Tate dohad - Tate conjecture - Wikipedia

Tate dohad

John Tate
Pole	Algebraická geometrie a teorie čísel
Vyjádřený	John Tate
V domněnce	1963
Známé případy	dělitelé dál abelianské odrůdy
Důsledky	Standardní domněnky o algebraických cyklech

v teorie čísel a algebraická geometrie, Tate dohad je 1963 dohad z John Tate to by popisovalo algebraické cykly na odrůda pokud jde o vypočítatelnější invariant, Galoisovo zastoupení na étale cohomology. Domněnka je ústředním problémem v teorii algebraických cyklů. Lze jej považovat za aritmetický analog Hodgeova domněnka.

Prohlášení o domněnce

Nechat PROTI být hladký projektivní rozmanitost přes pole k který je konečně generován přes jeho hlavní pole. Nechat k_s být oddělitelný uzávěr z ka nechte G být absolutní skupina Galois Gal (k_s/k) z k. Opravit a prvočíslo ℓ který je invertibilní v k. Zvažte ℓ-adická kohomologie skupiny (koeficienty v ℓ -adic celá čísla Z_ℓ, skaláry se poté rozšířily na ℓ -adic čísla Q_ℓ) základního rozšíření PROTI na k_s; tyto skupiny jsou reprezentace z G. Pro všechny i ≥ 0, a kodimenzionální -i podrodina PROTI (rozumí se, že bude definováno znovu k) určuje prvek kohomologické skupiny

${ displaystyle H ^ {2i} (V_ {k_ {s}}, mathbf {Q} _ { ell} (i)) = W}$

který je opraven G. Tady Q_ℓ(i ) označuje i^th Tate twist, což znamená, že toto zastoupení skupiny Galois G je tenzorován pomocí i^th síla cyklotomický charakter.

The Tate dohad uvádí, že podprostor Ž^G z Ž opraveno skupinou Galois G je rozpětí, jako a Q_ℓ-vektorový prostor, podle tříd codimension-i poddruhy PROTI. An algebraický cyklus znamená konečnou lineární kombinaci dílčích odrůd; ekvivalentní prohlášení je, že každý prvek Ž^G je třída algebraického cyklu na PROTI s Q_ℓ koeficienty.

Známé případy

Tate dohad pro dělitele (algebraické cykly kodimenzionální 1) je velkým otevřeným problémem. Například nechte F : X → C být morfismem z hladkého projektivního povrchu na hladkou projektivní křivku přes konečné pole. Předpokládejme, že generické vlákno F z F, což je křivka nad funkční pole k(C), je hladký k(C). Pak Tate dohad pro dělitele na X je ekvivalentní s Birch a domněnka Swinnerton-Dyer pro Jacobian odrůda z F.^[1] Naproti tomu je Hodgeova domněnka dělitelů o jakékoli hladké komplexní projektivní odrůdě známa (dále jen Lefschetz (1,1) - věta ).

Pravděpodobně nejdůležitějším známým případem je, že Tateova domněnka platí pro dělitele abelianské odrůdy. Toto je Tateova věta pro abelianské odrůdy nad konečnými poli a Faltings pro abelianské odrůdy nad číselnými poli část Faltingova řešení Mordellova domněnka. Zarhin rozšířil tyto výsledky na jakékoli konečně vygenerované základní pole. Tate dohad pro dělitele na abelian odrůd implikuje Tate dohad pro dělitele na libovolný produkt křivek C₁ × ... × C_n.^[2]

(Známá) Tateova domněnka pro dělitele o abelianských odrůdách je ekvivalentní silnému tvrzení o homomorfismech mezi abelianskými odrůdami. A to pro všechny abelianské odrůdy A a B přes konečně generované pole k, přírodní mapa

${ displaystyle { text {Hom}} (A, B) otimes _ { mathbf {Z}} mathbf {Q} _ { ell} na { text {Hom}} _ {G} vlevo (H_ {1} left (A_ {k_ {s}}, mathbf {Q} _ { ell} right), H_ {1} left (B_ {k_ {s}}, mathbf {Q} _ { ell} right) right)}$

je izomorfismus.^[3] Zejména abelianská odrůda A je stanovena až isogeny zastoupením Galois na jeho Tate modul H₁(A_ks, Z_ℓ).

Tate dohad také platí pro K3 povrchy přes konečně generovaná pole charakteristiky ne 2.^[4] (Na povrchu je netriviální část domněnky o dělitelích.) V charakteristické nule byla domněnka Tate pro povrchy K3 prokázána André a Tankeevem. U povrchů K3 nad konečnými poli charakteristiky ne 2 byla Tateova domněnka prokázána Nygaardem, Ogus, Charles, Madapusi Pera a Maulik.

Totaro (2017) zkoumá známé případy Tateho domněnky.

Související dohady

Nechat X být plynulá projektivní odrůda přes konečně generované pole k. The polojedinost domněnka předpovídá, že zastoupení skupiny Galois G = Gal (k_s/k) na ℓ-adic cohomology of X je polojediný (tj. přímý součet neredukovatelné reprezentace ). Pro k charakteristiky 0, Moonen (2017) ukázal, že Tateova domněnka (jak je uvedeno výše) implikuje semimplicitu

${ displaystyle H ^ {i} left (X times _ {k} { overline {k}}, mathbf {Q} _ { ell} (n) right).}$

Pro k konečná objednávka q„Tate ukázal, že z Tateho domněnky plus domněnky polojednoduchosti vyplývá silný Tate dohad, jmenovitě, že pořadí pólu funkce zeta Z(X, t) na t = q^−j se rovná hodnosti skupiny algebraických cyklů kodimenzionální j modulo numerická ekvivalence.^[5]

Stejně jako Hodgeova domněnka by i Tateova domněnka implikovala většinu Grothendieckových standardní domněnky o algebraických cyklech. Jmenovitě by to znamenalo Lefschetzovu standardní domněnku (že inverze Lefschetzova izomorfismu je definována algebraickou korespondencí); že Künnethovy komponenty úhlopříčky jsou algebraické; a že numerická ekvivalence a homologická ekvivalence algebraických cyklů jsou stejné.

Poznámky

Reference

• André, Yves (1996), „O domněnkách Shafarevicha a Tate pro odrůdy hyper-Kähler“, Mathematische Annalen, 305: 205–248, doi:10.1007 / BF01444219, PAN  1391213
• Faltings, Gerde (1983), „Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern“, Inventiones Mathematicae, 73: 349–366, Bibcode:1983InMat..73..349F, doi:10.1007 / BF01388432, PAN  0718935
• Madapusi Pera, K. (2013), „Tateova domněnka pro povrchy K3 s lichou charakteristikou“, Inventiones Mathematicae, 201: 625–668, arXiv:1301.6326, Bibcode:2013arXiv1301.6326M, doi:10.1007 / s00222-014-0557-5
• Moonen, Ben (2017), Poznámka k domněnce Tate, arXiv:1709.04489v1
• Tate, Johne (1965), „Algebraické cykly a póly funkcí zeta“, Schilling, O. F. G. (ed.), Aritmetická algebraická geometrie, New York: Harper and Row, str. 93–110, PAN  0225778
• Tate, Johne (1966), „Endomorfismy abelianských odrůd nad konečnými poli“, Inventiones Mathematicae, 2: 134–144, Bibcode:1966InMat ... 2..134T, doi:10.1007 / bf01404549, PAN  0206004
• Tate, Johne (1994), „Conjectures on algebraic cycle in ℓ-adic cohomology“, MotivySborník sympozií z čisté matematiky, 55, American Mathematical Society, str. 71–83, ISBN  0-8218-1636-5, PAN  1265523
• Ulmer, Douglas (2014), „Křivky a Jacobians přes funkční pole“, Aritmetická geometrie přes globální funkční pole, Advanced Courses in Mathematics - CRM Barcelona, ​​Birkhäuser, s. 283–337, doi:10.1007/978-3-0348-0853-8, ISBN  978-3-0348-0852-1
• Totaro, Burte (2017), „Nedávný pokrok v domněnce Tate“, Bulletin of the American Mathematical SocietyNová řada, 54 (4): 575–590, doi:10.1090 / býk / 1588

externí odkazy

• James Milne, Tateova domněnka o konečných polích (diskuse AIM).