Galoisův modul - Galois module - Wikipedia

v matematika, a Galoisův modul je G-modul, s G být Galoisova skupina některých rozšíření z pole. Termín Galoisovo zastoupení se často používá, když G-module je a vektorový prostor přes pole nebo a bezplatný modul přes prsten v teorie reprezentace, ale lze jej také použít jako synonymum pro G-modul. Studium modulů Galois pro rozšíření místní nebo globální pole je důležitým nástrojem v teorie čísel.

Příklady

Teorie rozvětvení

Nechat K. být oceňované pole (s oceněním označeným proti) a nechte L/K. být konečný Galoisovo rozšíření se skupinou Galois G. Pro rozšíření w z proti na L, nechť Jáw označit jeho setrvačná skupina. Galoisův modul ρ: G → Aut (PROTI) se říká, že je unramified pokud ρ (Jáw) = {1}.

Galoisova struktura modulu algebraických celých čísel

V klasickém algebraická teorie čísel, nechť L být Galoisovým rozšířením pole K.a nechte G být odpovídající Galoisova skupina. Pak prsten ÓL z algebraická celá čísla z L lze považovat za ÓK.[G] -module a lze se zeptat, jaká je jeho struktura. Toto je aritmetická otázka v tom, že věta o normální bázi jeden to ví L je zdarma K.[G] -modul hodnosti 1. Pokud totéž platí pro celá čísla, je to ekvivalentní existenci a normální integrální základ, tj. α in ÓL takový, že jeho konjugované prvky pod G dát zdarma základ pro ÓL přes ÓK.. To je zajímavá otázka, i když (možná zvláště), když K. je racionální číslo pole Q.

Například pokud L = Q(√−3), existuje normální integrální základ? Odpověď zní ano, jak člověk vidí tím, že ji identifikuje Q(ζ) kde

ζ = exp (2πi/3).

Ve skutečnosti všechna podpole cyklotomická pole pro p-th kořeny jednoty pro p A prvočíslo mít normální integrální základny (přes Z), jak lze odvodit z teorie Gaussovské období (dále jen Věta Hilbert – Speiser ). Na druhou stranu Gaussovo pole ne. Toto je příklad a nutné stav nalezen Emmy Noetherová (možná známé dříve?). Zde je důležité krotit rozvětvení. Z hlediska diskriminující D z La brát klid K. = Q, bez prime p musí se rozdělit D k moci p. Pak Noetherova věta uvádí, že krotké rozvětvení je nezbytné a dostatečné ÓL být a projektivní modul přes Z[G]. Určitě je tedy nutné, aby to bylo volný, uvolnit modul. Ponechává otázku rozdílu mezi volným a projektivním, pro který je nyní vytvořena velká teorie.

Klasický výsledek založený na výsledku David Hilbert, je to krotce rozvětvené abelianské číslo má normální integrální základ. To lze vidět pomocí Kroneckerova-Weberova věta vložit abelianské pole do cyklotomického pole.[1]

Galoisovy reprezentace v teorii čísel

Mnoho objektů, které vyvstávají v teorii čísel, jsou přirozeně Galoisovy reprezentace. Například pokud L je Galoisovo rozšíření a pole s číslem K., kruh celých čísel ÓL z L je modul Galois ÓK. pro skupinu Galois v L/K. (viz Hilbert-Speiserova věta). Li K. je lokální pole, multiplikativní skupina jeho oddělitelného uzavření je modulem pro absolutní Galoisovu skupinu K. a jeho studie vede k místní teorie pole. Pro teorie globálního pole, svaz skupiny ideálních tříd konečný oddělitelná rozšíření z K. místo toho se používá.

Existují také reprezentace Galois, které vycházejí z pomocných objektů a lze je použít ke studiu skupin Galois. Důležitou skupinou příkladů jsou ℓ-adic Tate moduly z abelianské odrůdy.

Artin reprezentace

Nechat K. být číselné pole. Emil Artin představil třídu Galoisových reprezentací absolutní skupiny Galois GK. z K., nyní volal Artin reprezentace. Tohle jsou kontinuální konečně-rozměrné lineární reprezentace GK. na složité vektorové prostory. Artinova studie těchto reprezentací ho vedla k formulaci Artin zákon o vzájemnosti a domyslete si, co se nyní nazývá Artin domněnka Týkající se holomorphy z Artin L-funkce.

Z důvodu neslučitelnosti profinitní topologie na GK. a obvyklá (euklidovská) topologie na komplexních vektorových prostorech, obraz Artinova zastoupení je vždy konečné.

ℓ-adické reprezentace

Nechť ℓ být a prvočíslo. An ℓ -adická reprezentace z GK. je spojitý skupinový homomorfismus ρ: GK. → Aut (M) kde M je buď konečný trojrozměrný vektorový prostor Qℓ (algebraické uzavření ℓ -adic čísla Qℓ) nebo a definitivně generováno Zℓ-modul (kde Zℓ je integrální uzávěr z Zℓ v Qℓ). První příklady, které se objevily, byly ℓ -adic cyklotomický charakter a ℓ-adické Tateovy moduly abelianských odrůd K.. Další příklady pocházejí z Galoisových reprezentací modulárních forem a automorfních forem a Galoisových reprezentací na ℓ-adických kohomologických skupinách algebraických odrůd.

Na rozdíl od Artinových reprezentací mohou mít ℓ-adické reprezentace nekonečný obraz. Například obrázek GQ pod ℓ-adickým cyklotomickým znakem je . ℓ -adické reprezentace s konečným obrazem se často nazývají Artinovy ​​reprezentace. Prostřednictvím izomorfismu z Qℓ s C lze je identifikovat v dobré víře Artin reprezentace.

Mod ℓ reprezentace

Jedná se o reprezentace přes konečné pole charakteristiky ℓ. Často vznikají jako redukční modus ℓadické reprezentace.

Místní podmínky pro zastoupení

Existuje mnoho podmínek pro reprezentace dané nějakou vlastností reprezentace omezenou na rozkladnou skupinu nějakého prvočísla. Terminologie pro tyto podmínky je poněkud chaotická, různí autoři vymýšlejí různá jména pro stejnou podmínku a používají stejný název s různými významy. Mezi tyto podmínky patří:

  • Abelian reprezentace. To znamená, že obraz skupiny Galois v reprezentacích je abelian.
  • Absolutně neredukovatelné reprezentace. Ty zůstávají neredukovatelné nad algebraické uzavření pole.
  • Barsotti – Tateova reprezentace. Jsou podobné konečným plochým reprezentacím.
  • Krystalické reprezentace.
  • de Rham reprezentace.
  • Konečné ploché reprezentace. (Toto jméno je trochu zavádějící, protože je spíše profinitní než konečné). Lze je konstruovat jako projektivní limit reprezentací skupiny Galois na konečné ploše skupinové schéma.
  • Dobrá reprezentace. Ty se vztahují k reprezentacím eliptické křivky s dobrou redukcí.
  • Reprezentace Hodge – Tate.
  • Neredukovatelné reprezentace. Jsou neredukovatelné v tom smyslu, že jedinou subreprezentací je celý prostor nebo nula.
  • Minimálně rozvětvené reprezentace.
  • Modulární reprezentace. Toto jsou reprezentace pocházející z a modulární forma.
  • Obyčejná reprezentace. Ty souvisejí s reprezentacemi eliptických křivek s obyčejnou (nesersersulární) redukcí. Přesněji řečeno, jsou to 2-dimenzionální reprezentace, které jsou redukovatelné s 1-dimenzionální subreprezentací, takže setrvačná skupina působí určitým způsobem na submodul a kvocient. Přesná podmínka závisí na autorovi; například může působit triviálně na kvocient a znakem ε na submodulu.
  • Potenciálně něco reprezentace. To znamená, že reprezentace omezené na otevřenou podskupinu konečného indexu mají nějakou vlastnost.
  • Redukovatelné reprezentace. Ty mají správné nenulové dílčí zastoupení.
  • Semistabilní reprezentace. Jedná se o dvourozměrná reprezentace související s reprezentacemi pocházejícími polostabilní eliptické křivky.
  • Zkrotně rozvětvené reprezentace. Jedná se o triviální na (první) rozvětvovací skupina.
  • Unramified reprezentace. Ty jsou na skupině setrvačnosti triviální.
  • Divoce rozvětvené reprezentace. Na (první) rozvětvovací skupině to není triviální.

Zastoupení skupiny Weil

Li K. je místní nebo globální pole, teorie třídní formace připojí k K. své Weilova skupina ŽK., kontinuální skupinový homomorfismus φ: ŽK. → GK.a izomorfismus z topologické skupiny

kde CK. je K.× nebo skupina ideálních tříd JáK./K.× (podle toho, zda K. je místní nebo globální) a Ž ab
K.  je abelianizace skupiny Weil z K.. Přes φ, jakékoli zastoupení GK. lze považovat za reprezentaci ŽK.. Nicméně, ŽK. může mít striktně více reprezentací než GK.. Například prostřednictvím rK. spojité komplexní znaky ŽK. jsou v bijection s těmi z CK.. Znak absolutní hodnoty tedy zapnutý CK. dává charakter ŽK. jehož obraz je nekonečný, a proto není znakem GK. (protože všichni mají konečný obraz).

ℓadická reprezentace ŽK. je definován stejným způsobem jako pro GK.. Ty vznikají přirozeně z geometrie: pokud X je hladký projektivní rozmanitost přes K., pak ℓ-adická cohomologie geometrického vlákna z X je ℓ-adická reprezentace GK. který prostřednictvím φ indukuje ℓ-adickou reprezentaci ŽK.. Li K. je místní pole charakteristik reziduí p ≠ ℓ, pak je jednodušší studovat tzv. Weil-Deligne reprezentace ŽK..

Zastoupení Weil – Deligne

Nechat K. být místním polem. Nechat E být polem charakteristické nuly. A Zastoupení Weil – Deligne přes E z ŽK. (nebo jednoduše z K.) je pár (r, N) skládající se z

  • kontinuální skupinový homomorfismus r : ŽK. → AutE(PROTI), kde PROTI je konečný trojrozměrný vektorový prostor E vybavené diskrétní topologie,
  • A nilpotentní endomorfismus N : PROTI → PROTI takhle r(w) Nr(w)−1= ||w||N pro všechny w ∈ ŽK..[2]

Tyto reprezentace jsou stejné jako reprezentace nad E z Skupina Weil – Deligne z K..

Pokud je charakteristika zbytku K. se liší od ℓ, Grothendieck je Věta ℓ-adic monodromy nastavuje bijekci mezi ℓ-adickými reprezentacemi ŽK. (přes Qℓ) a Weil – Deligne reprezentace ŽK. přes Qℓ (nebo ekvivalentně přes C). Ty druhé mají pěknou vlastnost, kterou kontinuita r je pouze s ohledem na diskrétní topologii PROTI, čímž bude situace více algebraická.

Viz také

Poznámky

  1. ^ Fröhlich (1983), str. 8
  2. ^ Tady ||w|| darováno q proti(w)
    K.          kde qK. je velikost pole zbytku K. a proti(w) je takový, že w je ekvivalentní s -proti(w) th síla (aritmetický) Frobenius z ŽK..

Reference

  • Kudla, Stephen S. (1994), „Místní korespondence v Langlands: případ, který není archimédský“, Motivy, část 2, Proc. Symposy. Čistá matematika., 55„Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., Str. 365–392, ISBN  978-0-8218-1635-6
  • Neukirch, Jürgen; Schmidt, Alexander; Wingberg, Kay (2000), Kohomologie číselných polí, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-66671-4, PAN  1737196, Zbl  0948.11001
  • Tate, Johne (1979), „Number theoretic background“, Automorfní formy, reprezentace a funkce L, část 2, Proc. Symposy. Čistá matematika., 33„Providence, R.I .: Amer. Matematika. Soc., S. 3–26, ISBN  978-0-8218-1437-6

Další čtení