Tenká sada (Serre) - Thin set (Serre)
v matematika, a tenká sada ve smyslu Serre, pojmenoval podle Jean-Pierre Serre, je určitý druh podmnožiny vytvořené v algebraická geometrie nad daným pole K., povolenými operacemi, které jsou v určitém smyslu „nepravděpodobné“. Dva základní jsou: řešení polynomiální rovnice, která může nebo nemusí být případem; řešení uvnitř K. polynom, který ne vždy faktorizuje. Jeden také může přijímat konečné odbory.
Formulace
Přesněji řečeno PROTI být algebraická rozmanitost přes K. (zde jsou předpoklady: PROTI je neredukovatelná množina, a kvazi-projektivní rozmanitost, a K. má charakteristická nula ). A tenký typ I. set je podmnožina PROTI(K.) to není Zariski hustý. To znamená, že leží v algebraická množina to je konečné spojení algebraických variet dimenze nižší než d, dimenze z PROTI. A tenká sada typu II je obrazem algebraický morfismus (v podstatě polynomické mapování) φ, aplikované na K.-bodů jiných d-dimenzionální algebraická odrůda PROTI′, Který mapuje v podstatě na PROTI jako rozvětvené zakrytí s titulem E > 1. Říká-li to více technicky, tenká sada typu II je jakákoli podmnožina
- φ (PROTI′(K.))
kde PROTI′ Splňuje stejné předpoklady jako PROTI a φ je obecně surjective z pohledu geometru. Na úrovni funkční pole proto máme
- [K.(PROTI): K.(PROTI′)] = E > 1.
Zatímco typický bod proti z PROTI je φ (u) s u v PROTI', z proti ležící uvnitř K.(PROTI) můžeme uzavřít typicky pouze to, že souřadnice u pochází z řešení titulu E rovnice skončila K.. Celým cílem teorie tenkých množin je pak pochopit, že dotyčná rozpustnost je vzácná událost. To přeformuluje více geometricky, klasicky Hilbertova věta o neredukovatelnosti.
A tenká sadaje obecně podmnožinou konečného spojení tenkých sad typů I a II.
Terminologie tenký lze odůvodnit skutečností, že pokud A je tenká podmnožina konce řádku Q pak počet bodů A maximálně výšky H je ≪ H: maximálně počet integrálních bodů výšky H je a tento výsledek je nejlepší možný.[1]
Výsledek S. D. Cohena na základě metoda velkého síta, rozšiřuje tento výsledek, počítá body o výšková funkce a v silném smyslu ukazuje, že tenká sada obsahuje jejich malý podíl (o tom se podrobně pojednává v Serreově) Přednášky o Mordell-Weilově větě). Nechat A být tenký v afinitě n-prostor přes Q a nechte N(H) označte maximálně počet integrálních bodů naivní výšky H. Pak[2]
Hilbertovy pole
A Hilbertianská odrůda PROTI přes K. je ten, pro který PROTI(K.) je ne tenký: to je birational invariant z PROTI.[3] A Hilbertovo pole K. je ten, pro který existuje hilbertovská paleta pozitivních dimenzí K.:[3] termín zavedl Lang v roce 1962.[4] Li K. je Hilbertian, pak projektivní linie přes K. je Hilbertian, takže to lze brát jako definici.[5][6]
Pole racionálního čísla Q je Hilbertian, protože Hilbertova věta o neredukovatelnosti z toho vyplývá, že projektivní linie přes Q je Hilbertian: vlastně každý algebraické číslo pole je Hilbertian, opět podle Hilbertovy věty o neredukovatelnosti.[5][7] Obecněji je konečným stupněm rozšíření Hilbertianova pole Hilbertian[8] a jakékoli konečně generované nekonečné pole je Hilbertian.[6]
Existuje několik výsledků kritérií trvalosti hilbertovských polí. Pozoruhodně je Hilbertianita zachována pod konečnými oddělitelnými rozšířeními[9] a abelian rozšíření. Li N je tedy Galoisovým rozšířením hilbertovského pole N nemusí být Hilbertian sám, výsledky Weissauera tvrdí, že jakékoli správné konečné rozšíření N je Hilbertian. Nejobecnějším výsledkem v tomto směru je Haranova věta o diamantu. Diskuse o těchto a dalších výsledcích se objevuje ve Fried-Jarden's Polní aritmetika.
Být Hilbertianem je na druhém konci stupnice od bytí algebraicky uzavřeno: komplexní čísla mít například všechny sady tenké. Oni, s druhou místní pole (reálná čísla, p-adic čísla ) jsou ne Hilbertian.[5]
Vlastnost WWA
The Vlastnost WWA (slabá „slabá aproximace“, sic) pro odrůdu PROTI nad číselným polem je slabá aproximace (srov. aproximace v algebraických skupinách ), pro konečné množiny míst K. vyhnout se nějaké dané konečné sadě. Například vezměte K. = Q: to je vyžadováno PROTI(Q) být hustý
- Π PROTI(Qp)
pro všechny produkty přes konečné sady prvočísel p, nezahrnuje žádnou z některých sad {p1, ..., pM} dané jednou provždy. Ekedahl dokázal, že WWA pro PROTI naznačuje PROTI je Hilbertian.[10] Colliot-Thélène ve skutečnosti předpokládá, že WWA platí pro všechny iracionální rozmanitost, což je tedy silnější prohlášení. Tato domněnka by znamenala pozitivní odpověď na inverzní Galoisův problém.[10]
Reference
- Fried, Michael D .; Jarden, Moshe (2008). Polní aritmetika. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 11 (3. přepracované vydání). Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001.
- Lang, Serge (1997). Průzkum diofantické geometrie. Springer-Verlag. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
- Serre, Jean-Pierre (1989). Přednášky o Mordell-Weilově větě. Aspekty matematiky. E15. Přeložil a upravil Martin Brown z poznámek Michela Waldschmidta. Braunschweig atd .: Friedr. Vieweg & Sohn. Zbl 0676.14005.
- Serre, Jean-Pierre (1992). Témata v Galoisově teorii. Výzkumné poznámky z matematiky. 1. Jones a Bartlett. ISBN 0-86720-210-6. Zbl 0746.12001.
- Schinzel, Andrzej (2000). Polynomy se zvláštním zřetelem na redukovatelnost. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 77. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-66225-7. Zbl 0956.12001.