Věta o podprostoru - Subspace theorem

V matematice je věta o podprostoru říká, že malé body výška v projektivní prostor leží v konečném počtu hyperplanes. Je to výsledek získaný Wolfgang M. Schmidt  (1972 ).

Prohlášení

Věta o podprostoru uvádí, že pokud L1,...,Ln jsou lineárně nezávislé lineární formuláře v n proměnné s algebraický koeficienty a pokud ε> 0 je jakékoli dané reálné číslo, pak nenulové celé číslo X s

leží v konečném počtu správné podprostory z Qn.

Schmidt také získal kvantitativní formu věty, ve které počet podprostorů obsahujících všechny roztoky, a věta byla zobecněna Schlickewei (1977) umožnit obecnější absolutní hodnoty na počet polí.

Aplikace

Věta může být použita k získání výsledků na Diophantine rovnice jako Siegelova věta o integrálních bodech a řešení Rovnice S-jednotky.[1]

Důsledek pro diofantickou aproximaci

Následující důsledek k teorému podprostoru se často sám označuje jako věta o podprostoru.Li A1,...,An jsou algebraické takové, že 1,A1,...,An jsou lineárně nezávislé Q a ε> 0 je libovolné dané reálné číslo, pak existuje jen konečně mnoho racionálních n-tuples (X1/ y, ...,Xn/ y) s

Specializace n = 1 dává Thue – Siegel – Rothova věta. Lze také poznamenat, že exponent 1 + 1 /n+ ε je nejlépe možné pomocí Dirichletova věta o diofantické aproximaci.

Reference

  1. ^ Bombieri & Gubler (2006), str. 176–230.
  • Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006). Výšky v diofantické geometrii. Nové matematické monografie. 4. Cambridge: Cambridge University Press. doi:10.2277/0521846153. ISBN  978-0-521-71229-3. PAN  2216774. Zbl  1130.11034.
  • Schlickewei, Hans Peter (1977). „O normových tvarových rovnicích“. J. Teorie čísel. 9 (3): 370–380. doi:10.1016 / 0022-314X (77) 90072-5. PAN  0444562.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
  • Schmidt, Wolfgang M. (1972). "Normové rovnice". Annals of Mathematics. Druhá série. 96 (3): 526–551. doi:10.2307/1970824. PAN  0314761.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
  • Schmidt, Wolfgang M. (1980). Diophantine aproximace. Přednášky z matematiky. 785 (1996 s drobnými korekcemi vyd.). Berlín: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-540-38645-2. ISBN  3-540-09762-7. PAN  0568710. Zbl  0421.10019.
  • Schmidt, Wolfgang M. (1991). Diophantine aproximace a Diophantine rovnice. Přednášky z matematiky. 1467. Berlín: Springer-Verlag. doi:10.1007 / BFb0098246. ISBN  3-540-54058-X. PAN  1176315. Zbl  0754.11020.