10.1088/0143-0807/36/1/015016.

[4] Avery, James Emil, autor. Hypersférické harmonické a jejich fyzikální aplikace. ISBN 978-981-322-930-3. OCLC 1013827621.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz)

[5] Faris, William G. (06.12.2008). „Radiální funkce a Fourierova transformace: Poznámky k matematice 583A, podzim 2008“ (PDF). University of Arizona, Department of Mathematics. Citováno 2015-04-25.

[6] Gradshteyn, I. S .; Ryzhik, I. M. (2015). Zwillinger, Daniel (ed.). Tabulka integrálů, sérií a produktů (Osmá ed.). Akademický tisk. p. 687. ISBN 978-0-12-384933-5.

[7] Secada, José D. (1999). "Numerické vyhodnocení Hankelovy transformace". Comp. Phys. Comm. 116 (2–3): 278–294. Bibcode:1999CoPhC.116..278S. doi:10.1016 / S0010-4655 (98) 00108-8.

[8] Siegman, A.E. (1977-07-01). "Kvazi rychlá Hankelova transformace". Optická písmena. 1 (1): 13. Bibcode:1977OptL .... 1 ... 13S. doi:10,1364 / ol. 1.000013. ISSN 0146-9592. PMID 19680315.

[9] Talman, James D (říjen 1978). Msgstr "Numerická Fourierova a Besselova transformace v logaritmické proměnné". Journal of Computational Physics. 29 (1): 35–48. Bibcode:1978JCoPh..29 ... 35T. doi:10.1016/0021-9991(78)90107-9. ISSN 0021-9991.

[10] Cree, M. J.; Bones, P.J. (červenec 1993). Msgstr "Algoritmy pro numerické vyhodnocení Hankelovy transformace". Počítače a matematika s aplikacemi. 26 (1): 1–12. doi:10.1016/0898-1221(93)90081-6. ISSN 0898-1221.

[11] Papoulis, Athanasios (1981). Systémy a transformace s aplikacemi na optiku. Florida USA: Krieger Publishing Company. str. 140–175. ISBN 978-0898743586.

[12] Kausel, E .; Irfan Baig, M. M. (2012). „Laplaceova transformace produktů Besselových funkcí: návštěva dřívějších vzorců“ (PDF). Quarterly of Applied Mathematics. 70: 77–97. doi:10.1090 / s0033-569x-2011-01239-2. hdl:1721.1/78923.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]