Pořadí Tsen - Tsen rank

v matematika, Pořadí Tsen a pole popisuje podmínky, za kterých je systém polynomiální rovnice musí mít řešení v pole. Koncept je pojmenován pro C. C. Tsen, kteří svou studii představili v roce 1936.

Zvažujeme systém m polynomiální rovnice v n proměnné nad polem F. Předpokládejme, že všechny rovnice mají konstantní člen nula, takže (0, 0, ..., 0) je běžné řešení. Říkáme to F je T_i-pole pokud každý takový systém, stupňů d₁, ..., d_m má kdykoli společné nenulové řešení

${ displaystyle n> d_ {1} ^ {i} + cdots + d_ {m} ^ {i}. ,}$

The Pořadí Tsen z F je nejmenší i takhle F je T._i-pole. Říkáme, že Tsen hodnost F je nekonečný, pokud to není T_i- pole pro všechny i (například pokud je formálně skutečné ).

Vlastnosti

• Pole má nulovou pozici Tsen právě tehdy, když je algebraicky uzavřeno.
• Konečné pole má pozici Tsen 1: toto je Chevalleyova varovná věta.
• Li F je algebraicky uzavřeno, pak racionální funkční pole F(X) má pozici Tsen 1.
• Li F má pozici Tsen i, pak pole racionálních funkcí F(X) má nejvýše pozici Tsen i + 1.
• Li F má pozici Tsen i, pak algebraické rozšíření F má nejvýše hodnost Tseni.
• Li F má pozici Tsen i, pak rozšíření F z stupeň transcendence k má nejvýše hodnost Tsen i + k.
• Existují pole hodnosti Tsen i pro každé celé číslo i ≥ 0.

Normální forma

Definujeme a normální forma úrovně i na poli F být homogenním polynomem stupně d v n=dⁱ proměnné, kde je pouze triviální nula F (případ vylučujeme n=d= 1). Existence normativní formy na úrovni i na F to naznačuje F je alespoň z pozice Tsen i - 1. Pokud E je příponou F konečného stupně n > 1, pak pole normální forma pro E/F je standardní forma úrovně 1. Pokud F připouští normální formu úrovně i pak pole racionálních funkcí F(X) připouští standardní formu úrovně i + 1. To nám umožňuje demonstrovat existenci polí jakékoli dané pozice Tsen.

Diophantine rozměr

The Diophantine rozměr pole je nejmenší přirozené číslo k, pokud existuje, takové, že pole je třídy C._k: to znamená takový, že jakýkoli homogenní polynom stupně d v N proměnné má netriviální nulu kdykoli N >  d^k. Algebraicky uzavřená pole mají diofantickou dimenzi 0; kvazi-algebraicky uzavřená pole dimenze 1.^[1]

Je zřejmé, že pokud je pole T_i pak je to C._ia T₀ a C.₀ jsou ekvivalentní, přičemž každý je ekvivalentní algebraickému uzavření. Není známo, zda jsou pozice Tsen a Diophantine dimenze obecně stejné.

Viz také

• Tsenova věta

Reference

• Tsen, C. (1936). „Zur Stufentheorie der Quasi-algebraisch-Abgeschlossenheit kommutativer Körper“. J. Chinese Math. Soc. 171: 81–92. Zbl  0015.38803.
• Lorenz, Falko (2008). Algebra. Volume II: Fields with Structure, Algebras and Advanced Topics. Springer. ISBN  978-0-387-72487-4.