Geometrie čísel - Geometry of numbers
Geometrie čísel je součástí teorie čísel který používá geometrie pro studium algebraická čísla. Typicky, a kruh algebraických celých čísel je viděn jako mříž v a studium těchto svazů poskytuje základní informace o algebraických číslech.[1] Geometrii čísel zahájil Hermann Minkowski (1910 ).
Geometrie čísel má úzký vztah s jinými oblastmi matematiky, zejména funkční analýza a Diophantine aproximace, problém najít racionální čísla že přibližný iracionální množství.[2]
Výsledky Minkowského
Předpokládejme to je mříž v -rozměrný euklidovský prostor a je konvexní centrálně symetrické tělo.Minkowského věta, někdy nazývaná Minkowského první věta, uvádí, že pokud , pak obsahuje nenulový vektor v .
Postupné minimum je definován jako inf čísel takhle obsahuje lineárně nezávislé vektory .Minkowského věta o postupná minima, někdy nazývané Minkowského druhá věta, je posílení jeho první věty a uvádí to[3]
- .
Pozdější výzkum geometrie čísel
V letech 1930-1960 provedli mnozí výzkum geometrie čísel teoretici čísel (počítaje v to Louis Mordell, Harold Davenport a Carl Ludwig Siegel ). V posledních letech Lenstra, Brion a Barvinok vyvinuli kombinatorické teorie, které vyjmenovávají mřížkové body v některých konvexních tělesech.[4]
Subprostorová věta W. M. Schmidta
V geometrii čísel je věta o podprostoru bylo získáno Wolfgang M. Schmidt v roce 1972.[5] Uvádí se v něm, že pokud n je kladné celé číslo a L1,...,Ln jsou lineárně nezávislé lineární formuláře v n proměnné s algebraický koeficienty a pokud ε> 0 je jakékoli dané reálné číslo, pak nenulové celočíselné body X v n souřadnice s
leží v konečném počtu správné podprostory z Qn.
Vliv na funkční analýzu
Minkowského geometrie čísel měla zásadní vliv funkční analýza. Minkowski dokázal, že symetrická konvexní tělesa indukují normy v konečných trojrozměrných vektorových prostorech. Minkowského věta byla zobecněna na topologické vektorové prostory podle Kolmogorov, jehož věta uvádí, že symetrické konvexní množiny, které jsou uzavřené a ohraničené, generují topologii a Banachův prostor.[6]
Vědci pokračují ve studiu zobecnění na sady ve tvaru hvězdy a další nekonvexní sady.[7]
Reference
- ^ Klasifikace MSC, 2010, k dispozici na http://www.ams.org/msc/msc2010.html, Klasifikace 11HXX.
- ^ Schmidtovy knihy. Grötschel et alii, Lovász et alii, Lovász.
- ^ Cassels (1971), str. 203
- ^ Grötschel a kol., Lovász a kol., Lovász a Beck a Robins.
- ^ Schmidt, Wolfgang M. Normové rovnice. Ann. Matematika. (2) 96 (1972), str. 526-551. Viz také Schmidtovy knihy; porovnat Bombieri a Vaaler a také Bombieri a Gubler.
- ^ Kolmogorovovu větu o normovatelnosti viz Walter Rudin Funkční analýza. Další výsledky viz Schneider a Thompson a Kalton et alii.
- ^ Kalton et alii. Gardner
Bibliografie
- Matthias Beck, Sinaj Robins. Diskrétní výpočet spojitosti: Výčet celých bodů v mnohostěnech, Pregraduální texty z matematiky Springer, 2007.
- Enrico Bombieri; Vaaler, J. (únor 1983). „Na Siegelovo lemma“. Inventiones Mathematicae. 73 (1): 11–32. Bibcode:1983InMat..73 ... 11B. doi:10.1007 / BF01393823. S2CID 121274024.
- Enrico Bombieri & Walter Gubler (2006). Výšky v diofantické geometrii. Cambridge U. P.
- J. W. S. Cassels. Úvod do geometrie čísel. Springer Classics in Mathematics, Springer-Verlag 1997 (dotisk vydání 1959 a 1971 Springer-Verlag).
- John Horton Conway a N. J. A. Sloane, Balení koule, mřížky a skupinySpringer-Verlag, NY, 3. vydání, 1998.
- R. J. Gardner, Geometrická tomografie, Cambridge University Press, New York, 1995. Druhé vydání: 2006.
- P. M. Gruber, Konvexní a diskrétní geometrie, Springer-Verlag, New York, 2007.
- P. M. Gruber, J. M. Wills (redaktoři), Příručka konvexní geometrie. Sv. A. B, Severní Holandsko, Amsterdam, 1993.
- M. Grötschel, Lovász, L., A. Schrijver: Geometrické algoritmy a kombinatorická optimalizaceSpringer, 1988
- Hancock, Harris (1939). Vývoj Minkowského geometrie čísel. Macmillana. (Republished in 1964 by Dover.)
- Edmund Hlawka, Johannes Schoißengeier, Rudolf Taschner. Teorie geometrických a analytických čísel. Universitext. Springer-Verlag, 1991.
- Kalton, Nigel J.; Peck, N. Tenney; Roberts, James W. (1984), Vzorkovač prostoru F, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89, Cambridge: Cambridge University Press, s. Xii + 240, ISBN 0-521-27585-7, PAN 0808777
- C. G. Lekkerkererker. Geometrie čísel. Wolters-Noordhoff, Severní Holandsko, Wiley. 1969.
- Lenstra, A. K.; Lenstra, H. W. Jr.; Lovász, L. (1982). "Faktorování polynomů s racionálními koeficienty" (PDF). Mathematische Annalen. 261 (4): 515–534. doi:10.1007 / BF01457454. hdl:1887/3810. PAN 0682664. S2CID 5701340.
- Lovász, L.: Algoritmická teorie čísel, grafů a konvexity, CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics 50, SIAM, Philadelphia, Pennsylvania, 1986
- Malyshev, A.V. (2001) [1994], "Geometrie čísel", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
- Minkowski, Hermann (1910), Geometrie der Zahlen, Lipsko a Berlín: R. G. Teubner, JFM 41.0239.03, PAN 0249269, vyvoláno 2016-02-28
- Wolfgang M. Schmidt. Diophantine aproximace. Přednášky z matematiky 785. Springer. (1980 [1996 s drobnými opravami])
- Schmidt, Wolfgang M. (1996). Diophantine aproximace a Diophantine rovnice. Přednášky z matematiky. 1467 (2. vyd.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020.
- Siegel, Carl Ludwig (1989). Přednášky o geometrii čísel. Springer-Verlag.
- Rolf Schneider, Konvexní tělesa: Brunn-Minkowského teorie, Cambridge University Press, Cambridge, 1993.
- Anthony C. Thompson, Minkowského geometrie, Cambridge University Press, Cambridge, 1996.
- Hermann Weyl. Teorie redukce pro aritmetickou ekvivalenci. Trans. Amer. Matematika. Soc. 48 (1940) 126–164. doi:10.1090 / S0002-9947-1940-0002345-2
- Hermann Weyl. Teorie redukce pro aritmetickou ekvivalenci. II. Trans. Amer. Matematika. Soc. 51 (1942) 203–231. doi:10.2307/1989946