| Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte zlepšit to nebo diskutovat o těchto otázkách na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) |
v matematika, an algebraický geometrický kód (AG-kód), jinak známý jako a Goppa kód, je obecný typ lineární kód konstruováno pomocí algebraická křivka
přes konečné pole
. Tyto kódy zavedl Valerii Denisovich Goppa. Ve zvláštních případech mohou být zajímavé extrémní vlastnosti. Neměli by být zaměňováni s binární kódy Goppa které se používají například v Kryptosystém McEliece.
Konstrukce
Tradičně je AG kód vytvořen z ne singulární projektivní křivka X přes konečné pole
pomocí řady pevných odlišných
-racionální body na
:

Nechat
být dělitel na X, s Podpěra, podpora který se skládá pouze z racionálních bodů a který je nesouvislý s
. Tím pádem 
Podle Riemann – Rochova věta existuje jedinečný konečně-dimenzionální vektorový prostor,
, s ohledem na dělitele
. Vektorový prostor je podprostorem funkční pole z X.
Existují dva hlavní typy AG kódů, které lze vytvořit pomocí výše uvedených informací.
Kód funkce
Kód funkce (nebo duální kód ) vzhledem ke křivce X, dělitel
a sada
je konstruován následovně.
Nechat
, být dělitelem s
jak je definováno výše. Obvykle označujeme kód Goppa C(D,G). Nyní víme vše, co potřebujeme k definování kódu Goppa:

Pevně
pro L(G) přes
, odpovídající kód Goppa v
je překlenuta
vektory

Proto,

je generátorová matice pro 
Ekvivalentně je definován jako obraz

Následující text ukazuje, jak parametry kódu souvisejí s klasickými parametry lineární systémy dělitelů D na C (srov. Riemann – Rochova věta více). Zápis ℓ(D) znamená rozměr L(D).
- Návrh A. Rozměr kódu Goppa
je 
Důkaz. Od té doby
to musíme ukázat

Nechat
pak
tak
. Tím pádem,
Naopak, předpokládejme
pak
od té doby

(G „neopravuje“ problémy s
, tak F místo toho to musí udělat.) Z toho vyplývá 
- Návrh B. Minimální vzdálenost mezi dvěma kódovými slovy je

Důkaz. Předpokládejme Hammingova hmotnost z
je d. To znamená, že pro
indexy
my máme
pro
Pak
, a

Užívání titulů na obou stranách a to

dostaneme

tak

Zbytkový kód
Zbytkový kód lze definovat jako dvojku funkčního kódu nebo jako zbytek některých funkcí v
je
Reference
- Key One Chung, Kódy Goppa, Prosinec 2004, katedra matematiky, Iowa State University.
externí odkazy