Stickelbergersova věta - Stickelbergers theorem - Wikipedia

v matematika, Stickelbergerova věta je výsledkem algebraická teorie čísel, který poskytuje některé informace o Galoisův modul struktura třídní skupiny z cyklotomická pole. Zvláštní případ poprvé prokázal Ernst Kummer (1847 ), zatímco obecný výsledek je způsoben Ludwig Stickelberger (1890 ).^[1]

Stickelbergerův prvek a Stickelberger ideální

Nechat $K. m$ označit $m$ th cyklotomické pole, tj rozšíření z racionální čísla získané sousedící the $m$ th kořeny jednoty na $ℚ$ (kde $m \geq 2$ je celé číslo). Je to Galoisovo rozšíření z $ℚ$ s Galoisova skupina $G m$ isomorfní s multiplikativní skupina celých čísel modulo $m$ $(ℤ / m ℤ) \times$ . The Stickelbergerův prvek (úrovně $m$ nebo z $K. m$ ) je prvek v skupinové vyzvánění $ℚ [G m]$ a Stickelberger ideální (úrovně $m$ nebo z $K. m$ ) je ideální ve skupinovém kruhu $ℤ [G m]$ . Jsou definovány následovně. Nechat $ζ m$ označit a primitivní $m$ th kořen jednoty. Izomorfismus z $(ℤ / m ℤ) \times$ na $G m$ je dáno zasláním $A$ na $σ A$ definovaný vztahem

{ displaystyle sigma _ {a} ( zeta _ {m}) = zeta _ {m} ^ {a}}

.

Stickelbergerův prvek úrovně $m$ je definován jako

{ displaystyle theta (K_ {m}) = { frac {1} {m}} { podmnožina {(a, m) = 1} { součet _ {a = 1} ^ {m}}} a cdot sigma _ {a} ^ {- 1} in mathbb {Q} [G_ {m}].}

Stickelbergerův ideální level $m$ , označeno $Já (K. m)$ , je množina integrálních násobků $θ (K. m)$ které mají integrální koeficienty, tj.

{ displaystyle I (K_ {m}) = theta (K_ {m}) mathbb {Z} [G_ {m}] cap mathbb {Z} [G_ {m}].}

Obecněji, pokud $F$ být kdokoli Abelianovo číslo jehož skupina Galois skončila $ℚ$ je označen $G F$ , pak Stickelbergerův prvek $F$ a Stickelberger ideální $F$ lze definovat. Podle Kroneckerova-Weberova věta existuje celé číslo $m$ takhle $F$ je obsažen v $K. m$ . Opravte nejméně takové $m$ (toto je (konečná část) dirigent z $F$ přes $ℚ$ ). Existuje přírodní skupinový homomorfismus $G m \to G F$ dané omezením, tj. pokud $σ \in G m$ , jeho obrázek v $G F$ je jeho omezení na $F$ označeno $res m σ$ . Stickelbergerův prvek $F$ je pak definována jako

{ displaystyle theta (F) = { frac {1} {m}} { podmnožina {(a, m) = 1} { součet _ {a = 1} ^ {m}}} a cdot mathrm {res} _ {m} sigma _ {a} ^ {- 1} in mathbb {Q} [G_ {F}].}

Ideál Stickelberger $F$ , označeno $Já (F)$ , je definován jako v případě $K. m$ , tj.

{ displaystyle I (F) = theta (F) mathbb {Z} [G_ {F}] cap mathbb {Z} [G_ {F}].}

Ve zvláštním případě, kdy $F = K. m$ , Stickelberger ideální $Já (K. m)$ generuje $(A - σ A) θ (K. m)$ tak jako $A$ mění se $ℤ / m ℤ$ . To neplatí obecně F.^[2]

Příklady

Li $F$ je úplně skutečné pole vodiče $m$ , pak^[3]

{ displaystyle theta (F) = { frac { varphi (m)} {2 [F: mathbb {Q}]}} součet _ { sigma v G_ {F}} sigma,}

kde $φ$ je Funkce Euler totient a $[F : ℚ]$ je stupeň z $F$ přes ℚ.

Výrok věty

Stickelbergerova věta^[4]
Nechat $F$ být abelianské číslo. Pak je ideální Stickelberger $F$ ničí skupina tříd $F$ .

Všimněte si, že $θ (F)$ sám o sobě nemusí být anihilátor, ale jakýkoli jeho násobek $ℤ [G F]$ je.

Věta výslovně říká, že pokud $α \in ℤ [G F]$ je takový

{ displaystyle alpha theta (F) = součet _ { sigma v G_ {F}} a _ { sigma} sigma v mathbb {Z} [G_ {F}]}

a pokud $J$ je jakýkoli zlomkový ideál z $F$ , pak

{ displaystyle prod _ { sigma v G_ {F}} sigma doleva (J ^ {a _ { sigma}} doprava)}

je hlavní ideál.

Viz také

Poznámky

^ Washington 1997, Poznámky ke kapitole 6
^ Washington 1997, Lemma 6.9 a komentáře následující
^ Washington 1997, §6.2
^ Washington 1997, Věta 6.10

Reference

Cohen, Henri (2007). Teorie čísel - Svazek I: Nástroje a diofantické rovnice. Postgraduální texty z matematiky. 239. Springer-Verlag. str. 150–170. ISBN 978-0-387-49922-2. Zbl 1119.11001.
Boas Erez, Darstellungen von Gruppen in der Algebraischen Zahlentheorie: eine Einführung
Fröhlich, A. (1977). "Stickelberger bez Gaussových součtů". v Fröhlich, A. (vyd.). Algebraická pole čísel, Proc. Symp. London Math. Soc., Univ. Durham 1975. Akademický tisk. str. 589–607. ISBN 0-12-268960-7. Zbl 0376.12002.
Irsko, Kenneth; Rosen, Michael (1990). Klasický úvod do moderní teorie čísel. Postgraduální texty z matematiky. 84 (2. vyd.). New York: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4757-2103-4. ISBN 978-1-4419-3094-1. PAN 1070716.
Kummer, Ernst (1847), „Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren“, Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 1847 (35): 327–367, doi:10,1515 / crll.1847.35.327
Stickelberger, Ludwig (1890), „Ueber eine Verallgemeinerung der Kreistheilung“, Mathematische Annalen, 37 (3): 321–367, doi:10.1007 / bf01721360, JFM 22.0100.01, PAN 1510649
Washington, Lawrence (1997), Úvod do cyklomatomických polí, Postgraduální texty z matematiky, 83 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4, PAN 1421575

externí odkazy

Stránka PlanetMath

[1] Washington 1997, Poznámky ke kapitole 6

[2] Washington 1997, Lemma 6.9 a komentáře následující

[3] Washington 1997, §6.2

[4] Washington 1997, Věta 6.10

[1]

[2]

[3]

[4]