Mordell – Weilova věta - Mordell–Weil theorem
| Pole | Teorie čísel |
|---|---|
| Vyjádřený | Henri Poincaré |
| V domněnce | 1901 |
| První důkaz od | André Weil |
| První důkaz v | 1929 |
| Zobecnění | Faltingova věta Bombieri – Lang dohad Mordell – Lang dohad |
v matematika, Mordell – Weilova věta uvádí, že pro abelianská odrůda A přes pole s číslem K., skupina A(K.) z K.- racionální body z A je konečně generovaná abelianská skupina, nazvaný Skupina Mordell – Weil. Případ s A an eliptická křivka E a K. the racionální číslo pole Q je Mordellova věta, odpověď na otázku zjevně položenou Henri Poincaré kolem roku 1901; bylo prokázáno Louis Mordell v roce 1922. Je to základní věta o Diophantine geometrie a aritmetika abelianských odrůd.
Dějiny
The tangenta-akord proces (jedna forma věta o sčítání na kubická křivka ) byl znám již v sedmnáctém století. Proces nekonečný sestup z Fermat bylo dobře známé, ale Mordellovi se podařilo určit konečnost kvocientová skupina E(Q)/2E(Q), který tvoří hlavní krok v důkazu. Konečně je tato skupina konečná nutná podmínka pro E(Q) být definitivně generován; a ukazuje to, že hodnost je konečný. To se ukázalo jako zásadní obtíž. To lze dokázat přímou analýzou zdvojnásobení bodu na E.
O několik let později André Weil vzal na sebe předmět a ve své disertační práci vytvořil zobecnění Jacobianů vyšších křivek rodu nad libovolným počtem polí[1] publikováno v roce 1928. K provedení důkazu se stejnou základní strukturou bylo zapotřebí více abstraktních metod. Druhá polovina důkazu potřebuje nějaký druh výšková funkce, pokud jde o ohraničení „velikosti“ bodů z A(K.). Určitá míra souřadnic bude stačit; výšky jsou logaritmické, takže (zhruba řečeno) jde o to, kolik číslic je zapotřebí k zapsání množiny homogenní souřadnice. Pro odrůdu abelian neexistuje a priori upřednostňované zastoupení jako a projektivní rozmanitost.
Obě poloviny důkazu byly významně vylepšeny následnými technickými pokroky: v Galoisova kohomologie jak je aplikováno na sestup, a při studiu nejlepších výškových funkcí (které jsou kvadratické formy ).
Další výsledky
Věta zůstala bez odpovědi na řadu otázek:
- Výpočet hodnosti. Toto je stále náročný výpočetní problém a nemusí se vždy vyskytovat efektivní řešení.
- Význam hodnosti: viz Birch a domněnka Swinnerton-Dyer.
- Možné torzní podskupiny: Barry Mazur v roce 1978 dokázal, že skupina Mordell-Weil může mít jen konečně mnoho torzních podskupin. Toto je případ eliptické křivky torzní domněnka.
- Pro křivka C v jeho Jacobian odrůda tak jako A, může křižovatka C s A(K.) být nekonečný? Kvůli Faltingova věta, to je nepravdivé, pokud C = A.
- Ve stejné souvislosti může C obsahují nekonečně mnoho torzních bodů A? Kvůli Dohoda Manin – Mumford, prokázáno Michelem Raynaudem, je to nepravdivé, pokud se nejedná o případ eliptické křivky.
Viz také
Reference
- ^ Weil, André (1928). L'arithmétique sur les courbes algébriques (PhD). Almqvist & Wiksells Boktryckeri AB, Uppsala. Archivovány od originál dne 2014-12-22.
- Weil, André (1929). „L'arithmétique sur les courbes algébriques“. Acta Mathematica. 52 (1). 281–315. doi:10.1007 / BF02592688. PAN 1555278.
- Mordell, Louis Joel (1922). „O racionálním řešení neurčitých rovnic třetího a čtvrtého stupně“. Proc. Camb. Phil. Soc. 21. 179–192.
- Joseph H., Silverman (1986). Aritmetika eliptických křivek. Postgraduální texty z matematiky. 106. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-0-387-09494-6. ISBN 0-387-96203-4. PAN 2514094.