Chevalleyova varovná věta - Chevalley–Warning theorem

V teorii čísel je Chevalleyova varovná věta to znamená jisté polynomiální rovnice v dostatečně mnoha proměnných přes a konečné pole mít řešení. Bylo prokázáno Ewaldovým varováním (1935 ) a mírně slabší forma věty, známá jako Chevalleyova věta, bylo prokázáno Chevalley  (1935 ). Chevalleyova věta naznačovala Artinovu a Dicksonovu domněnku, že konečná pole jsou kvazi-algebraicky uzavřená pole (Artin 1982, strana x).

Prohlášení o větách

Nechat ${ displaystyle mathbb {F}}$ být konečným polem a ${ displaystyle {f_ {j} } _ {j = 1} ^ {r} subseteq mathbb {F} [X_ {1}, ldots, X_ {n}]}$ být množina polynomů tak, aby vyhovoval počet proměnných

${ displaystyle n> sum _ {j = 1} ^ {r} d_ {j}}$

kde ${ displaystyle d_ {j}}$ je celkový stupeň z ${ displaystyle f_ {j}}$. Věty jsou výroky o řešeních následující soustavy polynomiálních rovnic

${ displaystyle f_ {j} (x_ {1}, tečky, x_ {n}) = 0 quad { text {pro}} , j = 1, ldots, r.}$

• Chevalleyova varovná věta uvádí, že počet společných řešení ${ displaystyle (a_ {1}, dots, a_ {n}) in mathbb {F} ^ {n}}$ je dělitelný charakteristický ${ displaystyle p}$ z ${ displaystyle mathbb {F}}$. Jinými slovy, mohutnost mizející sady ${ displaystyle {f_ {j} } _ {j = 1} ^ {r}}$ je ${ displaystyle 0}$ modulo ${ displaystyle p}$.
• Chevalleyova věta uvádí, že pokud má systém triviální řešení ${ displaystyle (0, tečky, 0) v mathbb {F} ^ {n}}$, tj. pokud polynomy nemají žádné konstantní členy, má systém také netriviální řešení ${ displaystyle (a_ {1}, tečky, a_ {n}) in mathbb {F} ^ {n} zpětné lomítko {(0, tečky, 0) }}$.

Chevalleyova věta je bezprostředním důsledkem Chevalleyho-varovné věty od té doby ${ displaystyle p}$ je alespoň 2.

Obě věty jsou nejlepší možné v tom smyslu, že pokud je dána ${ displaystyle n}$, seznam ${ displaystyle f_ {j} = x_ {j}, j = 1, tečky, n}$ má celkový stupeň ${ displaystyle n}$ a jen triviální řešení. Alternativně můžeme použít pouze jeden polynom F₁ být titul n polynom daný daným norma z X₁A₁ + ... + X_nA_n kde prvky A tvoří základ konečného pole řádu pⁿ.

Varování prokázalo další větu, známou jako Varovova druhá věta, která uvádí, že má-li systém polynomiálních rovnic triviální řešení, má alespoň ${ displaystyle q ^ {n-d}}$ řešení kde ${ displaystyle q}$ je velikost konečného pole a ${ displaystyle d: = d_ {1} + tečky + d_ {r}}$. Z toho přímo vyplývá i Chevalleyova věta.

Věta o důkazu varování

Poznámka: Li ${ displaystyle i$ pak

${ displaystyle sum _ {x in mathbb {F}} x ^ {i} = 0}$

takže součet skončil ${ displaystyle mathbb {F} ^ {n}}$ libovolného polynomu v ${ displaystyle x_ {1}, ldots, x_ {n}}$ stupně menší než ${ displaystyle n (q-1)}$ také zmizí.

Celkový počet běžných řešení modulo ${ displaystyle p}$ z ${ displaystyle f_ {1}, ldots, f_ {r} = 0}$ je rovný

${ displaystyle sum _ {x in mathbb {F} ^ {n}} (1-f_ {1} ^ {q-1} (x)) cdot ldots cdot (1-f_ {r} ^ {q-1} (x))}$

protože každý člen je 1 pro řešení a jinak 0. Je-li součet stupňů polynomů ${ displaystyle f_ {i}}$ je méně než n pak to zmizí výše uvedenou poznámkou.

Artinova domněnka

Je to důsledek Chevalleyho věty, že konečná pole jsou kvazi-algebraicky uzavřeno. To bylo domněnkou Emil Artin v roce 1935. Motivem Artinova domněnky bylo jeho pozorování, že kvazi-algebraicky uzavřená pole mají triviální Brauerova skupina, spolu se skutečností, že konečná pole mají triviální Brauerovu skupinu Wedderburnova věta.

Věta Ax – Katz

The Věta o Axe-Katzovi, pojmenoval podle James Axe a Nicholas Katz, určuje přesněji mocninu ${ displaystyle q ^ {b}}$ mohutnosti ${ displaystyle q}$ z ${ displaystyle mathbb {F}}$ rozdělení počtu řešení; tady, pokud ${ displaystyle d}$ je největší z ${ displaystyle d_ {j}}$, pak exponent ${ displaystyle b}$ lze brát jako stropní funkce z

${ displaystyle { frac {n- součet _ {j} d_ {j}} {d}}.}$

Výsledek Ax – Katz má interpretaci v étale cohomology jako výsledek dělitelnosti pro (převrácené hodnoty) nul a pólů místní funkce zeta. Totéž, stejná síla ${ displaystyle q}$ rozděluje každou z nich algebraická celá čísla.

Viz také

• Kombinatorický Nullstellensatz

Reference

• Artin, Emil (1982), Lang, Serge .; Tate, Johne (eds.), Shromážděné papíry, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90686-7, PAN  0671416
• Axe, Jamesi (1964), "Nuly polynomů nad konečnými poli", American Journal of Mathematics, 86: 255–261, doi:10.2307/2373163, PAN  0160775
• Chevalley, Claude (1935), „Démonstration d'une hypothèse de M. Artin“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (francouzsky), 11: 73–75, doi:10.1007 / BF02940714, JFM  61.1043.01, Zbl  0011.14504
• Katz, Nicholas M. (1971), "O teorému o Axe", Amer. J. Math., 93 (2): 485–499, doi:10.2307/2373389
• Varování, Ewald (1935), „Bemerkung zur vorstehenden Arbeit von Herrn Chevalley“, Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg (v němčině), 11: 76–83, doi:10.1007 / BF02940715, JFM  61.1043.02, Zbl  0011.14601
• Serre, Jean-Pierre (1973), Kurz aritmetiky, str.5–6, ISBN  0-387-90040-3

externí odkazy

• „Důkazy Chevalleyho varovné věty“.