Hilbertsova věta o neredukovatelnosti - Hilberts irreducibility theorem - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Březen 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie čísel, Hilbertova věta o neredukovatelnosti, koncipovaný David Hilbert v roce 1892 uvádí, že každá konečná množina neredukovatelné polynomy v konečném počtu proměnných a racionální číslo koeficienty připouštějí společnou specializaci vlastní podmnožiny proměnných na racionální čísla tak, že všechny polynomy zůstávají neredukovatelné. Tato věta je prominentní teorém v teorii čísel.

Formulace věty

Hilbertova věta o neredukovatelnosti. Nechat

${ displaystyle f_ {1} (X_ {1}, ldots, X_ {r}, Y_ {1}, ldots, Y_ {s}), ldots, f_ {n} (X_ {1}, ldots , X_ {r}, Y_ {1}, ldots, Y_ {s})}$

být neredukovatelné polynomy v kruhu

${ displaystyle mathbb {Q} (X_ {1}, ldots, X_ {r}) [Y_ {1}, ldots, Y_ {s}].}$

Pak existuje r-tupce racionálních čísel (A₁, ..., A_r) takové, že

${ displaystyle f_ {1} (a_ {1}, ldots, a_ {r}, Y_ {1}, ldots, Y_ {s}), ldots, f_ {n} (a_ {1}, ldots , a_ {r}, Y_ {1}, ldots, Y_ {s})}$

jsou v kruhu neredukovatelné

${ displaystyle mathbb {Q} [Y_ {1}, ldots, Y_ {s}].}$

Poznámky.

• Z věty vyplývá, že existuje nekonečně mnoho r- n-tice. Ve skutečnosti je množina všech neredukovatelných specializací, zvaná Hilbertova množina, v mnoha smyslech velká. Například tato sada je Zariski hustý v ${ displaystyle mathbb {Q} ^ {r}.}$
• Vždy existuje (nekonečně mnoho) celočíselných specializací, tj. Tvrzení věty platí, i když požadujeme (A₁, ..., A_r) být celá čísla.
• Je jich mnoho Hilbertovy pole, tj. pole splňující Hilbertovu větu o neredukovatelnosti. Například, počet polí jsou Hilbertianové.^[1]
• Neredukovatelná vlastnost specializace uvedená ve větě je nejobecnější. Existuje mnoho redukcí, například stačí je přijmout ${ displaystyle n = r = s = 1}$ v definici. Výsledek Bary-Soroker ukazuje, že pro pole K. být Hilbertianem stačí vzít v úvahu případ ${ displaystyle n = r = s = 1}$ a ${ displaystyle f = f_ {1}}$ absolutně neredukovatelné, to znamená v kruhu neredukovatelné K.^alg[X,Y], kde K.^alg je algebraické uzavření K..

Aplikace

Hilbertova věta o ireducibilitě má mnoho aplikací v teorie čísel a algebra. Například:

• The inverzní Galoisův problém, Hilbertova původní motivace. Věta téměř okamžitě naznačuje, že pokud existuje konečná skupina G lze realizovat jako Galoisovu skupinu rozšíření Galois N z

${ displaystyle E = mathbb {Q} (X_ {1}, ldots, X_ {r}),}$

pak to může být specializované na rozšíření Galois N₀ racionálních čísel s G jako jeho skupina Galois.^[2] (Chcete-li to vidět, vyberte monický neredukovatelný polynom F(X₁, ..., X_n, Y), jehož kořen generuje N přes E. Li F(A₁, ..., A_n, Y) je pro některé nesnížitelné A_i, pak jeho kořen vygeneruje uplatněný N₀.)

• Konstrukce eliptických křivek s velkou hodností.^[2]

• Hilbertova věta o ireducibilitě se používá jako krok v Andrew Wiles důkaz Fermatova poslední věta.

• Pokud je polynom ${ displaystyle g (x) v mathbb {Z} [x]}$ je perfektní čtverec pro všechny velké celočíselné hodnoty X, pak g (x) je čtverec polynomu v ${ displaystyle mathbb {Z} [x].}$ To vyplývá z Hilbertovy věty o neredukovatelnosti s ${ displaystyle n = r = s = 1}$ a

${ displaystyle f_ {1} (X, Y) = Y ^ {2} -g (X).}$

(Existuje více elementárních důkazů.) Stejný výsledek platí, když je „čtverec“ nahrazen „kostkou“, „čtvrtou mocí“ atd.

Zobecnění

Bylo přeformulováno a zevšeobecněno pomocí jazyka jazyka algebraická geometrie. Vidět tenká sada (Serre).

Reference

• D. Hilbert, „Uber die Irreducibilitat ganzer rationaler Functionen mit ganzzahligen Coefficienten“, J. reine angew. Matematika. 110 (1892) 104–129.

• Lang, Serge (1997). Průzkum diofantické geometrie. Springer-Verlag. ISBN  3-540-61223-8. Zbl  0869.11051.
• J. P. Serre, Přednášky o Mordell-Weilově větě, Vieweg, 1989.
• M. D. Fried a M. Jarden, Polní aritmetikaSpringer-Verlag, Berlín, 2005.
• H. Völklein, Skupiny jako skupiny Galois, Cambridge University Press, 1996.
• G. Malle a B. H. Matzat, Inverzní Galoisova teorieSpringer, 1999.