Glosář aritmetické a diofantické geometrie - Glossary of arithmetic and diophantine geometry

Toto je glosář aritmetická a diofantická geometrie v matematika, oblasti vyrůstající z tradičního studia Diophantine rovnice zahrnovat velké části teorie čísel a algebraická geometrie. Velká část teorie má formu navrhované domněnky, které mohou souviset na různých úrovních obecnosti.

Diophantine geometrie obecně je studium algebraické odrůdy PROTI přes pole K. které jsou definitivně generovány přes jejich hlavní pole —Včetně zvláštního zájmu počet polí a konečná pole - a znovu místní pole. Z nich pouze komplexní čísla jsou algebraicky uzavřeno; nad jakýmkoli jiným K. existence bodů PROTI se souřadnicemi v K. je něco, co je třeba dokázat a studovat jako zvláštní téma, i když znáte geometrii PROTI.

Aritmetická geometrie lze obecněji definovat jako studium schémata konečného typu přes spektrum z kruh celých čísel.[1] Aritmetická geometrie byla také definována jako aplikace technik algebraické geometrie na problémy v teorie čísel.[2]


A

domněnka abc
The domněnka abc z Masser a Oesterlé pokusí se co nejvíce vyjádřit o opakovaných prvočíslech v rovnici A + b = C. Například 3 + 125 = 128, ale hlavní síly zde jsou výjimečné.
Skupina tříd Arakelov
The Skupina tříd Arakelov je obdobou ideální třídní skupina nebo skupina dělitele dělitele pro Arakelovští dělitelé.[3]
Arakelovův dělitel
An Arakelovův dělitel (nebo plný dělitel[4]) na globálním poli je rozšíření pojmu dělitel nebo zlomkový ideál. Jedná se o formální lineární kombinaci místa pole s konečná místa s celočíselnými koeficienty a nekonečná místa se skutečnými koeficienty.[3][5][6]
Arakelovova výška
The Arakelovova výška na projektivní prostor nad polem algebraických čísel je globální výšková funkce s místními příspěvky pocházejícími z Fubini - studijní metriky na Archimédova pole a obvyklá metrika na ne-Archimédova pole.[7][8]
Arakelovova teorie
Arakelovova teorie je přístup k aritmetické geometrii, který výslovně zahrnuje „nekonečné prvočísla“.
Aritmetika abelianských odrůd
Viz hlavní článek aritmetika abelianských odrůd
Artin L-funkce
Artin L-funkce jsou definovány celkem obecně Galois reprezentace. Zavedení étale cohomology v šedesátých letech to znamenalo Funkce Hasse – Weil L. lze považovat za funkce Artin L pro reprezentace Galois l-adická kohomologie skupiny.

B

Špatná redukce
Vidět dobrá redukce.
Birch a domněnka Swinnerton-Dyer
The Birch a domněnka Swinnerton-Dyer na eliptické křivky postuluje spojení mezi hodnost eliptické křivky a pořadí pólu jeho funkce Hasse – Weil L. Od poloviny šedesátých let je důležitým mezníkem v diofantické geometrii s výsledky, jako je Coates-Wilesova věta, Gross-Zagierova věta a Kolyvaginova věta.[9]

C

Kanonická výška
Kanonická výška na abelianská odrůda je výšková funkce, která se vyznačuje kvadratická forma. Vidět Néron – Tate výška.
Chabautyho metoda
Chabautyho metoda, na základě p-adické analytické funkce, je speciální aplikace, ale schopná prokázat případy Mordellova domněnka pro křivky, jejichž Jacobova pozice je menší než její rozměr. Vyvinula nápady z Thoralf Skolem metoda pro algebraický torus. (Jiné starší metody pro diofantické problémy zahrnují Rungeova metoda.)
Coates-Wilesova věta
The Coates-Wilesova věta uvádí, že eliptická křivka s komplexní násobení podle imaginární kvadratické pole z číslo třídy 1 a pozitivní hodnost má Funkce L. s nulou na s= 1. Toto je zvláštní případ Birch a domněnka Swinnerton-Dyer.[10]
Krystalická kohomologie
Krystalická kohomologie je p-adic cohomology theory v charakteristický p, představil Alexander Grothendieck zaplnit zbývající mezeru étale cohomology který je nedostatečný při používání mod p koeficienty v tomto případě. Je to jedna z řady teorií, které nějakým způsobem vycházejí Dworkova metoda, a má aplikace mimo čistě aritmetické otázky.

D

Diagonální formy
Diagonální formy jsou jedny z nejjednodušších projektivní odrůdy studovat z aritmetického hlediska (včetně Fermatové odrůdy ). Jejich místní funkce zeta jsou počítány z hlediska Jacobi součty. Waringův problém je nejklasičtější případ.
Diophantine rozměr
The Diophantine rozměr pole je nejmenší přirozené číslo k, pokud existuje, takové, že pole je třídy C.k: to znamená takový, že jakýkoli homogenní polynom stupně d v N proměnné má netriviální nulu kdykoli N > dk. Algebraicky uzavřená pole jsou diofantické dimenze 0; kvazi-algebraicky uzavřená pole dimenze 1.[11]
Diskriminující bodu
The diskriminující bod odkazuje na dva související pojmy ve vztahu k bodu P na algebraické odrůdě PROTI definováno přes číselné pole K.: geometrický (logaritmický) diskriminační[12] d(P) a aritmetický diskriminátor, definovaný Vojtou.[13] Rozdíl mezi nimi lze srovnávat s rozdílem mezi aritmetický rod a singulární křivka a geometrický rod z desingularizace.[13] Aritmetický rod je větší než geometrický rod a výška bodu může být ohraničena, pokud jde o aritmetický rod. Získání podobných hranic zahrnujících geometrický rod by mělo značné důsledky.[13]
Dworkova metoda
Bernard Dwork použité charakteristické metody p-adická analýza, p-adic algebraické diferenciální rovnice, Koszulské komplexy a další techniky, které nebyly všechny absorbovány do obecných teorií, jako je krystalická kohomologie. Nejprve prokázal rozumnost místních funkcí zeta, počáteční postup ve směru Weil dohady.

E

Étale cohomology
Hledání Weilovy kohomologie (q.v.) bylo v Číně alespoň částečně splněno étale cohomology teorie Alexander Grothendieck a Michael Artin. Poskytla důkaz o funkční rovnice pro místní funkce zeta, a byl základní při formulaci Tateho domněnky (q.v.) a mnoha dalších teorií.

F

Výška faltings
The Výška faltings eliptické křivky nebo abelianské odrůdy definované nad číselným polem je míra její složitosti zavedená Faltings v jeho důkazu o Mordellova domněnka.[14][15]
Fermatova poslední věta
Fermatova poslední věta, nejslavnější domněnku o diofantické geometrii, prokázal Andrew Wiles a Richard Taylor.
Plochá kohomologie
Plochá kohomologie je pro školu Grothendieck jedním terminálním bodem vývoje. Má tu nevýhodu, že je poměrně obtížné jej vypočítat. Důvod, proč plochá topologie byl považován za „správný“ základ topos pro teorie schémat se vrací ke skutečnosti věrně plochý sestup, objev Grothendiecka, že reprezentativní funktory jsou za to snopy (tj. velmi obecné lepení axiomu drží).
Analogie funkčního pole
V devatenáctém století si uvědomili, že kruh celých čísel číselného pole má analogie s afinitou souřadnicový kruh algebraické křivky nebo kompaktního Riemannova povrchu, s odstraněným bodem nebo více, což odpovídá „nekonečným místům“ číselného pole. Tato myšlenka je přesněji zakódována v teorii globální pole se všemi by se mělo zacházet na stejném základě. Myšlenka jde ještě dále. Tím pádem eliptické povrchy nad komplexními čísly mají také nějaké docela přísné analogie s eliptické křivky přes číselná pole.

G

Teorie pole geometrické třídy
Rozšíření teorie pole -styl výsledky na abelianské krytiny k odrůdám dimenze se minimálně dvě často nazývají geometrický teorie pole.
Dobrá redukce
Zásadní pro místní analýza v aritmetických problémech je snížit modulo všechna prvočísla p nebo obecněji hlavní ideály. V typické situaci to představuje malou obtíž téměř všechny p; například jmenovatelé zlomků je složitých, v tom, že redukce modulo vypadá prvočíslo ve jmenovateli dělení nulou, ale to vylučuje jen konečně mnoho p na zlomek. S trochou extra sofistikovanosti homogenní souřadnice umožní očištění jmenovatelů vynásobením společným skalárem. Pro daný jediný bod to lze udělat a nezanechat společný faktor p. nicméně teorie singularity vstupuje: a ne singulární bod se může stát a singulární bod na redukční modulo p, protože Zariski tečný prostor se může zvětšit, když se lineární členy sníží na 0 (geometrická formulace ukazuje, že to není chyba jediné sady souřadnic). Dobrá redukce označuje redukovanou odrůdu, která má stejné vlastnosti jako originál, například an algebraická křivka mít stejné rod nebo hladká odrůda zůstávají hladké. Obecně bude konečná množina S prvočísel pro danou odrůdu PROTI, předpokládá se hladký, takže jinak je hladký redukovaný PROTIp přes Z/pZ. Pro abelianské odrůdy, dobrá redukce je spojena s rozvětvení v oblasti dělící body podle Kritérium Néron – Ogg – Shafarevich. Tato teorie je subtilní v tom smyslu, že svoboda měnit proměnné, aby se pokusily věci vylepšit, je poměrně nenápadná: viz Néron model, potenciální dobrá redukce, Tateova křivka, semistable abelian odrůda, polostabilní eliptická křivka, Serre – Tateova věta.[16]
Grothendieck – Katz dohad
The Grothendieck – Katzova domněnka o p-zakřivení použije redukční modulo prvočísla na algebraické diferenciální rovnice, odvodit informace o algebraická funkce řešení. Je to otevřený problém od roku 2016. Počáteční výsledek tohoto typu byl Eisensteinova věta.

H

Hasseův princip
The Hasseův princip uvádí, že rozpustnost pro a globální pole je stejná jako rozpustnost ve všech relevantních místní pole. Jedním z hlavních cílů diofantické geometrie je klasifikace případů, kde platí princip Hasse. Obecně to platí pro velký počet proměnných, když je stupeň rovnice udržován pevně. Princip Hasse je často spojován s úspěchem Hardy – Littlewoodova kruhová metoda. Když kruhová metoda funguje, může poskytnout další kvantitativní informace, jako je asymptotický počet řešení. Snížení počtu proměnných ztěžuje metodu kruhu; proto selhání principu Hasse, například pro kubické tvary v malém počtu proměnných (a zejména pro eliptické křivky tak jako kubické křivky ) jsou na obecné úrovni spojeny s omezeními analytického přístupu.
Funkce Hasse – Weil L.
A Funkce Hasse – Weil L., někdy nazývané a globální Funkce L je Produkt Euler vytvořené z místních funkcí zeta. Vlastnosti takových L-funkce zůstávají z velké části v domněnce, s důkazem Domněnka Taniyama – Shimura být průlom. The Filozofie Langlands je do značné míry komplementární k teorii globálních L-funkcí.
Funkce výšky
A výšková funkce v Diophantine geometrii kvantifikuje velikost řešení Diophantine rovnic.[17]
Hilbertovy pole
A Hilbertovo pole K. je ten, pro který projektivní prostory přes K. nejsou tenké sady ve smyslu Jean-Pierre Serre. Toto je geometrický pohled Hilbertova věta o neredukovatelnosti což ukazuje, že racionální čísla jsou Hilbertianova. Výsledky se použijí na inverzní Galoisův problém. Tenké sady (francouzské slovo je sekaná) jsou v jistém smyslu analogické s hubené sady (Francouzština maigre) z Věta o kategorii Baire.

Já

Funkce Igusa zeta
An Funkce Igusa zeta, pojmenovaný pro Jun-ichi Igusa, je generující funkce počítání počtu bodů na algebraické odrůdě modulo vysokých výkonů pn pevného prvočísla p. Všeobecné věty o racionalitě jsou nyní známy a čerpají z metod matematická logika.[18]
Nekonečný sestup
Nekonečný sestup byl Pierre de Fermat Klasická metoda pro diofantické rovnice. Stala se jednou polovinou standardního důkazu Mordell-Weilovy věty, druhou je argument s výškovými funkcemi (q.v.). Sestup je něco jako dělení dvěma ve skupině hlavní homogenní prostory (často nazývané „sestupy“, jsou-li vypsány rovnicemi); modernějším způsobem v a Galoisova kohomologie skupina, která se prokáže jako konečná. Vidět Selmerova skupina.
Teorie Iwasawa
Teorie Iwasawa staví z analytická teorie čísel a Stickelbergerova věta jako teorie ideální třídní skupiny tak jako Galoisovy moduly a p-adické L-funkce (s kořeny v Kummerova shoda na Bernoulliho čísla ). Na počátku 60. let byl povolán Iwasawa analog Jacobova. Analogie byla s Jacobian odrůda J křivky C přes konečné pole F (qua Odrůda Picard), kde má konečné pole kořeny jednoty přidáno, aby se rozšíření konečných polí F„Místní funkce zeta (q.v.) z C lze získat z bodů J(F′) Jako modul Galois. Stejným způsobem přidal Iwasawa pn-mocné kořeny jednoty pro pevné p a s n → ∞, pro jeho analogii, do číselného pole K., a zvážil inverzní limit skupin tříd, hledání a p-adická funkce L dříve zavedená Kubotou a Leopoldtem.

K.

K-teorie
Algebraická K-teorie je na jedné straně celkem obecná teorie s abstraktní algebra chuť, a na druhé straně se podílejí na některých formulacích aritmetických domněnek. Viz například Domněnka bříza – tate, Lichtenbaumova domněnka.

L

Lang domněnka
Enrico Bombieri (rozměr 2), Serge Lang a Paul Vojta (případ integrálních bodů) a Piotr Blass se domnívali, že algebraické varianty obecný typ nemít Zariski hustý podmnožiny K.- racionální body, pro K. konečně generované pole. Tento kruh myšlenek zahrnuje porozumění analytická hyperbolicita a Langovy domněnky a Vojtovy domněnky. An analyticky hyperbolická algebraická odrůda PROTI přes komplexní čísla je jeden takový, že ne holomorfní mapování z celku složité letadlo existuje, to není konstantní. Mezi příklady patří kompaktní Riemannovy povrchy rodu G > 1. Lang si to domyslel PROTI je analyticky hyperbolický právě tehdy, jsou-li všechny poddruhy obecného typu.[19]
Lineární torus
A lineární torus je geometricky neredukovatelná Zariskiho uzavřená podskupina afinního torusu (produkt multiplikativních skupin).[20]
Místní funkce zeta
A místní funkce zeta je generující funkce pro počet bodů na algebraické odrůdě PROTI přes konečné pole F, přes konečný rozšíření pole z F. Podle Weilových domněnek (q.v.) tyto funkce, pro ne singulární odrůdy vykazují vlastnosti velmi podobné vlastnostem Riemannova funkce zeta, včetně Riemannova hypotéza.

M

Dohoda Manin – Mumford
The Dohoda Manin – Mumford, nyní prokázáno Michel Raynaud, uvádí, že křivka C v jeho Jacobian odrůda J může obsahovat pouze konečný počet bodů, které jsou konečného pořadí J, pokud C = J.[21][22]
Mordellova domněnka
The Mordellova domněnka je nyní Faltingova věta a uvádí, že křivka rodu nejméně dvou má pouze konečně mnoho racionálních bodů. The Dohoda o uniformitě uvádí, že by měla existovat jednotná vazba na počet takových bodů, pouze v závislosti na rodu a oblasti definice.
Mordell – Lang dohad
Mordell-Langova domněnka, kterou nyní dokazuje Gerd Faltings, je sbírka dohadů Serge Lang sjednocujících Mordellův dohad a Dohoda Manin – Mumford v abelianská odrůda nebo poloabelianská odrůda.[23][24]
Mordell – Weilova věta
The Mordell – Weilova věta je základním výsledkem uvádějícím, že pro abelianskou odrůdu A přes číselné pole K. skupina A(K.) je konečně generovaná abelianská skupina. To se původně prokázalo u číselných polí K., ale vztahuje se na všechna konečně vygenerovaná pole.
Mordelská odrůda
A Mordelská odrůda je algebraická odrůda, která má v každém definitivně vygenerovaném poli jen konečně mnoho bodů.[25]

N

Naivní výška
The naivní výška nebo klasická výška vektoru racionálních čísel je maximální absolutní hodnota vektoru celých čísel coprime získaná vynásobením a nejnižší společný jmenovatel. To lze použít k definování výšky bodu v projektivním prostoru Q, nebo polynomu, považovaného za vektor koeficientů, nebo algebraického čísla, z výšky jeho minimálního polynomu.[26]
Néron symbol
The Néron symbol je bimultiplikativní párování mezi děliteli a algebraické cykly na Abelianská odrůda použitý v Néronově formulaci Néron – Tate výška jako součet místních příspěvků.[27][28][29] Globální symbol Néron, který je součtem místních symbolů, je pouze záporem párování výšek.[30]
Néron – Tate výška
The Néron – Tate výška (také často označovaný jako kanonická výška ) na abelianská odrůda A je výšková funkce (q.v.), která je v podstatě vnitřní a přesná kvadratická forma, spíše než přibližně kvadratické s ohledem na doplnění na A jak to poskytuje obecná teorie výšek. Může být definován z obecné výšky omezujícím procesem; existují také vzorce v tom smyslu, že se jedná o součet místních příspěvků.[30]
Nevanlinna neměnná
The Nevanlinna neměnná z dostatek dělitele D na normální projektivní rozmanitost X je reálné číslo, které popisuje rychlost růstu počtu racionálních bodů odrůdy s ohledem na vložení definované dělitelem.[31] Má podobné formální vlastnosti jako úsečka konvergence funkce výšky zeta a předpokládá se, že jsou v zásadě stejné.[32]

Ó

Obyčejná redukce
Abelianská odrůda A dimenze d má obyčejná redukce v nejlepších letech p pokud ano dobrá redukce v p a navíc p-torze má hodnost d.[33]

Q

Kvazi-algebraický uzávěr
Téma kvazi-algebraické uzavření, tj. rozpustnost zaručená řadou proměnných polynomů ve stupni rovnice, vyrostla ze studií Brauerova skupina a Chevalleyova varovná věta. Zastavil se tváří v tvář protiklady; ale uvidíš Axe-Kochenova věta z matematická logika.

R

Snížení modulo prvočíslo nebo ideál
Vidět dobrá redukce.
Vyplňte ideální
A plný ideál v číselném poli K. je formálním produktem a zlomkový ideál z K. a vektor kladných reálných čísel se složkami indexovanými podle nekonečných míst K..[34] A plný dělitel je Arakelovův dělitel.[4]

S

Domněnka Sato – Tate
The Domněnka Sato – Tate popisuje distribuci Frobenius prvky v Tate moduly z eliptické křivky přes konečná pole získáno redukcí dané eliptické křivky nad racionálními. Mikio Sato a nezávisle na sobě John Tate[35] navrhl to kolem roku 1960. Je to prototyp pro Galois reprezentace obecně.
Skolemova metoda
Vidět Chabautyho metoda.
Speciální sada
The speciální sada v algebraické odrůdě je podmnožina, ve které by se dalo očekávat, že najde mnoho racionálních bodů. Přesná definice se liší podle kontextu. Jedna definice je Zariski uzavření spojení obrazů algebraických skupin pod netriviálními racionálními mapami; alternativně lze pořídit snímky abelianských odrůd;[36] další definice je sjednocení všech podrůd, které nejsou obecného typu.[19] Pro abelianské odrůdy by definice byla spojením všech překladů správných abelianských podrůd.[37] Pro komplexní odrůdu je holomorfní speciální sada je Zariskiho uzavření obrazů všech nekonstantní holomorfních map z C. Lang se domníval, že analytické a algebraické speciální množiny jsou stejné.[38]
Věta o podprostoru
Schmidt věta o podprostoru ukazuje, že body malé výšky v projektivním prostoru leží v konečném počtu hyperplánů. Kvantitativní forma věty, ve které počet podprostorů obsahujících všechna řešení, získal také Schmidt, a věta byla zobecněna Schlickewei (1977), aby umožnila obecnější absolutní hodnoty na počet polí. Věta může být použita k získání výsledků na Diophantine rovnice jako Siegelova věta o integrálních bodech a řešení Rovnice S-jednotky.[39]

T

Čísla Tamagawa
Přímý Číslo Tamagawa definice funguje dobře pouze pro lineární algebraické skupiny. Tady Weilova domněnka o Tamagawových číslech byl nakonec prokázán. U abelianských odrůd, zejména u hypotézy Birch-Swinnerton-Dyer (q.v.), se přístup Tamagawa k místní – globální princip selže na přímý pokus, i když má heuristickou hodnotu po mnoho let. Nyní sofistikované ekvivariantní domněnka o čísle Tamagawa je velkým problémem výzkumu.
Tate dohad
The Tate dohad (John Tate, 1963) poskytl analogii k Hodgeova domněnka, také na algebraické cykly, ale v rámci aritmetické geometrie. Dalo to také, protože eliptické povrchy, analog hypotézy Birch-Swinnerton-Dyer (q.v.), vedoucí rychle k objasnění druhé a uznání její důležitosti.
Tateova křivka
The Tateova křivka je zvláštní eliptická křivka nad p-adic čísla zavedl John Tate ke studiu špatné redukce (viz dobrá redukce).
Pořadí Tsen
The Pořadí Tsen pole pojmenovaného pro C. C. Tsen kteří uvedli svoji studii v roce 1936,[40] je nejmenší přirozené číslo i, pokud existuje, takové, že pole je třídy Ti: to znamená takový, že jakýkoli systém polynomů bez konstantního stupně dj v n proměnné má netriviální nulu kdykoli n > ∑ dji. Algebraicky uzavřená pole mají nulovou hodnost Tsen. Pořadí Tsen je větší nebo rovno Diophantine rozměr ale není známo, zda jsou si rovni, s výjimkou případu s nulovou hodností.[41]

U

Dohoda o uniformitě
The domněnka uniformity uvádí, že pro jakékoli číslo pole K. a G > 2, existuje jednotná vazba B(G,K.) na počtu K.-racionální body na jakékoli křivce rodu G. Domněnka by vyplývala z Bombieri – Lang dohad.[42]
Nepravděpodobná křižovatka
An nepravděpodobná křižovatka je algebraická podskupina protínající podrodinu torusové nebo abelianské odrůdy v souboru neobvykle velké dimenze, která se podílí na Mordell – Lang dohad.[43]

PROTI

Vojtův dohad
The Vojtův dohad je komplex dohadů podle Paul Vojta, vytváření analogií mezi Diophantine aproximace a Teorie Nevanlinna.

Ž

Závaží
The jóga závaží je formulace Alexander Grothendieck analogií mezi Hodgeova teorie a l-adická kohomologie.[44]
Weilova kohomologie
Počáteční myšlenkou, později poněkud pozměněnou, pro prokázání Weilových domněnek (q.v.), bylo zkonstruovat teorie cohomologie aplikování na algebraické odrůdy konečná pole to by bylo stejně dobré jako singulární homologie při detekci topologické struktury a mají Frobeniova zobrazení jedná tak, že Lefschetzova věta o pevném bodě lze použít na počítání místní funkce zeta. Pro pozdější historii viz motiv (algebraická geometrie), motivická kohomologie.
Weil dohady
The Weil dohady byly tři velmi vlivné dohady André Weil, zveřejněný kolem roku 1949, o místních funkcích zeta. Důkaz byl dokončen v roce 1973. Ti, kteří se prokázali, zůstávají rozšíření Chevalleyova varovná věta kongruence, která vychází z elementární metody, a vylepšení hranic Weil, např. lepší odhady pro křivky počtu bodů, než pocházejí z Weilovy základní věty z roku 1940. Ta se ukazuje jako zajímavá pro Kódy Goppa.
Weilovy distribuce na algebraických varietách
André Weil navrhl teorii ve 20. a 30. letech hlavní ideál rozklad algebraických čísel v souřadnicích bodů na algebraických varietách. Zůstala poněkud nedostatečně rozvinutá.
Weilova funkce
A Weilova funkce na algebraické odrůdě je funkce se skutečnou hodnotou definovaná u některých Cartier dělitel který zobecňuje pojem Greenova funkce v Arakelovova teorie.[45] Používají se při stavbě místních komponentů Néron – Tate výška.[46]
Weilův výškový stroj
The Weilův výškový stroj je efektivní postup pro přiřazení výškové funkce libovolnému děliteli na hladké projektivní varietě přes číselné pole (nebo do Cartier dělitelé u nehladkých odrůd).[47]

Viz také

Reference

  1. ^ Aritmetická geometrie v nLab
  2. ^ Sutherland, Andrew V. (5. září 2013). „Úvod do aritmetické geometrie“ (PDF). Citováno 22. března 2019. Citovat má prázdný neznámý parametr: |1= (Pomoc)
  3. ^ A b Schoof, René (2008). Msgstr "Výpočet skupin tříd Arakelov". In Buhler, J.P .; P., Stevenhagen (eds.). Algoritmická teorie čísel: mřížky, číselná pole, křivky a kryptografie. Publikace MSRI. 44. Cambridge University Press. 447–495. ISBN  978-0-521-20833-8. PAN  2467554. Zbl  1188.11076.
  4. ^ A b Neukirch (1999) str.189
  5. ^ Lang (1988), str. 74–75
  6. ^ van der Geer, G .; Schoof, R. (2000). "Efektivita dělitelů Arakelov a dělitele theta číselného pole". Selecta Mathematica, nová řada. 6 (4): 377–398. arXiv:matematika / 9802121. doi:10.1007 / PL00001393. Zbl  1030.11063.
  7. ^ Bombieri & Gubler (2006), s. 66–67
  8. ^ Lang (1988), str. 156–157
  9. ^ Lang (1997), str. 91–96
  10. ^ Coates, J.; Wiles, A. (1977). „Na domněnku Birch a Swinnerton-Dyer“. Inventiones Mathematicae. 39 (3): 223–251. Bibcode:1977InMat..39..223C. doi:10.1007 / BF01402975. Zbl  0359.14009.
  11. ^ Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2008). Kohomologie číselných polí. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 323 (2. vyd.). Springer-Verlag. p. 361. ISBN  3-540-37888-X.
  12. ^ Lang (1997) str.146
  13. ^ A b C Lang (1997) str. 171
  14. ^ Faltings, Gerde (1983). „Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern“. Inventiones Mathematicae. 73 (3): 349–366. Bibcode:1983InMat..73..349F. doi:10.1007 / BF01388432.
  15. ^ Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (1986). Aritmetická geometrie. New York: Springer. ISBN  0-387-96311-1. → Obsahuje anglický překlad Faltings (1983)
  16. ^ Serre, Jean-Pierre; Tate, Johne (Listopad 1968). "Dobrá redukce abelianských odrůd". Annals of Mathematics. Druhý. 88 (3): 492–517. doi:10.2307/1970722. JSTOR  1970722. Zbl  0172.46101.
  17. ^ Lang  (1997 )
  18. ^ Igusa, Jun-Ichi (1974). „Složité síly a asymptotické expanze. I. Funkce určitých typů“. Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1974 (268–269): 110–130. doi:10,1515 / crll.1974.268-269.110. Zbl  0287.43007.
  19. ^ A b Hindry & Silverman (2000), s. 479
  20. ^ Bombieri & Gubler (2006), str. 82–93
  21. ^ Raynaud, Michel (1983). „Sous-variétés d'une variété abélienne et points de torsion“. v Artin, Michael; Tate, Johne (eds.). Aritmetika a geometrie. Články věnované I. R. Shafarevichovi u příležitosti jeho šedesátých narozenin. Sv. I: Aritmetika. Pokrok v matematice (ve francouzštině). 35. Birkhauser-Boston. 327–352. Zbl  0581.14031.
  22. ^ Roessler, Damian (2005). „Poznámka k domněnce Manin – Mumford“. In van der Geer, Gerard; Moonen, Ben; Schoof, René (eds.). Číselná pole a funkční pole - dva paralelní světy. Pokrok v matematice. 239. Birkhäuser. 311–318. ISBN  0-8176-4397-4. Zbl  1098.14030.
  23. ^ Marcja, Annalisa; Toffalori, Carlo (2003). Průvodce teorií klasického a moderního modelu. Trendy v logice. 19. Springer-Verlag. 305–306. ISBN  1402013302.
  24. ^ 2stránková expozice domněnky Mordell – Lang B. Mazura, 3. listopadu 2005
  25. ^ Lang (1997) s. 15
  26. ^ Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Logaritmické formy a diofantická geometrie. Nové matematické monografie. 9. Cambridge University Press. p. 3. ISBN  978-0-521-88268-2. Zbl  1145.11004.
  27. ^ Bombieri & Gubler (2006), str. 301–314
  28. ^ Lang (1988), s. 66–69
  29. ^ Lang (1997) str. 212
  30. ^ A b Lang (1988) str. 77
  31. ^ Hindry & Silverman (2000), str. 488
  32. ^ Batyrev, V.V .; Manin, Yu.I. (1990). Msgstr "Počet racionálních bodů ohraničené výšky na algebraických varietách". Matematika. Ann. 286: 27–43. doi:10.1007 / bf01453564. Zbl  0679.14008.
  33. ^ Lang (1997), str. 161–162
  34. ^ Neukirch (1999) str. 185
  35. ^ Je to uvedeno v J. Tate, Algebraické cykly a póly funkcí zeta ve svazku (O. F. G. Schilling, redaktor), Aritmetická algebraická geometrie, strany 93–110 (1965).
  36. ^ Lang (1997) str. 17–23
  37. ^ Hindry & Silverman (2000), s. 480
  38. ^ Lang (1997) str. 179
  39. ^ Bombieri & Gubler (2006), s. 176–230
  40. ^ Tsen, C. (1936). „Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper“. J. Chinese Math. Soc. 171: 81–92. Zbl  0015.38803.
  41. ^ Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer. 109–126. ISBN  978-0-387-72487-4.
  42. ^ Caporaso, Lucia; Harris, Joe; Mazur, Barry (1997). „Jednotnost racionálních bodů“. Journal of the American Mathematical Society. 10 (1): 1–35. doi:10.2307/2152901. Zbl  0872.14017.
  43. ^ Zannier, Umberto (2012). Některé problémy nepravděpodobných křižovatek v aritmetice a geometrii. Annals of Mathematics Studies. 181. Princeton University Press. ISBN  978-0-691-15371-1.
  44. ^ Pierre Deligne, Poids dans la cohomologie des variétés algébriquesActes ICM, Vancouver, 1974, 79–85.
  45. ^ Lang (1988) str. 1-9
  46. ^ Lang (1997), str. 164,212
  47. ^ Hindry & Silverman (2000) 184–185

Další čtení