Hardy – Littlewoodova kruhová metoda - Hardy–Littlewood circle method

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek možná matoucí nebo nejasné čtenářům. Prosím, pomoz nám objasnit článek. O tom by mohla být diskuse diskusní stránka. (Únor 2009) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Duben 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, Hardy – Littlewoodova kruhová metoda je technika analytická teorie čísel. Je pojmenován pro G. H. Hardy a J. E. Littlewood, který jej vyvinul v sérii příspěvků na Waringův problém.

Dějiny

Počáteční myšlenka se obvykle připisuje práci Hardyho s Srinivasa Ramanujan o několik let dříve, v letech 1916 a 1917, na asymptotika z funkce oddílu. To bylo přijato mnoha dalšími vědci, včetně Harold Davenport a I. M. Vinogradov, který mírně upravil formulaci (přesun z komplexní analýza na exponenciální součty ), beze změny širokých čar. Následovaly stovky papírů a od roku 2013^{[Aktualizace]} metoda stále přináší výsledky. Metoda je předmětem monografie Vaughan (1997) podle R. C. Vaughan.

Obrys

Cílem je dokázat asymptotické chování série: ukázat to ${ displaystyle a_ {n} sim F (n)}$ pro nějakou funkci. To se provádí tím, že generující funkce série, pak výpočet zbytky asi nula (v podstatě Fourierovy koeficienty ). Technicky je generovací funkce upravena tak, aby měla poloměr konvergence 1, takže má singularity na jednotkové kružnici - tedy nelze převzít obrysový integrál přes jednotkovou kružnici.

Metoda kruhu je konkrétně způsob, jak tyto zbytky vypočítat pomocí rozdělení kruh do menších oblouků (převážná část kruhu) a hlavních oblouků (malé oblouky obsahující nejvýznamnější singularity) a poté ohraničující chování na vedlejších obloucích. Klíčovým poznatkem je, že v mnoha zajímavých případech (např theta funkce ), singularity se vyskytují na kořeny jednoty a význam singularit je v pořadí podle Farey sekvence. Lze tedy prozkoumat nejvýznamnější singularity a, je-li to štěstí, vypočítat integrály.

Založit

Dotyčný kruh byl původně jednotkový kruh v komplexní rovině. Za předpokladu, že problém byl nejprve formulován v podmínkách, které pro posloupnost komplexních čísel

A_n, n = 0, 1, 2, 3, ...

chceme nějaké asymptotické informace typu

A_n ~ F(n)

kde nějaké máme heuristický důvod hádat, jakou formu má F (an ansatz ), píšeme

${ displaystyle f (z) = součet a_ {n} z ^ {n}}$

A výkonová řada generující funkce. Zajímavé případy jsou kde F je pak z poloměr konvergence rovna 1 a předpokládáme, že problém, který byl kladen, byl upraven tak, aby představoval tuto situaci.

Zbytky

Z této formulace vyplývá přímo z věta o zbytku že

${ displaystyle I_ {n} = int f (z) z ^ {- (n + 1)} , dz = 2 pi ia_ {n}}$

pro celá čísla n ≥ 0, kde je integrál převzat do kruhu poloměru r a se středem na 0, pro všechny r s

0 < r < 1.

To znamená, že je to konturový integrál, přičemž kontura je popsaným kruhem projet jednou proti směru hodinových ručiček. Zatím je to relativně elementární. Chtěli bychom vzít r = 1 přímo, tj. Použít konturu kruhové jednotky. Ve formulaci složité analýzy je to problematické, protože hodnoty F nejsou tam obecně definovány.

Singularity na jednotkovém kruhu

Problém řešený metodou kruhu je vynutit si otázku braní r = 1, dobrým porozuměním povaze singularit F exponáty na jednotkovém kruhu. Základním vhledem je role, kterou hraje Farey sekvence racionálních čísel nebo ekvivalentně kořeny jednoty

${ displaystyle zeta = exp left ({ frac {2 pi ir} {s}} right).}$

Tady jmenovatel s, za předpokladu, že r / s je v nejnižších termínech, se ukazuje k určení relativní důležitosti singulárního chování typického F blízko ζ.

Metoda

Takto lze vyjádřit metodu Hardyho-Littlewoodova kruhu pro složitou analytickou formulaci. Příspěvky k hodnocení Já_n, tak jako r → 1, by se mělo zacházet dvěma způsoby, tradičně nazývanými hlavní oblouky a menší oblouky. Kořeny jednoty ζ rozdělíme do dvou tříd podle toho, zda s ≤ Nnebo s > N, kde N je funkce n to je naše volba pro pohodlný výběr. Integrál Já_n je rozděleno na integrály, každý na nějakém oblouku kruhu, který sousedí s ζ, o délce funkce s (opět podle našeho uvážení). Oblouky tvoří celý kruh; součet integrálů přes hlavní oblouky je tvořit 2πli(n) (realisticky se to stane až do zvládnutelného zbývajícího období). Součet integrálů za menší oblouky má být nahrazen znakem horní hranice, menší v pořadí než F(n).

Diskuse

Takto odvážně řečeno není vůbec jasné, že to může fungovat. Zahrnuté poznatky jsou poměrně hluboké. Jedním jasným zdrojem je teorie theta funkce.

Waringův problém

V kontextu Waringova problému jsou mocninami funkcí theta generující funkce pro funkce součtu čtverců. Jejich analytické chování je například známo mnohem přesnější než u kostek.

Typické singulární chování theta funkce

Je to tak, jak ukazuje diagram falešných barev, že pro funkci theta je „nejdůležitější“ bod na hraničním kruhu v z = 1; následován z = -1, a pak dva komplex kostky kořenů jednoty v 7 hodin a 11 hodin. Poté jsou to čtvrté kořeny jednoty i a -i na tom záleží nejvíce. I když nic v tomto nezaručuje, že analytická metoda bude fungovat, vysvětluje to důvody použití kritéria typu Fareyho řady na kořenech jednoty.

V případě Waringova problému je třeba dostatečně vysoké síly generující funkce k vynucení situace, ve které se singularity, organizované do tzv. singulární řada, převládají. Čím méně zbytečné jsou odhady použité u ostatních, tím jemnější jsou výsledky. Tak jako Bryan Birch řečeno, metoda je ze své podstaty nehospodárná. To neplatí pro případ funkce rozdělení, která signalizovala možnost, že v příznivé situaci lze ztráty z odhadů kontrolovat.

Vinogradovovy trigonometrické součty

Později I. M. Vinogradov rozšířil techniku ​​a nahradil formulaci exponenciálního součtu F(z) s konečnou Fourierova řada, takže příslušný integrál Já_n je Fourierův koeficient. Vinogradov aplikoval konečné částky na Waringův problém v roce 1926 a obecná metoda trigonometrického součtu se stala známou jako „kruhová metoda Hardyho, Littlewooda a Ramanujana ve formě Vinogradovových trigonometrických součtů“.^[1] V zásadě to vše je vyřadit celý „ocas“ generující funkce, což umožňuje podnikání r v omezovací operaci nastavit přímo na hodnotu 1.

Aplikace

Zdokonalení metody umožnily prokázat výsledky o řešeních homogenních Diophantine rovnice, pokud je počet proměnných k je velký vzhledem k míře d (vidět Birchova věta například). Ukázalo se, že jde o příspěvek do Hasseův princip, schopný poskytovat kvantitativní informace. Li d je pevná a k je malý, jsou nutné další metody a princip Hasse má tendenci selhat.

Rademacherova kontura

Ford kruhy: Kruh spočívá na každé frakci v nejnižších hodnotách. Zobrazené tmavší kruhy jsou pro zlomky 0/1, 1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5 a 4 / 5. Každý kruh je tangenciální k základní linii a jejím sousedním kruhům (viz také Tečné čáry ke kruhům ). Frakce se stejným jmenovatelem mají kruhy stejné velikosti.

Ve zvláštním případě, kdy je k nalezení koeficientů modulární formy záporné hmotnosti použita metoda kružnice, Hans Rademacher našel modifikaci kontury, díky které se řada vzniklá metodou kružnice sbíhá k přesnému výsledku. Pro popis jeho kontury je vhodné nahradit jednotkovou kružnici horní polovinou roviny provedením substituce z = exp (2πiτ), takže integrál obrysu se stane integrálem od τ =i až τ = 1 +i. (Číslo i lze nahradit jakýmkoli číslem v horní polovině roviny, ale i je nejvhodnější volba.) Rademacherova kontura je (víceméně) dána hranicemi všech Ford kruhy od 0 do 1, jak je znázorněno na obrázku. Výměna linky z i do 1 +i hranicemi těchto kruhů je netriviální omezující proces, který lze obhájit pro modulární formy, které mají zápornou váhu, a s větší opatrností lze obhájit i nekonstantní podmínky pro případ váhy 0 (jinými slovy modulární funkce ).

Poznámky

Reference

• Apostol, Tom M. (1990), Modulární funkce a Dirichletovy řady v teorii čísel (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97127-8
• K. K. Mardzhanishvili, Ivan Matveevich Vinogradov: stručný nástin jeho života a díla, v I. M. Vinogradov, Vybraná díla (Berlín, 1985)
• Rademacher, Hans (1943), „O rozšíření funkce oddílu v sérii“, Annals of Mathematics, Second Series, The Annals of Mathematics, sv. 44, č. 3, 44 (3): 416–422, doi:10.2307/1968973, JSTOR  1968973, PAN  0008618
• Vaughan, R. C. (1997), Hardy – Littlewoodova metoda„Cambridge Tracts in Mathematics“, 125 (2. vyd.), Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-57347-4

Další čtení

• Wang, juan (1991). Diophantine rovnice a nerovnosti v algebraických číselných polích. Berlín: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-3-642-58171-7. ISBN  9783642634895. OCLC  851809136.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

externí odkazy

• Terence Tao, Heuristická omezení kruhové metody, blogový příspěvek v roce 2012