A geometrický Brownův pohyb (GBM) (také známý jako exponenciální Brownův pohyb ) je nepřetržitý čas stochastický proces ve kterém logaritmus následuje náhodně se měnící veličina a Brownův pohyb (také nazývaný a Wienerův proces ) s drift .[1] stochastická diferenciální rovnice (SDE); zejména se používá v matematické finance modelovat ceny akcií v Black – Scholesův model .
Technická definice: SDE Stochastický proces S t stochastická diferenciální rovnice (SDE):
d S t = μ S t d t + σ S t d Ž t { displaystyle dS_ {t} = mu S_ {t} , dt + sigma S_ {t} , dW_ {t}} kde Ž t { displaystyle W_ {t}} Wienerův proces nebo Brownův pohyb , a μ { displaystyle mu} σ { displaystyle sigma}
První se používá k modelování deterministických trendů, zatímco druhý termín se často používá k modelování řady nepředvídatelných událostí, ke kterým dochází během tohoto pohybu.
Řešení SDE Pro libovolnou počáteční hodnotu S 0 výše uvedená SDE má analytické řešení (pod Výklad Itô ):
S t = S 0 exp ( ( μ − σ 2 2 ) t + σ Ž t ) . { displaystyle S_ {t} = S_ {0} exp left ( left ( mu - { frac { sigma ^ {2}} {2}} right) t + sigma W_ {t} right ).} Odvození vyžaduje použití Itô kalkul . Přihlašování Itóův vzorec vede k
d ( ln S t ) = ( ln S t ) ′ d S t + 1 2 ( ln S t ) ″ d S t d S t = d S t S t − 1 2 1 S t 2 d S t d S t { displaystyle d ( ln S_ {t}) = ( ln S_ {t}) 'dS_ {t} + { frac {1} {2}} ( ln S_ {t})' ', dS_ {t} , dS_ {t} = { frac {dS_ {t}} {S_ {t}}} - { frac {1} {2}} , { frac {1} {S_ {t} ^ {2}}} , dS_ {t} , dS_ {t}} kde d S t d S t { displaystyle dS_ {t} , dS_ {t}} kvadratická variace SDE.
d S t d S t = σ 2 S t 2 d Ž t 2 + 2 σ S t 2 μ d Ž t d t + μ 2 S t 2 d t 2 { displaystyle dS_ {t} , dS_ {t} , = , sigma ^ {2} , S_ {t} ^ {2} , dW_ {t} ^ {2} +2 sigma S_ { t} ^ {2} mu , dW_ {t} , dt + mu ^ {2} S_ {t} ^ {2} , dt ^ {2}} Když d t → 0 { displaystyle dt až 0} d t { displaystyle dt} d Ž t { displaystyle dW_ {t}} d Ž t 2 = Ó ( d t ) { displaystyle dW_ {t} ^ {2} = O (dt)}
d S t d S t = σ 2 S t 2 d t { displaystyle dS_ {t} , dS_ {t} , = , sigma ^ {2} , S_ {t} ^ {2} , dt} Zapojení hodnoty d S t { displaystyle dS_ {t}}
ln S t S 0 = ( μ − σ 2 2 ) t + σ Ž t . { displaystyle ln { frac {S_ {t}} {S_ {0}}} = left ( mu - { frac { sigma ^ {2}} {2}} , right) t + sigma W_ {t} ,.} Vezmeme exponenciální a vynásobíme obě strany S 0 { displaystyle S_ {0}}
Vlastnosti Výše uvedené řešení S t { displaystyle S_ {t}} logicky normálně distribuováno náhodná proměnná s očekávaná hodnota a rozptyl dána[2]
E ( S t ) = S 0 E μ t , { displaystyle operatorname {E} (S_ {t}) = S_ {0} e ^ { mu t},} Var ( S t ) = S 0 2 E 2 μ t ( E σ 2 t − 1 ) . { displaystyle operatorname {Var} (S_ {t}) = S_ {0} ^ {2} e ^ {2 mu t} vlevo (e ^ { sigma ^ {2} t} -1 vpravo) .} Lze je odvodit pomocí skutečnosti, že Z t = exp ( σ Ž t − 1 2 σ 2 t ) { displaystyle Z_ {t} = exp left ( sigma W_ {t} - { frac {1} {2}} sigma ^ {2} t right)} martingale , a to
E [ exp ( 2 σ Ž t − σ 2 t ) ∣ F s ] = E σ 2 ( t − s ) exp ( 2 σ Ž s − σ 2 s ) , ∀ 0 ≤ s < t . { displaystyle operatorname {E} left [ exp left (2 sigma W_ {t} - sigma ^ {2} t right) mid { mathcal {F}} _ {s} right] = e ^ { sigma ^ {2} (ts)} exp left (2 sigma W_ {s} - sigma ^ {2} s right), quad forall 0 leq s The funkce hustoty pravděpodobnosti z S t { displaystyle S_ {t}}
F S t ( s ; μ , σ , t ) = 1 2 π 1 s σ t exp ( − ( ln s − ln S 0 − ( μ − 1 2 σ 2 ) t ) 2 2 σ 2 t ) . { displaystyle f_ {S_ {t}} (s; mu, sigma, t) = { frac {1} { sqrt {2 pi}}} , { frac {1} {s sigma { sqrt {t}}}} , exp left (- { frac { left ( ln s- ln S_ {0} - left ( mu - { frac {1} {2}) } sigma ^ {2} right) t right) ^ {2}} {2 sigma ^ {2} t}} right).}
Odvození funkce hustoty pravděpodobnosti GBM
K odvození funkce hustoty pravděpodobnosti pro GBM musíme použít Fokker-Planckova rovnice vyhodnotit časový vývoj PDF:
∂ str ∂ t + ∂ ∂ S [ μ ( t , S ) str ( t , S ) ] = 1 2 ∂ 2 ∂ S 2 [ σ 2 ( t , S ) str ( t , S ) ] , str ( 0 , S ) = δ ( S ) { displaystyle { částečné p nad { částečné t}} + { částečné nad { částečné S}} [ mu (t, S) p (t, S)] = {1 nad {2} } { částečné ^ {2} nad { částečné S ^ {2}}} [ sigma ^ {2} (t, S) p (t, S)], quad p (0, S) = delta (S)} kde δ ( S ) { displaystyle delta (S)} Diracova delta funkce . Pro zjednodušení výpočtu můžeme zavést logaritmickou transformaci X = log ( S / S 0 ) { displaystyle x = log (S / S_ {0})}
d X = ( μ − 1 2 σ 2 ) d t + σ d Ž { displaystyle dx = left ( mu - {1 over {2}} sigma ^ {2} right) dt + sigma dW} Potom se ekvivalentní Fokker-Planckova rovnice pro vývoj PDF stane:
∂ str ∂ t + ( μ − 1 2 σ 2 ) ∂ str ∂ X = 1 2 σ 2 ∂ 2 str ∂ X 2 , str ( 0 , X ) = δ ( X ) { displaystyle { částečné p přes { částečné t}} + vlevo ( mu - {1 přes {2}} sigma ^ {2} vpravo) { částečné p přes { částečné x} } = {1 přes {2}} sigma ^ {2} { částečné ^ {2} p přes { částečné x ^ {2}}}, quad p (0, x) = delta (x )} Definovat PROTI = μ − σ 2 / 2 { displaystyle V = mu - sigma ^ {2} / 2} D = σ 2 / 2 { displaystyle D = sigma ^ {2} / 2} ξ = X − PROTI t { displaystyle xi = x-Vt} τ = D t { displaystyle tau = Dt}
∂ t str = D ∂ τ str − PROTI ∂ ξ str ∂ X str = ∂ ξ str ∂ X 2 str = ∂ ξ 2 str { displaystyle { begin {aligned} částečné _ {t} p & = D částečné _ { tau} pV částečné _ { xi} p částečné _ {x} p & = částečné _ { xi } p částečné _ {x} ^ {2} p & = částečné _ { xi} ^ {2} p end {zarovnáno}}} Vedoucí k nové podobě Fokker-Planckovy rovnice:
∂ str ∂ τ = ∂ 2 str ∂ ξ 2 , str ( 0 , ξ ) = δ ( ξ ) { displaystyle { částečné p přes { částečné tau}} = { částečné ^ {2} p přes { částečné xi ^ {2}}}, quad p (0, xi) = delta ( xi)} Toto je však kanonická podoba rovnice tepla . který má řešení dané tepelné jádro :
str ( τ , ξ ) = 1 4 π τ exp ( − ξ 2 4 τ ) { displaystyle p ( tau, xi) = {1 nad { sqrt {4 pi tau}}} exp vlevo (- { xi ^ {2} nad {4 tau}} že jo)} Zapojení původních proměnných vede k PDF pro GBM:
str ( t , S ) = 1 S 2 π σ 2 t exp { − [ log ( S / S 0 ) − ( μ − 1 2 σ 2 ) t ] 2 2 σ 2 t } { displaystyle p (t, S) = {1 nad {S { sqrt {2 pi sigma ^ {2} t}}}} exp left {- { left [ log (S / S_ {0}) - left ( mu - {1 over {2}} sigma ^ {2} right) t right] ^ {2} over {2 sigma ^ {2} t}} že jo}}
Při odvozování dalších vlastností GBM lze použít SDE, jehož řešením je GBM, nebo lze použít explicitní řešení uvedené výše. Zvažte například stochastický protokol procesu (S t návrat protokolu ceny akcií. Použitím Itôovo lemma s F (S ) = log (S ) dává
d log ( S ) = F ′ ( S ) d S + 1 2 F ″ ( S ) S 2 σ 2 d t = 1 S ( σ S d Ž t + μ S d t ) − 1 2 σ 2 d t = σ d Ž t + ( μ − σ 2 / 2 ) d t . { displaystyle { begin {alignedat} {2} d log (S) & = f '(S) , dS + { frac {1} {2}} f' '(S) S ^ {2} sigma ^ {2} , dt [6pt] & = { frac {1} {S}} vlevo ( sigma S , dW_ {t} + mu S , dt vpravo) - { frac {1} {2}} sigma ^ {2} , dt [6pt] & = sigma , dW_ {t} + ( mu - sigma ^ {2} / 2) , dt. end {alignedat}}} Z toho vyplývá, že E log ( S t ) = log ( S 0 ) + ( μ − σ 2 / 2 ) t { displaystyle operatorname {E} log (S_ {t}) = log (S_ {0}) + ( mu - sigma ^ {2} / 2) t}
Tento výsledek lze také odvodit použitím logaritmu na explicitní řešení GBM:
log ( S t ) = log ( S 0 exp ( ( μ − σ 2 2 ) t + σ Ž t ) ) = log ( S 0 ) + ( μ − σ 2 2 ) t + σ Ž t . { displaystyle { begin {alignedat} {2} log (S_ {t}) & = log left (S_ {0} exp left ( left ( mu - { frac { sigma ^ { 2}} {2}} right) t + sigma W_ {t} right) right) [6pt] & = log (S_ {0}) + left ( mu - { frac { sigma ^ {2}} {2}} vpravo) t + sigma W_ {t}. end {alignedat}}} Vezmeme-li očekávání, získáme stejný výsledek jako výše: E log ( S t ) = log ( S 0 ) + ( μ − σ 2 / 2 ) t { displaystyle operatorname {E} log (S_ {t}) = log (S_ {0}) + ( mu - sigma ^ {2} / 2) t}
Simulace ukázkových cest # Pythonský kód pro graf import numpy tak jako np import matplotlib.pyplot tak jako plt mu = 1 n = 50 dt = 0.1 x0 = 100 np . náhodný . semínko ( 1 ) sigma = np . divný ( 0.8 , 2 , 0.2 ) X = np . exp ( ( mu - sigma ** 2 / 2 ) * dt + sigma * np . náhodný . normální ( 0 , np . čtv ( dt ), velikost = ( len ( sigma ), n )) . T ) X = np . vstack ([ np . ty ( len ( sigma )), X ]) X = x0 * X . cumprod ( osa = 0 ) plt . spiknutí ( X ) plt . legenda ( np . kolo ( sigma , 2 )) plt . xlabel ( „$ t $“ ) plt . ylabel ( „$ x $“ ) plt . titul ( "Realizace geometrického Brownova pohybu s různými odchylkami n $ mu = 1 $ " ) plt . ukázat () Verze s více proměnnými GBM lze rozšířit na případ, kdy existuje více korelovaných cenových cest.
Každá cenová cesta sleduje základní proces
d S t i = μ i S t i d t + σ i S t i d Ž t i , { displaystyle dS_ {t} ^ {i} = mu _ {i} S_ {t} ^ {i} , dt + sigma _ {i} S_ {t} ^ {i} , dW_ {t} ^ {i},} kde jsou Wienerovy procesy korelovány tak, že E ( d Ž t i d Ž t j ) = ρ i , j d t { displaystyle operatorname {E} (dW_ {t} ^ {i} , dW_ {t} ^ {j}) = rho _ {i, j} , dt} ρ i , i = 1 { displaystyle rho _ {i, i} = 1}
U vícerozměrného případu to znamená
Cov ( S t i , S t j ) = S 0 i S 0 j E ( μ i + μ j ) t ( E ρ i , j σ i σ j t − 1 ) . { displaystyle operatorname {Cov} (S_ {t} ^ {i}, S_ {t} ^ {j}) = S_ {0} ^ {i} S_ {0} ^ {j} e ^ {( mu _ {i} + mu _ {j}) t} vlevo (e ^ { rho _ {i, j} sigma _ {i} sigma _ {j} t} -1 vpravo).} Použití ve financích Geometrický Brownův pohyb se používá k modelování cen akcií v modelu Black – Scholes a je nejpoužívanějším modelem chování cen akcií.[3]
Některé z argumentů pro použití GBM k modelování cen akcií jsou:
Očekávané výnosy GBM jsou nezávislé na hodnotě procesu (cena akcií), který souhlasí s tím, co bychom ve skutečnosti očekávali.[3] Proces GBM předpokládá pouze kladné hodnoty, stejně jako skutečné ceny akcií. Proces GBM vykazuje na svých cestách stejný druh „drsnosti“, jaký vidíme ve skutečných cenách akcií. Výpočty s procesy GBM jsou relativně snadné. GBM však není zcela realistický model, zejména v následujících bodech zaostává za realitou:
U reálných cen akcií se volatilita v průběhu času mění (možná stochasticky ), ale v GBM se volatilita předpokládá konstantní. V reálném životě ceny akcií často ukazují skoky způsobené nepředvídatelnými událostmi nebo novinkami, ale v GBM je cesta kontinuální (bez diskontinuity). Rozšíření Ve snaze učinit GBM realističtějším modelem pro ceny akcií lze zrušit předpoklad, že volatilita ( σ { displaystyle sigma} deterministický funkce ceny a času akcií, tomu se říká a místní volatilita Modelka. Pokud místo toho předpokládáme, že volatilita má vlastní náhodnost - často ji popisuje jiná rovnice řízená jiným Brownovým pohybem - model se nazývá a stochastická volatilita Modelka.
Viz také Reference ^ Ross, Sheldon M. (2014). „Variace na Brownův pohyb“ . Úvod do pravděpodobnostních modelů (11. vydání). Amsterdam: Elsevier. s. 612–14. ISBN 978-0-12-407948-9 ^ Øksendal, Bernt K. (2002), Stochastické diferenciální rovnice: Úvod do aplikací , Springer, str. 326, ISBN 3-540-63720-6 ^ A b Hull, John (2009). „12,3“. Opce, futures a další deriváty (7 ed.). externí odkazy 
![{ displaystyle operatorname {E} left [ exp left (2 sigma W_ {t} - sigma ^ {2} t right) mid { mathcal {F}} _ {s} right] = e ^ { sigma ^ {2} (ts)} exp left (2 sigma W_ {s} - sigma ^ {2} s right), quad forall 0 leq s <t.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/121f4efbdcac966a20535657392d5de0345d6f9b)
![{ displaystyle { částečné p nad { částečné t}} + { částečné nad { částečné S}} [ mu (t, S) p (t, S)] = {1 nad {2} } { částečné ^ {2} nad { částečné S ^ {2}}} [ sigma ^ {2} (t, S) p (t, S)], quad p (0, S) = delta (S)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c4aead5a9293ecf1973cba7b9b8683d2ded50d1f)
![{ displaystyle p (t, S) = {1 nad {S { sqrt {2 pi sigma ^ {2} t}}}} exp left {- { left [ log (S / S_ {0}) - left ( mu - {1 over {2}} sigma ^ {2} right) t right] ^ {2} over {2 sigma ^ {2} t}} že jo}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a26797fa1b6e421209c7314318b486e26694d685)
![{ displaystyle { begin {alignedat} {2} d log (S) & = f '(S) , dS + { frac {1} {2}} f' '(S) S ^ {2} sigma ^ {2} , dt [6pt] & = { frac {1} {S}} vlevo ( sigma S , dW_ {t} + mu S , dt vpravo) - { frac {1} {2}} sigma ^ {2} , dt [6pt] & = sigma , dW_ {t} + ( mu - sigma ^ {2} / 2) , dt. end {alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95b72bd76b7255e8dbd8e7c224df8ec2ac15ba9d)
![{ displaystyle { begin {alignedat} {2} log (S_ {t}) & = log left (S_ {0} exp left ( left ( mu - { frac { sigma ^ { 2}} {2}} right) t + sigma W_ {t} right) right) [6pt] & = log (S_ {0}) + left ( mu - { frac { sigma ^ {2}} {2}} vpravo) t + sigma W_ {t}. end {alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/592321ca2ac7a8f230e2854bef22804a8c3d1064)
