Funkce Igusa zeta - Igusa zeta-function

v matematika, an Funkce Igusa zeta je typ generující funkce, počítání počtu řešení rovnice, modulo str, str², str³, a tak dále.

Definice

Pro prvočíslo str nechat K. být p-adické pole, tj. ${displaystyle [K: mathbb {Q} _ {p}]$ , R the oceňovací prsten a P maximální ideál. Pro ${displaystyle zin K}$ označujeme ${displaystyle operatorname {ord} (z)}$ the ocenění z z, ${displaystyle mid zmid = q ^ {- operatorname {ord} (z)}}$ , a ${displaystyle ac (z) = zpi ^ {- operatorname {ord} (z)}}$ pro uniformizační parametr π o R.

Dále nechť ${displaystyle phi: K ^ {n} mapsto mathbb {C}}$ být Funkce Schwartz – Bruhat, tj. lokálně konstantní funkce s kompaktní podpora a nechte ${displaystyle chi}$ být charakter z ${displaystyle R ^ {imes}}$ .

V této situaci se člověk přidruží k nekonstantní polynomiální ${displaystyle f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) v K [x_ {1}, ldots, x_ {n}]}$ funkce Igusa zeta

{displaystyle Z_ {phi} (s, chi) = int _ {K ^ {n}} phi (x_ {1}, ldots, x_ {n}) chi (ac (f (x_ {1}, ldots, x_ { n}))) | f (x_ {1}, ldots, x_ {n}) | ^ {s}, dx}

kde ${displaystyle sin mathbb {C}, operatorname {Re} (s)> 0,}$ a dx je Haarovo opatření tak normalizované ${displaystyle R ^ {n}}$ má opatření 1.

Igusova věta

Jun-Ichi Igusa (1974 ) to ukázal ${displaystyle Z_ {phi} (s, chi)}$ je racionální funkce v ${displaystyle t = q ^ {- s}}$ . Důkaz používá Heisuke Hironaka teorém o rozlišení singularit. Později dal úplně jiný důkaz Jan Denef pomocí rozkladu p-adických buněk. Málo je však známo o explicitních vzorcích. (Existují některé výsledky týkající se funkcí Igusa zeta Fermatové odrůdy.)

Shoda modulo pravomocí ${displaystyle P}$

Od nynějška bereme ${displaystyle phi}$ být charakteristická funkce z ${displaystyle R ^ {n}}$ a ${displaystyle chi}$ být triviální postavou. Nechat ${displaystyle N_ {i}}$ označte počet řešení shoda