Číslo Tamagawa - Tamagawa number

v matematika, Číslo Tamagawa ${ displaystyle tau (G)}$ a polojednoduchá algebraická skupina definované přes globální pole $k$ je míra ${ displaystyle G ( mathbb {A}) / G (k)}$ , kde ${ displaystyle mathbb {A}}$ je Adele prsten z $k$ . Čísla Tamagawa byla zavedena Tamagawa (1966 ), a pojmenoval podle něj Weil (1959 ).

Tsuneo Tamagawa Bylo to pozorování, počínaje invariantem diferenciální forma ω zapnuto $G$ , definováno přes $k$ , zúčastněné opatření bylo dobře definované: zatímco $ω$ lze nahradit $cω$ s $C$ nenulový prvek ${ displaystyle k}$ , produktový vzorec pro ocenění v $k$ se odráží v nezávislosti na $C$ míry kvocientu pro míru produktu vytvořenou z $ω$ na každém účinném faktoru. Výpočet Tamagawa čísel pro polojednoduché skupiny obsahuje důležité části klasiky kvadratická forma teorie.

Definice

Nechat $k$ být globálním polem, $A$ jeho prsten adeles a $G$ napůl definovaná algebraická skupina $k$ .

Vybrat Haarova opatření na dokončení $k proti z k$ takhle $Ó proti$ má svazek 1 pro všechna, ale konečně mnoho míst $proti$ . Ty pak indukují Haarovo opatření $A$ , což dále předpokládáme, že je normalizováno $A / k$ má objem 1 s ohledem na míru indukovaného kvocientu.

Opatření Tamagawa na adelické algebraické skupině $G (A)$ je nyní definována následovně. Vezměte invariant vlevo $n$ -formulář $ω$ na $G (k)$ definováno přes $k$ , kde $n$ je dimenze z $G$ . To spolu s výše uvedenými možnostmi Haarovy míry na $k proti$ , vyvolává Haarova opatření na $G (k proti)$ pro všechna místa $proti$ . Tak jako $G$ je polojediný, výsledkem těchto opatření je Haarova míra $G (A)$ , nazvaný Tamagawa opatření. Míra Tamagawa nezávisí na volbě ω, ani na volbě měr na $k proti$ , protože se množí $ω$ prvkem $k *$ znásobí Haarovu míru na $G (A)$ o 1, s použitím produktového vzorce pro ocenění.

Číslo Tamagawa $τ (G)$ je definována jako Tamagawa míra $G (A)/ G (k)$ .

Weilova domněnka o Tamagawových číslech

Weilova domněnka o Tamagawových číslech uvádí, že Číslo Tamagawa $τ (G)$ jednoduše připojeného (tj. nemajícího vlastní algebraický krycí) jednoduché algebraická skupina definovaný přes číselné pole je 1. Weil (1959 ) vypočítal číslo Tamagawa v mnoha případech klasické skupiny a zjistil, že se jedná o celé číslo ve všech zvažovaných případech a že se rovna 1 v případech, kdy je skupina jednoduše spojena. Ono (1963) našel příklady, kde čísla Tamagawa nejsou celá čísla, ale domněnka o počtu Tamagawa jednoduše spojených skupin byla obecně prokázána několika pracemi, které vyvrcholily v článku autorem Kottwitz (1988 ) a pro analogový konec funkční pole přes konečná pole o Lurie a Gaitsgory v roce 2011.^[1]

Viz také

Reference

"Číslo Tamagawa", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
Kottwitz, Robert E. (1988), „Tamagawa numbers“, Ann. matematiky., 2, Annals of Mathematics, 127 (3): 629–646, doi:10.2307/2007007, JSTOR 2007007, PAN 0942522.
Ono, Takashi (1963), "O počtu Tamagawa algebraických tori", Annals of Mathematics, Druhá série, 78: 47–73, doi:10.2307/1970502, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970502, PAN 0156851
Ono, Takashi (1965), „O relativní teorii čísel Tamagawa“, Annals of Mathematics, Druhá série, 82: 88–111, doi:10.2307/1970563, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970563, PAN 0177991
Tamagawa, Tsuneo (1966), "Adèles", Algebraické skupiny a diskontinuální podskupiny, Proc. Symposy. Čistá matematika., IX„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, str. 113–121, PAN 0212025
Weil, André (1959), Exp. Č. 186, Adèles et groupes algébriques, Séminaire Bourbaki, 5, str. 249–257
Weil, André (1982) [1961], Adeles a algebraické skupiny Pokrok v matematice, 23, Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-3-7643-3092-7, PAN 0670072
Lurie, Jacobe (2014), Čísla Tamagawa přes Nonabelian Poincaré Duality

Další čtení

Aravind Asok, Brent Doran a Frances Kirwan, „Yang-Millsova teorie a Tamagawa čísla: fascinace neočekávanými vazbami v matematice“, 22. února 2013
J. Lurie, Siegel Mass Formula, Tamagawa Numbers a Nonabelian Poincaré Duality zveřejněno 8. června 2012.

^ Lurie 2014.

[FOOTNOTELurie2014-1] Lurie 2014.

[1]