Eliptický povrch - Elliptic surface
v matematika, an eliptický povrch je povrch, který má eliptickou fibraci, jinými slovy a správný morfismus s připojenými vlákny k algebraická křivka takže téměř všechna vlákna jsou hladký křivky rod 1. (Přes algebraicky uzavřené pole, jako jsou komplexní čísla, jsou tato vlákna eliptické křivky, možná bez zvoleného původu.) Toto je ekvivalentní tomu, že generické vlákno je hladká křivka rodu jedna. To vyplývá z správná změna základny.
Předpokládá se, že povrch a základní křivka nejsou singulární (složité potrubí nebo pravidelné schémata, v závislosti na kontextu). Vlákna, která nejsou eliptickými křivkami, se nazývají singulární vlákna a byly klasifikovány podle Kunihiko Kodaira. Eliptická i singulární vlákna jsou důležitá teorie strun, speciálně v F-teorie.
Eliptické povrchy tvoří velkou třídu povrchů, která obsahuje mnoho zajímavých příkladů povrchů a jsou relativně dobře pochopeny v teoriích komplexních variet a hladký 4 rozdělovače. Jsou podobné eliptickým křivkám (mají analogii s nimi) počet polí.
Příklady
- Produkt jakékoli eliptické křivky s jakoukoli křivkou je eliptický povrch (bez singulárních vláken).
- Všechny povrchy Dimenze Kodaira 1 jsou eliptické povrchy.
- Každý komplex Enriques povrch je eliptický a má eliptickou fibraci přes projektivní linii.
- Povrchy Kodaira
- Dolgachevovy povrchy
- Shioda modulární povrchy
Kodaiřina tabulka singulárních vláken
Většina vláken eliptické fibrace jsou (ne singulární) eliptické křivky. Zbývající vlákna se nazývají singulární vlákna: je jich konečný počet a sestávají z unií racionálních křivek, případně se singularitami nebo nenulovou multiplicitou (takže vlákna mohou být neredukovaná schémata). Společnosti Kodaira a Néron nezávisle klasifikovaly možná vlákna a Tateův algoritmus lze použít k nalezení typu vláken eliptické křivky v číselném poli.
V následující tabulce jsou uvedena možná vlákna a minimální eliptická fibrace. („Minimální“ znamená zhruba ten, který nelze převést na „menší“; singulární vlákna by přesně neměla obsahovat žádné hladké racionální křivky se samočinným průsečíkem −1.) Dává:
- Symbol Kodaira pro vlákno,
- André Néron symbol vlákna,
- Počet neredukovatelných složek vlákna (všechny racionální s výjimkou typu I.0)
- Průniková matice komponent. Toto je buď 1 × 1 nulová matice, nebo afinní kartanova matice, jehož Dynkinův diagram je dáno.
- Násobnosti každého vlákna jsou uvedeny v Dynkinově diagramu.
Kodaira | Néron | Součásti | Průniková matice | Dynkinův diagram | Vlákno |
---|---|---|---|---|---|
Já0 | A | 1 (eliptický) | 0 | ![]() | ![]() |
Já1 | B1 | 1 (s dvojitým bodem) | 0 | ![]() | ![]() |
Já2 | B2 | 2 (2 odlišné průsečíky) | afinní A1 | ![]() | ![]() |
Jáproti (v≥2) | Bproti | v (v odlišné průsečíky) | afinní Av-1 | ![]() | ![]() |
mJáproti (v≥0, m≥2) | Jáproti s množstvím m | ||||
II | C1 | 1 (s hrotem) | 0 | ![]() | ![]() |
III | C2 | 2 (setkat se v jednom bodě 2) | afinní A1 | ![]() | ![]() |
IV | C3 | 3 (všichni se setkají v 1 bodě) | afinní A2 | ![]() | ![]() |
Já0* | C4 | 5 | afinní D4 | ![]() | ![]() |
Jáproti* (v≥1) | C5, v | 5 + v | afinní D4 + v | ![]() | ![]() |
IV* | C6 | 7 | afinní E6 | ![]() | ![]() |
III* | C7 | 8 | afinní E7 | ![]() | ![]() |
II* | C8 | 9 | afinní E8 | ![]() | ![]() |
Tuto tabulku najdete následovně. Geometrické argumenty ukazují, že průsečíková matice složek vlákna musí být záporná semidefinitní, spojená, symetrická a nesmí mít žádné diagonální vstupy rovné −1 (minimem). Taková matice musí být 0 nebo násobek Cartanovy matice afinního Dynkinova diagramu typu ADE.
Průniková matice určuje typ vlákna se třemi výjimkami:
- Pokud je průsečíková matice 0, vlákno může být buď eliptická křivka (typ I0), nebo mít dvojitý bod (typ I.1) nebo hrot (typ II).
- Pokud je průsečíková matice afinní A1, existují 2 komponenty s multiplicitou průniků 2. Mohou se setkat buď ve 2 bodech s objednávkou 1 (typ I.2), nebo na jednom místě s objednávkou 2 (typ III).
- Pokud je průsečíková matice afinní A2existují 3 komponenty, z nichž každá splňuje další dvě. Mohou se setkat buď ve dvojicích na 3 odlišných místech (typ I.3), nebo se všichni setkají ve stejném bodě (typ IV).
Monodromy
The monodromy kolem každého singulárního vlákna je dobře definováno třída konjugace ve skupině SL (2,Z) 2 × 2 celočíselných matic s určující 1. Monodromy popisuje způsob první homologie skupina hladkého vlákna (které je izomorfní s Z2) se mění, když obcházíme singulární vlákno. Zástupci pro tyto třídy konjugace spojené s singulárními vlákny jsou dáni:[1]
Vlákno | Průniková matice | Monodromy | j-invariantní | Skupinová struktura na hladkém místě |
---|---|---|---|---|
Jáν | afinní Aν-1 | |||
II | 0 | 0 | ||
III | afinní A1 | 1728 | ||
IV | afinní A2 | 0 | ||
Jáν* | afinní D4 + ν | pokud ν je sudé, pokud ν je liché | ||
IV* | afinní E6 | 0 | ||
III* | afinní E7 | 1728 | ||
II* | afinní E8 | 0 |
Pro singulární vlákna typu II, III, IV, IV*, III*nebo II*, monodromy mají konečný řád v SL (2,Z). To odráží skutečnost, že eliptická fibrace má potenciální dobrá redukce na takové vlákno. To znamená, že po rozvětveném konečném zakrytí základní křivky může být singulární vlákno nahrazeno hladkou eliptickou křivkou. Která hladká křivka se objeví, popisuje j-invariantní ve stole. Přes komplexní čísla křivka s j-invariant 0 je jedinečná eliptická křivka se skupinou automorfismu řádu 6 a křivka s j-invariant 1728 je jedinečná eliptická křivka se skupinou automatorfismu řádu 4. (Všechny ostatní eliptické křivky mají skupinu automatorfismu řádu 2.)
Pro eliptickou fibraci s a sekce, nazvaný a Jacobská eliptická fibrace, hladký lokus každého vlákna má skupinovou strukturu. U singulárních vláken je tato skupinová struktura na hladkém lokusu popsána v tabulce, za předpokladu pohodlí, že základním polem jsou komplexní čísla. (Pro singulární vlákno s průsečíkovou maticí danou afinním Dynkinovým diagramem , skupina složek hladkého lokusu je izomorfní ke středu jednoduše spojené jednoduché Lieovy skupiny s Dynkinovým diagramem , jak je uvedeno tady.) Znát skupinovou strukturu singulárních vláken je užitečné pro výpočet Skupina Mordell-Weil eliptické fibrace (skupina úseků), zejména její torzní podskupina.
Logaritmické transformace
A logaritmická transformace (objednávky m se středem p) eliptického povrchu nebo fibrace převrátí vlákno multiplicity 1 na bod p základního prostoru do vlákna multiplicity m. Může být obrácen, takže vlákna s vysokou multiplicitou mohou být všechna přeměněna na vlákna s multiplicitou 1, a to může být použito k eliminaci všech více vláken.
Logaritmické transformace mohou být docela násilné: mohou změnit dimenzi Kodaira a mohou změnit algebraické povrchy na nealgebraické povrchy.
Příklad:Nechat L být mřížkou Z+ iZ z Ca nechte E být eliptická křivka C/L. Poté projekční mapa z E×C na C je eliptická fibrace. Ukážeme, jak nahradit vlákno nad 0 vláknem multiplicity 2.
Existuje automorfismus E×C řádu 2, které mapují (C,s) do (C+1/2, −s). Nechali jsme X být podílem E×C touto skupinovou akcí. Děláme X do optického prostoru C mapováním (C,s) až s2. Konstruujeme izomorfismus z X minus vlákno nad 0 do E×C minus vlákno nad 0 mapováním (C,s) do (C-log (s) / 2πi,s2). (Dvě vlákna nad 0 jsou neizomorfní eliptické křivky, takže fibrace X rozhodně není isomorfní s fibrací E×C přes všechny C.)
Pak fibrace X má vlákno multiplicity 2 nad 0 a jinak vypadá E×C. Říkáme to X se získá aplikací logaritmické transformace řádu 2 na E×C se středem 0.
Viz také
Poznámky
- ^ Barth, Hulek, Peters a Van de Ven, Kompaktní komplexní povrchy, oddíl V.10, tabulky 5 a 6; Cossec a Dolgachev, Enriques SurfacesDodatek 5.2.3.
Reference
- Barth, Vlk P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M .; Van de Ven, Antonius. Kompaktní komplexní povrchy. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 4 (2. zvětšené vydání). Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-00832-2. Zbl 1036.14016.
- Cossec, François; Dolgachev, Igor. Enriques Surfaces. Boston: Birkhäuser. ISBN 3-7643-3417-7. PAN 0986969.
- Kodaira, Kunihiko (1964). „O struktuře kompaktních komplexních analytických povrchů. Dopoledne. J. Math. 86: 751–798. doi:10.2307/2373157. Zbl 0137.17501.
- Kodaira, Kunihiko (1966). „O struktuře kompaktních komplexních analytických povrchů. II“. Dopoledne. J. Math. 88: 682–721. doi:10.2307/2373150. Zbl 0193.37701.
- Néron, André (1964). „Modèles minimaux des variétés abéliennes sur les corps locaux et globaux“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS (francouzsky). 21: 5–128. doi:10.1007 / BF02684271. PAN 0179172. Zbl 0132.41403.