Funkce zeta výšky - Height zeta function - Wikipedia

V matematice je funkce výšky zeta z algebraická rozmanitost nebo obecněji podmnožina odrůdy kóduje rozložení zadaných bodů výška.

Definice

Li S je sada s výškovou funkcí H, takže existuje jen konečně mnoho prvků ohraničené výšky, definujte a funkce počítání

${ displaystyle N (S, H, B) = # {x v S: H (x) leq B }.}$

a a funkce zeta

${ displaystyle Z (S, H; s) = součet _ {x v S} H (x) ^ {- s}.}$

Vlastnosti

Li Z má úsečka konvergence β a existuje konstanta C takhle N má rychlost růstu

${ displaystyle N sim cB ^ {a} ( log B) ^ {t-1}}$

pak verze Věta Wiener – Ikehara drží: Z má t- skládací tyč na s = β se zbytkem C.A.Γ (t).

Úsečka konvergence má podobné formální vlastnosti jako Nevanlinna neměnná a předpokládá se, že jsou v zásadě stejné. Přesněji řečeno, Batyrev – Manin předpokládal následující.^[1] Nechat X být projektivní odrůdou v řadě čísel K. s dostatečným dělitelem D což vede k funkci vložení a výšky Ha nechte U označují podmnožinu otevřenou ZariskiX. Nechat α = α(D) být Nevanlinna neměnná D a β úsečka konvergence Z(U, H; s). Pak pro každého ε > 0 existuje U takhle β < α + ε: v opačném směru, pokud α > 0 potom α = β pro všechna dostatečně velká pole K. a dostatečně malýU.

Reference

• Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Postgraduální texty z matematiky. 201. ISBN  0-387-98981-1. Zbl  0948.11023.
• Lang, Serge (1997). Průzkum diofantické geometrie. Springer-Verlag. ISBN  3-540-61223-8. Zbl  0869.11051.