ABC domněnka - Abc conjecture

Francouzský matematik Joseph Oesterlé

Britský matematik David Masser

The abc dohad (také známý jako Oesterlé – Masserova domněnka) je dohad v teorie čísel, nejprve navrhl Joseph Oesterlé  (1988 ) a David Masser  (1985 ). Uvádí se to ve třech kladných celých číslech, A, b a C (odtud název), které jsou relativně prime a uspokojit A + b = C. Li d označuje produkt odlišného produktu hlavní faktory z abc, domněnka to v podstatě uvádí d obvykle není o moc menší než C. Jinými slovy: pokud A a b jsou tedy složeny z velkých pravomocí prvočísel C obvykle není dělitelný velkými silami prvočísel. Řada slavných dohadů a vět v teorii čísel by bezprostředně vyplývala z abc domněnka nebo její verze. Goldfeld (1996) popsal abc domněnka jako "nejdůležitější nevyřešený problém v roce 2006" Diophantinová analýza ".

The abc domněnka vznikla jako výsledek pokusů Oesterlé a Massera porozumět Szpiro domněnka o eliptické křivky,^[1] který ve svém prohlášení zahrnuje více geometrických struktur než abc dohad. The abc Ukázalo se, že domněnka je rovnocenná s upravenou Szpirovou domněnkou.^[2]

Byly provedeny různé pokusy dokázat abc domněnku, ale žádný z nich v současné době nepřijímá mainstreamová matematická komunita a od roku 2020 je domněnka stále do značné míry považována za neprokázanou.^[3][4]

Formulace

Než uvedeme domněnku, zavedeme pojem celé číslo: pro kladné celé číslo nradikál z n, označeno rad (n), je produktem odlišné hlavní faktory z n. Například

rad (16) = rad (2⁴) = rad (2) = 2,

rad (17) = 17,

rad (18) = rad (2 ⋅ 3²) = 2 · 3 = 6,

rad (10 000 000) = rad (2⁶ ⋅ 5⁶) = 2 ⋅ 5 = 10.

Li A, b, a C jsou coprime^{[poznámky 1]} kladná celá čísla taková A + b = C, ukázalo se, že „obvykle“ C abc). The domněnka abc zabývá výjimkami. Konkrétně uvádí, že:

Za každé kladné reálné číslo ε, existuje jen konečně mnoho trojic (A, b, C) celých pozitivních celých čísel, s A + b = C, takový, že

${ displaystyle c> operatorname {rad} (abc) ^ {1+ varepsilon}.}$

Ekvivalentní formulace je:

Za každé kladné reálné číslo ε, existuje konstanta K._ε tak, že pro všechny trojky (A, b, C) celých pozitivních celých čísel, s A + b = C:

${ displaystyle c$

Třetí ekvivalentní formulace domněnky zahrnuje kvalitní q(A, b, C) trojitého (A, b, C), který je definován jako

${ displaystyle q (a, b, c) = { frac { log (c)} { log { big (} operatorname {rad} (abc) { big)}}}}}$

Například:

q(4, 127, 131) = log (131) / log (rad (4 · 127 · 131)) = log (131) / log (2 · 127 · 131) = 0,46820 ...

q(3, 125, 128) = log (128) / log (rad (3 · 125 · 128)) = log (128) / log (30) = 1,426565 ...

Typický trojitý (A, b, C) celých pozitivních celých čísel s A + b = C budu mít C abc), tj. q(A, b, C) <1. ztrojnásobí s q > 1, jako v druhém příkladu, jsou poměrně zvláštní, skládají se z čísel dělitelných velkými mocnostmi malých prvočísla. Třetí formulace je:

Za každé kladné reálné číslo ε, existuje jen konečně mnoho trojic (A, b, C) celých pozitivních celých čísel s A + b = C takhle q(A, b, C) > 1 + ε.

Zatímco je známo, že existuje nekonečně mnoho trojic (A, b, C) celých pozitivních celých čísel s A + b = C takhle q(A, b, C)> 1, domněnka předpovídá, že jen konečně mnoho z nich má q > 1.01 nebo q > 1,001 nebo dokonce q > 1.0001 atd. Zejména pokud je domněnka pravdivá, pak musí existovat trojice (A, b, C), který dosahuje maximální možné kvality q(A, b, C) .

Příklady trojic s malými radikály

Podmínka, že ε > 0 je nutné, protože existuje nekonečně mnoho trojic A, b, C s C > rad (abc). Například nechte

${ displaystyle a = 1, quad b = 2 ^ {6n} -1, quad c = 2 ^ {6n}, qquad n> 1.}$

Celé číslo b je dělitelné 9:

${ displaystyle b = 2 ^ {6n} -1 = 64 ^ {n} -1 = (64-1) ( cdots) = 9 cdot 7 cdot ( cdots).}$

Pomocí této skutečnosti vypočítáme:

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {rad} (abc) & = operatorname {rad} (a) operatorname {rad} (b) operatorname {rad} (c) & = operatorname { rad} (1) operatorname {rad} left (2 ^ {6n} -1 right) operatorname {rad} left (2 ^ {6n} right) & = 2 operatorname {rad} left (2 ^ {6n} -1 right) & = 2 operatorname {rad} left (9 cdot { tfrac {b} {9}} right) & leqslant 2 cdot 3 cdot { tfrac {b} {9}} & = 2 { tfrac {b} {3}} & <{ tfrac {2} {3}} c. end {zarovnáno}}}$

Nahrazením exponenta 6n jinými nutícími exponenty b mít větší kvadratické faktory, poměr mezi radikálem a C mohou být libovolně malé. Přesněji řečeno str > 2 být prime a zvážit

${ displaystyle a = 1, quad b = 2 ^ {p (p-1) n} -1, quad c = 2 ^ {p (p-1) n}, qquad n> 1.}$

Nyní to tvrdíme b je dělitelné str²:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} b & = 2 ^ {p (p-1) n} -1 & = left (2 ^ {p (p-1)} right) ^ {n} -1 & = left (2 ^ {p (p-1)} - 1 right) ( cdots) & = p ^ {2} cdot r ( cdots). end {zarovnáno}}}$

Poslední krok využívá skutečnost, že str² dělí 2^str(str−1) - 1. To vyplývá z Fermatova malá věta, což ukazuje, že pro str > 2, 2^str−1 = pk + 1 pro celé číslo k. Zvyšování obou stran na sílu str pak ukazuje, že 2^str(str−1) = str²(...) + 1.

A teď s podobným výpočtem jako výše, máme

${ displaystyle operatorname {rad} (abc) <{ tfrac {2} {p}} c.}$

Seznam nejkvalitnější třílůžkové pokoje (ztrojnásobí se zvláště malým radikálem ve vztahu k C) je uveden níže; nejvyšší kvalitu, 1,6299, našel Eric Reyssat (Lando & Zvonkin 2004, str. 137) pro

A = 2,

b = 3¹⁰·109 = 6436341,

C = 23⁵ = 6436343,

rad (abc) = 15042.

Některé důsledky

The abc domněnka má velké množství důsledků. Patří mezi ně jak známé výsledky (z nichž některé byly prokázány samostatně, protože hypotéza byla uvedena), tak domněnky, pro které dává podmíněný důkaz. Mezi důsledky patří:

• Rothova věta o diofantické aproximaci algebraických čísel.^[5]
• The Mordellova domněnka (již obecně prokázáno Gerd Faltings ).^[6]
• Jako ekvivalent, Vojtova domněnka v dimenzi 1.^[7]
• The Erdős – Woodsova domněnka umožňující konečný počet protikladů.^[8]
• Existence nekonečně mnoha ne-Wieferich připravuje v každé základně b > 1.^[9]
• Slabá forma Marshall Hall je domněnka na oddělení mezi čtverci a kostkami celých čísel.^[10]
• The Fermat – katalánská domněnka, zobecnění Fermatovy poslední věty o mocnostech, které jsou součty mocnin.^[11]
• The L-funkce L(s, χ_d) vytvořený s Legendární symbol, nemá žádný Siegel nula, vzhledem k jednotné verzi abc domněnka v číselných polích, nejen v abc domněnka, jak je formulována výše pro racionální celá čísla.^[12]
• A polynomiální P(X) má jich jen konečně mnoho dokonalé síly pro všechny celá čísla X -li P má alespoň tři jednoduché nuly.^[13]
• Zobecnění Tijdemanova věta o počtu řešení y^m = Xⁿ + k (Tijdemanova věta odpovídá na případ k = 1) a Pillaiho domněnka (1931) o počtu řešení Ay^m = Bxⁿ + k.
• Jako ekvivalent, domněnka Granville – Langevin, že pokud F je binární forma titulu bez čtverců n > 2, pak pro každý skutečný β > 2 je konstanta C(F, β) takové, že pro všechna coprime celá čísla X, yradikál z F(X, y) překračuje C · Max {|X|, |y|}^n−β.^[14]
• Jako ekvivalent upravený Szpiro domněnka, což by přineslo vazbu rad (abc)^1.2+ε.^[2]
• Dąbrowski (1996) ukázal, že abc domněnka to naznačuje diofantická rovnice n! + A = k² má jen definitivně mnoho řešení pro dané číslo A.
• Existuje ~C_FN kladná celá čísla n ≤ N pro který F(n) / B 'je bez čtverců, s C_F > 0 kladná konstanta definovaná jako:^[15]

${ displaystyle c_ {f} = prod _ {{ text {prime}} p} x_ {i} left (1 - { frac { omega , ! _ {f} (p)} {p ^ {2 + q_ {p}}}} vpravo).}$

• Fermatova poslední věta má skvěle obtížný důkaz Andrew Wiles. Z toho však plyne snadno, alespoň pro ${ displaystyle n geq 6}$, z účinné formy slabé verze domněnky abc. Abc domněnka říká lim sup množiny všech kvalit (definovaných výše) je 1, což znamená mnohem slabší tvrzení, že pro vlastnosti existuje konečná horní hranice. Domněnka, že 2 je taková horní hranice, stačí pro velmi krátký důkaz Fermatovy poslední věty pro ${ displaystyle n geq 6}$.^[16]
• The Beal domněnka, zobecnění Fermatovy poslední věty, která navrhuje, že pokud A, B, C, X, y, a z jsou kladná celá čísla s A^X + B^y = C^z a X, y, z > 2 tedy A, B, a C mají společný primární faktor. The abc domněnka by znamenala, že existuje jen konečně mnoho protikladů.
• Langova domněnka, dolní mez pro výška nerotačního racionálního bodu eliptické křivky.
• Negativní řešení Erdős – Ulamův problém.^[17]

Teoretické výsledky

To předpokládá abc domněnka C může být ohraničený výše téměř lineární funkcí radikálu z abc. Jsou známy hranice, které jsou exponenciální. Konkrétně byly prokázány následující hranice:

${ displaystyle c < exp { left (K_ {1} operatorname {rad} (abc) ^ {15} right)}}$ (Stewart a Tijdeman 1986 ),

${ displaystyle c < exp { left (K_ {2} operatorname {rad} (abc) ^ {{ frac {2} {3}} + varepsilon} right)}}$ (Stewart a Yu 1991 ), a

${ displaystyle c < exp { left (K_ {3} operatorname {rad} (abc) ^ { frac {1} {3}} left ( log ( operatorname {rad} (abc)) vpravo) ^ {3} vpravo)}}$ (Stewart & Yu 2001 ).

V těchto mezích K.₁ a K.₃ jsou konstanty na kterých nezávisí A, bnebo C, a K.₂ je konstanta, na které záleží ε (v efektivně vypočítatelné způsobem), ale ne dál A, bnebo C. Hranice platí pro každou trojku, pro kterou C > 2.

Výpočtové výsledky

V roce 2006 katedra matematiky v Brně Leiden University v Nizozemsku zahájila společně s nizozemským vědeckým institutem Kennislink ABC @ Home projekt, a grid computing systém, jehož cílem je objevit další trojnásobky A, b, C s rad (abc) < C. Ačkoli žádná konečná sada příkladů nebo protikladů nemůže vyřešit abc domněnka, doufá se, že vzorce v trojicích objevených tímto projektem povedou k poznatkům o domněnce a obecněji o teorii čísel.

V květnu 2014 společnost ABC @ Home našla 23,8 milionu ztrojnásobení.^[19]

Poznámka: kvalitní q(A, b, C) trojitého (A, b, C) je definováno výše.

Rafinované formuláře, zobecnění a související prohlášení

The abc domněnka je celočíselný analog Mason-Stothersova věta pro polynomy.

Posílení, které navrhl Baker (1998), uvádí, že v abc domněnku lze nahradit rad (abc) od

ε^−ω rad (abc),

kde ω je celkový počet dělení různých prvočísel A, b a C.^[21]

Andrew Granville si všiml, že minimum funkce ${ displaystyle { big (} varepsilon ^ {- omega} operatorname {rad} (abc) { big)} ^ {1+ varepsilon}}$ přes ${ displaystyle varepsilon> 0}$ nastane, když ${ displaystyle varepsilon = { frac { omega} { log { big (} operatorname {rad} (abc) { big)}}}}$

To vyvolalo Baker (2004) navrhnout ostřejší podobu abc domněnka, jmenovitě:

${ displaystyle c < kappa operatorname {rad} (abc) { frac {{ Big (} log { big (} operatorname {rad} (abc) { big)} { Big)} ^ { omega}} { omega!}}}$

s κ absolutní konstanta. Po několika výpočetních experimentech zjistil, že hodnota ${ displaystyle 6/5}$ byl přípustný pro κ.

Tato verze se nazývá „explicitní abc dohad".

Baker (1998) také popisuje související dohady Andrew Granville to by dalo horní hranice C formuláře

${ displaystyle K ^ { Omega (abc)} operatorname {rad} (abc),}$

kde Ω (n) je celkový počet hlavních faktorů n, a

${ displaystyle O { big (} operatorname {rad} (abc) Theta (abc) { big)},}$

kde Θ (n) je počet celých čísel až n dělitelné pouze dělením prvočísel n.

Robert, Stewart a Tenenbaum (2014) navrhl přesnější nerovnost na základě Robert & Tenenbaum (2013).Nechat k = rad (abc). Domnívali se, že existuje konstanta C₁ takhle

${ displaystyle c$

platí, že existuje konstanta C₂ takhle

${ displaystyle c> k exp left (4 { sqrt { frac {3 log k} { log log k}}} left (1 + { frac { log log log k} {2 log log k}} + { frac {C_ {2}} { log log k}} right) right)}$

drží nekonečně často.

Browkin & Brzeziński (1994) formuloval n domněnka - verze abc domněnka zahrnující n > 2 celá čísla.

Nárokované důkazy

Lucien Szpiro navrhl řešení v roce 2007, ale krátce nato bylo shledáno nesprávným.^[22]

V srpnu 2012 Shinichi Mochizuki tvrdil důkaz Szpiro dohadu, a proto abc dohad.^[23] Vydal sérii čtyř předtisků vyvíjejících novou teorii zvanou interuniverzální Teichmüllerova teorie (IUTT), který se poté použije k prokázání několika slavných dohadů v teorii čísel, včetně dohadů abc a hyperbolických Vojtova domněnka.^[24]Matematická komunita tyto dokumenty nepřijala jako doklad o abc.^[25] Není to jen kvůli obtížnosti porozumění a délce,^[26] ale také proto, že alespoň jeden konkrétní bod v argumentu byl některými dalšími odborníky označen jako mezera.^[27] Ačkoli se několik matematiků zaručilo za správnost důkazu,^[28] a pokusili se sdělit své porozumění prostřednictvím workshopů o IUTT, nepodařilo se jim přesvědčit komunitu teorie čísel jako takovou.^[29][30]

V březnu 2018 Peter Scholze a Jakob Stix navštívil Kjóto pro diskuse s Mochizuki.^[31][32]I když rozdíly nevyřešili, přivedli je do jasnějšího zaměření. Scholze a Stix dospěli k závěru, že rozdíl byl „tak závažný, že… malé úpravy nezachrání strategii důkazů“;^[33]Mochizuki tvrdil, že nepochopili zásadní aspekty teorie a učinili neplatná zjednodušení.^[34][35][36]

3. dubna 2020 oznámili dva japonští matematici, že Mochizukiho nárokovaný důkaz bude zveřejněn v Publikace Výzkumný ústav pro matematické vědy (RIMS), časopis, jehož šéfredaktorem je Mochizuki.^[3] Oznámení přijal skepticky Kiran Kedlaya a Edward Frenkel, stejně jako je popsáno v Příroda jako „je nepravděpodobné, že by se mnoho vědců přesunulo do Mochizukiho tábora.“^[3]

Viz také

• Seznam nevyřešených úloh z matematiky

Poznámky

Reference

Zdroje

externí odkazy

• ABC @ home Distribuované výpočty projekt s názvem ABC @ Home.
• Snadné jako ABC: Snadné sledování, podrobné vysvětlení Briana Hayese.
• Weisstein, Eric W. „dohad abc“. MathWorld.
• Abderrahmane Nitaj Domovská stránka dohadů ABC
• Bart de Smit Webová stránka ABC Triples
• http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
• ABC teorie čísel podle Noam D. Elkies
• Dotazy k číslu podle Barry Mazur
• Filozofie Mochizukiho práce na domněnce ABC na MathOverflow
• ABC domněnka Polymath projekt wiki stránka odkazující na různé zdroje komentářů k Mochizukiho dokumentům.
• abc domněnka Numberphile video
• Novinky o IUT od Mochizukiho