Algebraická diferenciální rovnice - Algebraic differential equation

v matematika, an algebraická diferenciální rovnice je diferenciální rovnice které lze vyjádřit pomocí diferenciální algebra. Podle použitého konceptu diferenciální algebry existuje několik takových pojmů.

Záměrem je zahrnout rovnice vytvořené pomocí diferenciální operátory, ve kterém jsou koeficienty racionální funkce proměnných (např hypergeometrická rovnice ). Algebraické diferenciální rovnice jsou široce používány v počítačová algebra a teorie čísel.

Jednoduchý koncept je koncept a polynomiální vektorové pole, jinými slovy a vektorové pole vyjádřena s ohledem na standardní souřadnicovou základnu jako první parciální derivace s polynomiálními koeficienty. Toto je typ algebraického diferenciálního operátoru prvního řádu.

Formulace

• Odvození D lze použít jako algebraické analogy formální části diferenciální počet, aby algebraické diferenciální rovnice měly smysl komutativní prsteny.
• Teorie diferenciální pole byl zřízen k vyjádření diferenciální Galoisova teorie v algebraických termínech.
• The Weylova algebra Ž lze uvažovat o diferenciálních operátorech s polynomiálními koeficienty; určitý moduly M lze použít k vyjádření diferenciálních rovnic podle prezentace M.
• Koncept Připojení Koszul je něco, do čeho se snadno přepisuje algebraická geometrie, což dává algebraický analog cesty soustavy diferenciálních rovnic jsou geometricky reprezentovány vektorové svazky s připojením.
• Koncept proud lze popsat čistě algebraicky, jak to bylo provedeno v části Grothendieck je EGA projekt.
• Teorie D-moduly je globální teorie lineárních diferenciálních rovnic a byla vyvinuta tak, aby obsahovala podstatné výsledky v algebraické teorii (včetně Riemann-Hilbertova korespondence pro vyšší rozměry).

Algebraická řešení

Obvykle neplatí, že obecné řešení algebraické diferenciální rovnice je algebraická funkce: řešení rovnic obvykle vytváří román transcendentální funkce. Případ algebraických řešení je však velmi zajímavý; klasický Schwarzův seznam se zabývá případem hypergeometrické rovnice. V diferenciální Galoisově teorii je případ algebraických řešení ten, ve kterém je diferenciální Galoisova skupina G je konečný (ekvivalentně dimenze 0 nebo konečný monodromy skupina pro případ Riemannovy povrchy a lineární rovnice). Tento případ stojí zhruba ve vztahu k celé teorii invariantní teorie dělá teorie reprezentace skupin. Skupina G je obecně obtížné vypočítat, porozumění algebraickým řešením je známkou horních mezí pro G.

externí odkazy

• Mikhalev, A.V .; Pankrat'ev, E.V. (2001) [1994], „Diferenciální algebra“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Mikhalev, A.V .; Pankrat'ev, E.V. (2001) [1994], "Rozšíření diferenciálního pole", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS