Funkce výšky - Height function

A výšková funkce je funkce který kvantifikuje složitost matematických objektů. v Diophantine geometrie, funkce výšky kvantifikují velikost řešení Diophantine rovnice a jsou to obvykle funkce z množiny bodů algebraické odrůdy (nebo soubor algebraických odrůd) do reálná čísla.^[1]

Například klasický nebo naivní výška přes racionální čísla je obvykle definováno jako maximum čitatelů a jmenovatelů souřadnic (např. 3 pro souřadnice (3/9, 1/2)), ale v a logaritmická stupnice.

Význam

Funkce výšky umožňují matematikům počítat objekty, například racionální body, které jsou jinak nekonečně velké. Například množina racionálních čísel naivní výšky (maximum čitatele a jmenovatele, když vyjádřeno v nejnižších hodnotách ) pod libovolnou danou konstantou je konečná, i když množina racionálních čísel je nekonečná.^[2] V tomto smyslu lze k prokázání použít výškové funkce asymptotické výsledky jako Bakerova věta v teorie transcendentních čísel což bylo prokázáno Alan Baker  (1966, 1967a, 1967b ).

V ostatních případech mohou výškové funkce rozlišovat některé objekty na základě jejich složitosti. Například věta o podprostoru prokázáno Wolfgang M. Schmidt  (1972 ) ukazuje, že body malé výšky (tj. malé složitosti) v projektivní prostor leží v konečném počtu hyperplanes a zobecňuje Siegelova věta o integrálních bodech a řešení Rovnice S-jednotky.^[3]

Výškové funkce byly rozhodující pro důkazy Mordell – Weilova věta a Faltingova věta podle Weil  (1929 ) a Faltings  (1983 ). Několik nevyřešených problémů ohledně výšek racionálních bodů na algebraických variantách, jako je Manin domněnka a Vojtova domněnka, mají dalekosáhlé důsledky pro problémy v Diophantine aproximace, Diophantine rovnice, aritmetická geometrie, a matematická logika.^[4][5]

Výškové funkce v diofantické geometrii

Dějiny

Výšky v diofantické geometrii byly původně vyvinuty André Weil a Douglas Northcott začíná ve 20. letech 20. století.^[6] Inovace v šedesátých letech byly Néron – Tate výška a poznání, že výšky byly spojeny s projektivními reprezentacemi v podstatě stejným způsobem dostatek svazků řádků jsou v jiných částech algebraická geometrie. V 70. letech Suren Arakelov vyvinul Arakelovské výšky v Arakelovova teorie.^[7] V roce 1983 rozvinul Faltings svou teorii Faltingových výšek v důkazu Faltingovy věty.^[8]

Naivní výška

Klasický nebo naivní výška je definována jako běžná absolutní hodnota dne homogenní souřadnice. Je to obvykle logaritmická stupnice, a proto ji lze považovat za úměrnou „algebraické složitosti“ nebo počtu bity potřebné k uložení bodu.^[9] Obvykle je definován jako logaritmus maximální absolutní hodnoty vektoru celých čísel coprime získané vynásobením a nejnižší společný jmenovatel. To lze použít k definování výšky bodu v projektivním prostoru Q, nebo polynomu, považovaného za vektor koeficientů, nebo algebraického čísla, z výšky jeho minimálního polynomu.^[10]

Naivní výška a racionální číslo X = p/q (v nejnižším vyjádření) je

• multiplikativní výška ${ displaystyle H (p / q) = max {| p |, | q | }}$^[11]
• logaritmická výška: ${ Displaystyle h (p / q) = log H (p / q)}$^[12]

Proto naivní multiplikativní a logaritmické výšky 4/10 jsou 5 a protokol (5), například.

Naivní výška H z eliptická křivka E dána y² = x³ + Axe + B je definován jako ON) = log max (4 |A|³, 27|B|²).^[13]

Néron – Tate výška

The Néron – Tate výškanebo kanonická výška, je kvadratická forma na Skupina Mordell – Weil z racionální body abelianské odrůdy definované nad a globální pole. Je pojmenován po André Néron, který to nejprve definoval jako součet místních výšek,^[14] a John Tate, který to definoval globálně v nepublikovaném díle.^[15]

Weilova výška

The Weilova výška je definován na a projektivní rozmanitost X přes číselné pole K. vybaven svazkem linek L na X. Vzhledem k tomu, velmi rozsáhlý svazek řádků L₀ na Xlze definovat funkci výšky pomocí funkce naivní výšky h. Od té doby L₀' je velmi bohatý, jeho kompletní lineární systém poskytuje mapu ϕ z X do projektivního prostoru. Pak pro všechny body p na X, definovat${ displaystyle h_ {L_ {0}} (p): = h ( phi (p)).}$^[16][17]

Lze napsat libovolný svazek řádků L na X jako rozdíl dvou velmi rozsáhlých svazků řádků L₁ a L₂ na X, až do Serreův kroutící se svazek O (1), takže lze definovat Weilovu výšku h_L na X s ohledem na L přes${ displaystyle h_ {L}: = h_ {L_ {1}} - h_ {L_ {2}},}$(až do O (1)).^[16][17]

Arakelovova výška

The Arakelovova výška na projektivním prostoru nad polem algebraických čísel je funkce globální výšky s místními příspěvky Fubini - studijní metriky na Archimédova pole a obvyklá metrika na ne-Archimédova pole.^[18][19] Je to obvyklá výška Weila vybavená jinou metrikou.^[20]

Výška faltings

The Výška faltings z abelianská odrůda definované nad a pole s číslem je míra jeho aritmetické složitosti. Je definována z hlediska výšky a metrizovaný svazek řádků. To bylo představeno Faltings  (1983 ) ve svém dokladu o Mordellova domněnka.

Výškové funkce v algebře

Výška polynomu

Pro polynomiální P stupně n dána

${ displaystyle P = a_ {0} + a_ {1} x + a_ {2} x ^ {2} + cdots + a_ {n} x ^ {n},}$

the výška H(P) je definován jako maximum velikostí jeho koeficientů:^[21]

${ displaystyle H (P) = { podmnožina {i} { max}} , | a_ {i} |.}$

Dalo by se podobně definovat délka L(P) jako součet velikostí koeficientů:

${ displaystyle L (P) = součet _ {i = 0} ^ {n} | a_ {i} |.}$

Vztah k Mahlerově míře

The Mahlerovo opatření M(P) z P je také měřítkem složitosti P.^[22] Tři funkce H(P), L(P) a M(P) jsou ve spojení s nerovnosti

${ displaystyle { binom {n} { lfloor n / 2 rfloor}} ^ {- 1} H (P) leq M (P) leq H (P) { sqrt {n + 1}}; }$

${ displaystyle L (p) leq 2 ^ {n} M (p) leq 2 ^ {n} L (p);}$

${ Displaystyle H (p) leq L (p) leq (n + 1) H (p)}$

kde ${ displaystyle scriptstyle { binom {n} { lfloor n / 2 rfloor}}}$ je binomický koeficient.

Výškové funkce v automorfních formách

Jednou z podmínek v definici automorfní forma na obecná lineární skupina z adelická algebraická skupina je mírný růst, což je asymptotická podmínka růstu výškové funkce na obecné lineární skupině považované za afinní odrůda.^[23]

Viz také

• domněnka abc
• Birch a domněnka Swinnerton-Dyer
• Eliptický Lehmerův dohad
• Heath-Brown – Morozova konstanta
• Výška formálního zákona o skupině
• Funkce zeta výšky
• Raynaudova věta o isogeny
• Výška stromu

Reference

Zdroje

• Baker, Alan (1966). "Lineární tvary v logaritmech algebraických čísel. Já". Mathematika. Žurnál čisté a aplikované matematiky. 13: 204–216. doi:10.1112 / S0025579300003971. ISSN  0025-5793. PAN  0220680.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Baker, Alan (1967a). "Lineární tvary v logaritmu algebraických čísel. II". Mathematika. Žurnál čisté a aplikované matematiky. 14: 102–107. doi:10.1112 / S0025579300008068. ISSN  0025-5793. PAN  0220680.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Baker, Alan (1967b). "Lineární tvary v logaritmu algebraických čísel. III". Mathematika. Žurnál čisté a aplikované matematiky. 14: 220–228. doi:10.1112 / S0025579300003843. ISSN  0025-5793. PAN  0220680.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Baker, Alan; Wüstholz, Gisbert (2007). Logaritmické formy a diofantická geometrie. Nové matematické monografie. 9. Cambridge University Press. p. 3. ISBN  978-0-521-88268-2. Zbl  1145.11004.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006). Výšky v diofantické geometrii. Nové matematické monografie. 4. Cambridge University Press. doi:10.2277/0521846153. ISBN  978-0-521-71229-3. Zbl  1130.11034.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Borwein, Peter (2002). Výpočtové exkurze v analýze a teorii čísel. CMS knihy z matematiky. Springer-Verlag. str.2, 3, 14148. ISBN  0-387-95444-9. Zbl  1020.12001.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Bump, Daniel (1998). Automorfní formy a reprezentace. Cambridge studia pokročilé matematiky. 55. Cambridge University Press. p. 300. ISBN  9780521658188.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Cornell, Gary; Silverman, Joseph H. (1986). Aritmetická geometrie. New York: Springer. ISBN  0387963111. → Obsahuje anglický překlad Faltings (1983)
• Faltings, Gerd (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Věty o konečnosti pro abelianské odrůdy přes počet polí]. Inventiones Mathematicae (v němčině). 73 (3): 349–366. doi:10.1007 / BF01388432. PAN  0718935.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Faltings, Gerde (1991). "Diophantinová aproximace na abelianských odrůdách". Annals of Mathematics. 123 (3): 549–576. doi:10.2307/2944319. PAN  1109353.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Fili, Paul; Petsche, Clayton; Pritsker, Igor (2017). "Energetické integrály a malé body pro Arakelovovu výšku". Archiv der Mathematik. 109 (5): 441–454. arXiv:1507.01900. doi:10.1007 / s00013-017-1080-x.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Mahler, K. (1963). „O dvou extrémních vlastnostech polynomů“. Illinois J. Math. 7: 681–701. doi:10.1215 / ijm / 1255645104. Zbl  0117.04003.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Néron, André (1965). „Quasi-fonctions et hauteurs sur les variétés abéliennes“. Ann. matematiky. (francouzsky). 82: 249–331. doi:10.2307/1970644. PAN  0179173.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Schinzel, Andrzej (2000). Polynomy se zvláštním zřetelem na redukovatelnost. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 77. Cambridge: Cambridge University Press. p.212. ISBN  0-521-66225-7. Zbl  0956.12001.
• Schmidt, Wolfgang M. (1972). "Normové rovnice". Annals of Mathematics. Druhá série. 96 (3): 526–551. doi:10.2307/1970824. PAN  0314761.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Lang, Serge (1988). Úvod do Arakelovovy teorie. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-96793-1. PAN  0969124. Zbl  0667.14001.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Lang, Serge (1997). Průzkum diofantické geometrie. Springer-Verlag. ISBN  3-540-61223-8. Zbl  0869.11051.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Weil, André (1929). „L'arithmétique sur les courbes algébriques“. Acta Mathematica. 52 (1): 281–315. doi:10.1007 / BF02592688. PAN  1555278.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Silverman, Joseph H. (1994). Pokročilá témata v aritmetice eliptických křivek. New York: Springer. ISBN  978-1-4612-0851-8.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Vojta, Paul (1987). Diophantine aproximace a teorie distribuce hodnot. Přednášky z matematiky. 1239. Berlín, New York: Springer-Verlag. doi:10.1007 / BFb0072989. ISBN  978-3-540-17551-3. PAN  0883451. Zbl  0609.14011.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

• Polynomiální výška v Mathworld