Věta o kategorii Baire - Baire category theorem

The Věta o kategorii Baire (BCT) je důležitým výsledkem obecná topologie a funkční analýza. Věta má dvě formy, z nichž každá dává dostatečné podmínky pro topologický prostor být a Baireův prostor (topologický prostor takový, že průsečík z spočetně mnoho hustý otevřené sady je stále hustá).

Věta byla prokázána francouzským matematikem René-Louis Baire ve své disertační práci z roku 1899.

Prohlášení

A Baireův prostor je topologický prostor s vlastností, že pro každého počitatelný sbírka otevřeno husté sady (Un)∞
n=1, jejich křižovatka ∩n ∈ ℕ Un je hustá.

Ani jeden z těchto příkazů přímo neimplikuje druhý, protože existují úplné metrické prostory, které nejsou místně kompaktní ( iracionální čísla s metrikou definovanou níže; také jakýkoli Banachův prostor nekonečné dimenze) a existují místně kompaktní Hausdorffovy prostory, které nejsou měřitelný (například jakýkoli nespočetný produkt netriviálních kompaktních Hausdorffových prostorů je takový; také několik funkčních prostorů použitých ve funkční analýze; nespočetný Prostor pevnosti ).Vidět Steen a Seebach v odkazech níže.

  • (BCT3) Neprázdný kompletní metrický prostor s neprázdným interiérem nebo některá z jeho podmnožin s neprázdným interiérem není počítatelným spojením nikde hustá sady.

Tato formulace je ekvivalentní s BCT1 a je někdy užitečnější v aplikacích. Také: pokud je neprázdným úplným metrickým prostorem spočetné sjednocení uzavřených množin, pak jedna z těchto uzavřených sad má neprázdný interiér.

Vztah k axiomu volby

Důkaz BCT1 pro libovolné úplné metrické prostory vyžaduje nějakou formu axiom volby; a ve skutečnosti je BCT1 ekvivalentní ZF do axiom závislé volby, slabá forma axiomu výběru.[2]

Omezená forma věty o kategorii Baire, ve které se také předpokládá úplný metrický prostor oddělitelný, je prokazatelné v ZF bez dalších principů volby.[3]Tento omezený formulář se vztahuje zejména na skutečná linie, Baireův prostor ωω, Cantorův prostor 2ωa oddělitelný Hilbertův prostor jako L2(ℝn).

Použití

BCT1 se používá v funkční analýza prokázat otevřená věta o mapování, věta o uzavřeném grafu a jednotný princip omezenosti.

BCT1 také ukazuje, že každý úplný metrický prostor bez č izolované body je nespočet. (Li X je spočetný úplný metrický prostor bez izolovaných bodů, pak každý jedináček {X} v X je nikde hustá a tak X je z první kategorie samo o sobě.) Zejména to dokazuje, že soubor všech reálná čísla je nepočítatelné.

BCT1 ukazuje, že každý z následujících je prostor Baire:

Podle BCT2, každý konečně-dimenzionální Hausdorff potrubí je prostor Baire, protože je místně kompaktní a Hausdorff. To platí i proparacompact (tedy nemetrizovatelné) potrubí, jako je dlouhá čára.

BCT slouží k prokázání Hartogsova věta, zásadní výsledek v teorii několika komplexních proměnných.

Důkaz

Následuje standardní důkaz, že úplný pseudometrický prostor je prostor Baire.

Nechat Un být spočítatelnou sbírkou otevřených hustých podmnožin. Chceme ukázat, že křižovatka ∩Un podmnožina je hustá právě tehdy, když ji protíná každá neprázdná otevřená podmnožina. Abychom tedy ukázali, že křižovatka je hustá, stačí ukázat, že jakákoli neprázdná otevřená množina Ž v X má bod X společné se všemi Un.Od té doby U1 je hustý, Ž protíná se U1; tedy má to smysl X1 a 0 < r1 < 1 takové, že:

B(X1, r1) ⊆ Ž ∩ U1

kde B (X, r) a B(X, r) označuje otevřenou a uzavřenou kouli se středem na X s poloměrem rOd každého Un je hustý, můžeme rekurzivně pokračovat v hledání dvojice sekvencí Xn a 0 < rn < 1/n takové, že:

B(Xn, rn) ⊆ B (Xn−1, rn−1) ∩ Un.

(Tento krok se opírá o axiom výběru a skutečnost, že konečný průnik otevřených množin je otevřený, a proto uvnitř něj lze najít otevřenou kouli se středem na Xn.)Od té doby Xn ∈ B (Xm, rm) když n > m, máme to Xn je Cauchy, a tedy Xn konverguje k nějakému limitu X pro úplnost nuzavřením, X ∈ B(Xn, rn).

Proto, X ∈ Ž a X ∈ Un pro všechny n.

Pro důkaz použití věty existuje alternativní důkaz M. Bakera Choquetova hra.[4]

Viz také

Poznámky

Citace

  1. ^ Narici & Beckenstein 2011, str. 371–423.
  2. ^ Blair 1977.
  3. ^ Levy 2002, str. 212.
  4. ^ Baker 2014.

Citované práce

  • Baire, R. (1899). „Sur les fonctions de variables réelles“. Ann. di Mat. 3: 1–123.
  • Baker, Matt (7. července 2014). „Real Numbers and Infinite Games, Part II: The Choquet game and the Baire Category Theorem“. Matematický blog Matta Bakera.
  • Blair, Charles E. (1977). „Věta o kategorii Baire implikuje princip závislých voleb“. Býk. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Matematika. Astronom. Phys. 25 (10): 933–934.
  • Gamelin, Theodore W.; Greene, Robert Everist. Úvod do topologie (2. vyd.). Doveru.
  • Levy, Azriel (2002) [poprvé publikováno 1979]. Teorie základní množiny (Přetištěno ed.). Doveru. ISBN  0-486-42079-5.
  • Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-158488866-6. OCLC  144216834.
  • Schechter, Eric. Příručka pro analýzu a její základy. Akademický tisk. ISBN  0-12-622760-8.
  • Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur ml (1978). Protiklady v topologii. New York: Springer-Verlag. Přetištěno v Dover Publications, New York, 1995. ISBN  0-486-68735-X (Vydání Doveru).

Další čtení

externí odkazy