Néron – Tate výška - Néron–Tate height
v teorie čísel, Néron – Tate výška (nebo kanonická výška) je kvadratická forma na Skupina Mordell-Weil z racionální body z abelianská odrůda definované nad a globální pole. Je pojmenován po André Néron a John Tate.
Definice a vlastnosti
Néron definoval výšku Néron – Tate jako součet místních výšek.[1] Přestože je globální výška Néron – Tate kvadratická, místní výškové složky nejsou zcela kvadratické. Tate (nepublikovaný) to definoval globálně pozorováním, že logaritmická výška spojené se symetrickým invertibilní svazek na abelianská odrůda je „téměř kvadratický“ a použil to k prokázání limitu
existuje, definuje kvadratickou formu na Mordell-Weilově skupině racionálních bodů a uspokojuje
kde předpokládané konstanta je nezávislá na .[2] Li je anti-symetrický, to je , pak analogický limit
konverguje a uspokojuje , ale v tomto případě je lineární funkce ve skupině Mordell-Weil. U obecných invertibilních kladek se píše jako produkt symetrického svazku a anti-symetrického svazku a poté
je jedinečná kvadratická funkce uspokojující
Výška Néron – Tate závisí na volbě inverzního svazku na abelianské odrůdě, ačkoli související bilineární forma závisí pouze na obrazu v Skupina Néron – Severi z . Pokud je abelianská odrůda je definováno přes číselné pole K. a invertibilní svazek je symetrický a dostatečný, pak je výška Néron – Tate pozitivně definitivní v tom smyslu, že mizí pouze na torzních prvcích skupiny Mordell-Weil . Obecněji, indukuje pozitivní definitivní kvadratický tvar na reálném vektorovém prostoru .
Na eliptická křivka, skupina Néron-Severi je na prvním místě a má jedinečný dostatečný generátor, takže tento generátor se často používá k definování výšky Néron – Tate, která je označena bez odkazu na konkrétní svazek linek. (Výška, která se přirozeně objevuje ve vyjádření Birch a domněnka Swinnerton-Dyer je dvojnásobek této výšky.) U abelianských odrůd vyšší dimenze nemusí být při definování výšky Néron – Tate zvláštní výběr nejmenšího velkého svazku čar a výšky použité ve vyjádření Birch – Swinnerton-Dyer domněnka je výška Néron – Tate spojená s Balíček Poincaré line na , produkt s jeho dvojí.
Eliptické a abelianské regulátory
Bilineární forma spojená s kanonickou výškou na eliptické křivce E je
The eliptický regulátor z E / K. je
kde P1,…, Pr je základem pro skupinu Mordell-Weil E(K.) modulo torze (srov. Gram determinant ). Eliptický regulátor nezávisí na volbě základny.
Obecněji řečeno A / K. být abelian odrůda, nechť B Ic obr0(A) být dual abelian odrůda Aa nechte P být Balíček Poincaré line na A × B. Pak abelianský regulátor z A / K. je definován výběrem základny Q1,…, Qr pro skupinu Mordell-Weil A(K.) modulo torze a základ η1,…, Ηr pro skupinu Mordell-Weil B(K.) modulo torze a nastavení
(Definice eliptického a abelianského regulátoru nejsou zcela shodné, protože pokud A je eliptická křivka, pak druhá je 2r krát bývalý.)
Eliptické a abelianské regulátory se objevují v Domněnka Birch – Swinnerton-Dyer.
Dolní hranice výšky Néron – Tate
Existují dva základní dohady, které dávají spodní hranici výšky Néron – Tate. V prvním poli K. je pevná a eliptická křivka E / K. a ukázat P ∈ E (K) se liší, zatímco ve druhém, eliptický Lehmerův dohad křivka E / K. je fixní, zatímco pole definice bodu P liší se.
V obou domněnkách jsou konstanty kladné a závisí pouze na uvedených veličinách. (Tvrdí to Langova domněnka záleží jen na titulu .) Je známo, že abc dohad implikuje Langovu domněnku, a že analogie Langovy domněnky přes jedno pole dimenze charakteristické 0 funkce je bezpodmínečně pravdivá.[3][5] Nejlepší obecný výsledek v Lehmerově domněnce je slabší odhad kvůli Masser.[6] Když má eliptická křivka komplexní násobení, toto bylo vylepšeno na Laurent.[7] Existují analogické domněnky pro abelianské odrůdy, přičemž podmínka nontorsion je nahrazena podmínkou, kterou násobky tvoří hustou podskupinu Zariski a dolní mez v Langově domněnce nahrazena , kde je Výška faltings z .
Zobecnění
Polarizovaný algebraický dynamický systém je trojitý (PROTI, φ,L) skládající se z (hladké projektivní) algebraické odrůdy PROTI, sebe-morfismus φ: V → V a svazek řádků L na PROTI s majetkem, který pro celé číslo d > 1. Přidružená kanonická výška je dána limitem Tate[8]
kde φ(n) = φ o φ o ... o φ je n-násobná iterace φ. Například jakýkoli morfismus φ: PN → PN stupně d > 1 získá kanonickou výšku spojenou s relací svazku řádků φ *Ó(1) = Ó(d). Li PROTI je definován přes číselné pole a L je dostatečná, pak je kanonická výška nezáporná a
(P je předperiodické, pokud je jeho oběžná dráha vpřed P, φ (P), φ2(P), φ3(P), ... obsahuje pouze konečně mnoho odlišných bodů.)
Reference
- ^ Néron, André (1965). „Quasi-fonctions et hauteurs sur les variétés abéliennes“. Ann. matematiky. (francouzsky). 82: 249–331. doi:10.2307/1970644. PAN 0179173.
- ^ Lang (1997) str.72
- ^ A b Lang (1997) str. 73–74
- ^ Lang (1997), str. 233
- ^ Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (1988). "Kanonická výška a integrální body na eliptických křivkách". Vymyslet. Matematika. 93 (2): 419–450. doi:10.1007 / bf01394340. PAN 0948108. Zbl 0657.14018.
- ^ Masser, David W. (1989). "Počítání bodů malé výšky na eliptických křivkách". Býk. Soc. Matematika. Francie. 117 (2): 247–265. PAN 1015810.
- ^ Laurent, Michel (1983). „Minoration de la hauteur de Néron-Tate“ [Dolní hranice výšky Nerón-Tate]. V Bertin, Marie-José (ed.). Séminaire de théorie des nombres, Paříž 1981–82 [Seminář z teorie čísel, Paříž 1981–82]. Pokrok v matematice (ve francouzštině). Birkhäuser. str. 137–151. ISBN 0-8176-3155-0. PAN 0729165.
- ^ Volejte, Gregory S .; Silverman, Joseph H. (1993). „Kanonické výšky u odrůd s morfismem“. Compositio Mathematica. 89 (2): 163–205. PAN 1255693.
Obecné odkazy na teorii kanonických výšek
- Bombieri, Enrico; Gubler, Walter (2006). Výšky v diofantické geometrii. Nové matematické monografie. 4. Cambridge University Press. doi:10.2277/0521846153. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1130.11034.
- Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000). Diophantine Geometry: An Introduction. Postgraduální texty z matematiky. 201. ISBN 0-387-98981-1. Zbl 0948.11023.
- Lang, Serge (1997). Průzkum diofantické geometrie. Springer-Verlag. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
- J.H. Silverman, Aritmetika eliptických křivek, ISBN 0-387-96203-4