Stochastická volatilita - Stochastic volatility

Ve statistikách stochastická volatilita modely jsou ty, ve kterých rozptyl a stochastický proces je sám náhodně distribuován.^[1] Používají se v oblasti matematické finance vyhodnotit derivát cenné papíry, jako možnosti. Název je odvozen od toho, jak model zachází se základním zabezpečením volatilita jako náhodný proces, řízené stavové proměnné jako je cenová hladina podkladového cenného papíru, tendence volatility k návratu k nějaké dlouhodobé střední hodnotě a rozptyl samotného procesu volatility.

Modely stochastické volatility jsou jedním z přístupů k řešení nedostatku Black – Scholes Modelka. Zejména modely založené na Black-Scholes předpokládají, že podkladová volatilita je konstantní po celou dobu životnosti derivátu a není ovlivněna změnami cenové hladiny podkladového cenného papíru. Tyto modely však nemohou vysvětlit dlouho pozorované vlastnosti implikované volatilitní plochy, jako je volatilita úsměv a zkosení, které naznačují, že implikovaná volatilita má tendenci se měnit s ohledem na realizační cena a exspirace. Za předpokladu, že volatilita podkladové ceny je spíše stochastický proces než konstanta, je možné modelovat deriváty přesněji.

Základní model

Počínaje přístupem konstantní volatility předpokládejme, že cena podkladového aktiva derivátu se řídí standardním modelem pro geometrický Brownův pohyb:

{ displaystyle dS_ {t} = mu S_ {t} , dt + sigma S_ {t} , dW_ {t} ,}

kde ${ displaystyle mu ,}$ je konstantní drift (tj. očekávaný výnos) ceny cenného papíru ${ displaystyle S_ {t} ,}$ , ${ displaystyle sigma ,}$ je konstantní volatilita a ${ displaystyle dW_ {t} ,}$ je standard Wienerův proces s nulou znamenat a jednotková sazba rozptyl. Výslovné řešení tohoto stochastická diferenciální rovnice je

{ displaystyle S_ {t} = S_ {0} e ^ {( mu - { frac {1} {2}} sigma ^ {2}) t + sigma W_ {t}}.}

The odhad maximální pravděpodobnosti odhadnout konstantní volatilitu ${ displaystyle sigma ,}$ za dané ceny akcií ${ displaystyle S_ {t} ,}$ v různých časech ${ displaystyle t_ {i} ,}$ je

{ displaystyle { begin {aligned} { widehat { sigma}} ^ {2} & = left ({ frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} { frac {( ln S_ {t_ {i}} - ln S_ {t_ {i-1}}) ^ {2}} {t_ {i} -t_ {i-1}}} vpravo) - { frac {1} {n}} { frac {( ln S_ {t_ {n}} - ln S_ {t_ {0}}) ^ {2}} {t_ {n} -t_ {0}}} & = { frac {1} {n}} sum _ {i = 1} ^ {n} (t_ {i} -t_ {i-1}) left ({ frac { ln { frac {S_ {t_ {i}}} {S_ {t_ {i-1}}}}} {t_ {i} -t_ {i-1}}} - { frac { ln { frac {S_ { t_ {n}}} {S_ {t_ {0}}}}} {t_ {n} -t_ {0}}} vpravo) ^ {2}; end {zarovnáno}}}

své očekávaná hodnota je ${ displaystyle operatorname {E} left [{ widehat { sigma}} ^ {2} right] = { frac {n-1} {n}} sigma ^ {2}.}$

Tento základní model s konstantní volatilitou ${ displaystyle sigma ,}$ je výchozím bodem pro nestochastické modely volatility, jako je Black – Scholesův model a Model Cox – Ross – Rubinstein.

U stochastického modelu volatility nahraďte konstantní volatilitu ${ displaystyle sigma ,}$ s funkcí ${ displaystyle nu _ {t} ,}$ , který modeluje rozptyl ${ displaystyle S_ {t} ,}$ . Tato varianční funkce je také modelována jako Brownův pohyb a forma ${ displaystyle nu _ {t} ,}$ záleží na konkrétním studovaném modelu SV.

{ displaystyle dS_ {t} = mu S_ {t} , dt + { sqrt { nu _ {t}}} S_ {t} , dW_ {t} ,}

{ displaystyle d nu _ {t} = alpha _ { nu, t} , dt + beta _ { nu, t} , dB_ {t} ,}

kde ${ displaystyle alpha _ { nu, t} ,}$ a ${ displaystyle beta _ { nu, t} ,}$ jsou některé funkce ${ displaystyle nu ,}$ , a ${ displaystyle dB_ {t} ,}$ je další standardní gaussian, který je v korelaci s ${ displaystyle dW_ {t} ,}$ s konstantním korelačním faktorem ${ displaystyle rho ,}$ .

Hestonův model

Populární Hestonův model je běžně používaný model SV, ve kterém se náhodnost procesu rozptylu liší jako druhá odmocnina rozptylu. V tomto případě má diferenciální rovnice pro rozptyl tvar:

{ displaystyle d nu _ {t} = theta ( omega - nu _ {t}) , dt + xi { sqrt { nu _ {t}}} , dB_ {t} ,}

kde ${ displaystyle omega}$ je průměrná dlouhodobá odchylka, ${ displaystyle theta}$ je míra, s jakou se rozptyl vrací k jeho dlouhodobému průměru, ${ displaystyle xi}$ je volatilita procesu odchylky a ${ displaystyle dB_ {t}}$ je jako ${ displaystyle dW_ {t}}$ , Gaussian s nulovým průměrem a ${ displaystyle dt}$ rozptyl. Nicméně, ${ displaystyle dW_ {t}}$ a ${ displaystyle dB_ {t}}$ jsou v korelaci s konstantou korelace hodnota ${ displaystyle rho}$ .

Jinými slovy model Heston SV předpokládá, že odchylka je náhodný proces

vykazuje tendenci k návratu k dlouhodobému průměru ${ displaystyle omega}$ rychlostí ${ displaystyle theta}$ ,
vykazuje volatilitu úměrnou druhé odmocnině jeho úrovně
a jehož zdroj náhodnosti je korelován (s korelací ${ displaystyle rho}$ ) s náhodností cenových procesů podkladu.

Některé parametrizace těkavých povrchů, například „SVI“,^[2] jsou založeny na modelu Heston.

Model CEV

The CEV model popisuje vztah mezi volatilitou a cenou a zavádí stochastickou volatilitu:

{ displaystyle dS_ {t} = mu S_ {t} , dt + sigma S_ {t} ^ {, gamma} , dW_ {t}}

Koncepčně na některých trzích volatilita stoupá, když ceny rostou (např. Komodity), takže ${ displaystyle gamma> 1}$ . Na ostatních trzích má volatilita tendenci stoupat s poklesem cen, po vzoru ${ displaystyle gamma <1}$ .

Někteří argumentují tím, že protože model CEV nezahrnuje svůj vlastní stochastický proces volatility, nejde ve skutečnosti o stochastický model volatility. Místo toho tomu říkají a místní volatilita Modelka.

Model volatility SABR

The SABR model (Stochastic Alpha, Beta, Rho), představený Haganem a kol.^[3] popisuje jeden vpřed ${ displaystyle F}$ (související s jakýmkoli aktivem, např. indexem, úrokovou sazbou, dluhopisem, měnou nebo vlastním kapitálem) za stochastické volatility ${ displaystyle sigma}$ :

{ displaystyle dF_ {t} = sigma _ {t} F_ {t} ^ { beta} , dW_ {t},}

{ displaystyle d sigma _ {t} = alpha sigma _ {t} , dZ_ {t},}

Počáteční hodnoty ${ displaystyle F_ {0}}$ a ${ displaystyle sigma _ {0}}$ jsou aktuální forwardová cena a volatilita, zatímco ${ displaystyle W_ {t}}$ a ${ displaystyle Z_ {t}}$ jsou dva korelované Wienerovy procesy (tj. Brownovy pohyby) s korelačním koeficientem ${ displaystyle -1 < rho <1}$ . Konstantní parametry ${ displaystyle beta, ; alfa}$ jsou takové, že ${ displaystyle 0 leq beta leq 1, ; alpha geq 0}$ .

Hlavním rysem modelu SABR je schopnost reprodukovat efekt úsměvu volatilita úsměv.

GARCH model

Zobecněná autoregresní podmíněná heteroskedasticita (GARCH ) model je další populární model pro odhad stochastické volatility. Předpokládá, že náhodnost procesu rozptylu se mění s rozptylem, na rozdíl od druhé odmocniny rozptylu jako v Hestonově modelu. Standardní model GARCH (1,1) má pro variační rozdíl následující podobu:

{ displaystyle d nu _ {t} = theta ( omega - nu _ {t}) , dt + xi nu _ {t} , dB_ {t} ,}

Model GARCH byl rozšířen o řadu variant, včetně NGARCH, TGARCH, IGARCH, LGARCH, EGARCH, GJR-GARCH atd. Přísně však podmíněné volatility z modelů GARCH nejsou od té doby stochastické t volatilita je zcela předem stanovena (deterministická) vzhledem k předchozím hodnotám.^[4]

3/2 model

Model 3/2 je podobný modelu Heston, ale předpokládá, že náhodnost procesu rozptylu se mění s ${ displaystyle nu _ {t} ^ {3/2}}$ . Forma rozdílového rozdílu je:

{ displaystyle d nu _ {t} = nu _ {t} ( omega - theta nu _ {t}) , dt + xi nu _ {t} ^ {3/2} , dB_ {t}. ,}

Význam parametrů se však liší od modelu Heston. V tomto modelu jsou jak střední návratnost, tak volatilita parametrů rozptylu stochastické veličiny dané ${ displaystyle theta nu _ {t}}$ a ${ displaystyle xi nu _ {t}}$ resp.

Kalibrace a odhad

Jakmile je vybrán konkrétní model SV, musí být kalibrován podle stávajících tržních dat. Kalibrace je proces identifikace sady parametrů modelu, které jsou s největší pravděpodobností dány pozorovanými údaji. Jednou populární technikou je použití odhad maximální věrohodnosti (MLE). Například v modelu Heston sada parametrů modelu ${ displaystyle Psi _ {0} = { omega, theta, xi, rho } ,}$ lze odhadnout použitím MLE algoritmu, jako je Powell Řízená sada metoda [1] k pozorování historických podkladových cen cenných papírů.

V tomto případě začnete odhadem pro ${ displaystyle Psi _ {0} ,}$ , spočítat zbytkové chyby při aplikaci historických cenových údajů na výsledný model a poté je upravit ${ displaystyle Psi ,}$ pokusit se tyto chyby minimalizovat. Po provedení kalibrace je standardním postupem model pravidelně kalibrovat.

Alternativou ke kalibraci je statistický odhad, který zohledňuje nejistotu parametrů. Bylo navrženo a implementováno mnoho frekventovaných a bayesovských metod, typicky pro podmnožinu výše zmíněných modelů. Následující seznam obsahuje rozšiřující balíčky statistického softwaru s otevřeným zdrojovým kódem R které byly speciálně navrženy pro odhad heteroskedasticity. První tři uspokojují modely typu GARCH s deterministickou volatilitou; čtvrtý se zabývá stochastickým odhadem volatility.

rugarch: ARFIMA, interní, externí regresory a různé příchutě GARCH, s metodami přizpůsobení, prognózy, simulace, odvození a vykreslení.^[5]
fGarch: Část prostředí Rmetrics pro výuku „Finanční inženýrství a výpočetní finance“.
bayesGARCH: Bayesiánský odhad modelu GARCH (1,1) se Studentovými inovacemi.^[6]
stochvol: Efektivní algoritmy pro plně Bayesiánský odhad modelů stochastické volatility (SV) pomocí Markovský řetězec Monte Carlo (MCMC).^[7]^[8]

Mnoho numerických metod bylo vyvinuto v průběhu času a vyřešilo oceňování finančních aktiv, jako jsou opce se stochastickými modely volatility. Nedávno vyvinutou aplikací je model místní stochastické volatility.^[9] Tento model lokální stochastické volatility poskytuje lepší výsledky při oceňování nových finančních aktiv, jako jsou možnosti forexu.

Existují také alternativní knihovny statistických odhadů v jiných jazycích, jako je Python:

PyFlux Zahrnuje podporu bayesiánských a klasických závěrů pro modely GARCH a beta-t-EGARCH.

Viz také

Reference

^ Jim Gatheral (18. září 2006). The Volatility Surface: A Practitioner's Guide. Wiley. ISBN 978-0-470-06825-0.
^ J Gatheral, A Jacquier (2014). "Nestálost povrchů SVI bez arbitráží". Kvantitativní finance. 14. arXiv:1204.0646. doi:10.1080/14697688.2013.819986.
^ PS Hagan, D Kumar, A Lesniewski, DE Woodward (2002) Řízení rizika úsměvu, Wilmott, 84-108.
^ Brooks, Chris (2014). Úvodní ekonometrie pro finance (3. vyd.). Cambridge: Cambridge University Press. p. 461. ISBN 9781107661455.
^ Ghalanos, Alexios. „rugarch: Univariate modely GARCH“.
^ Ardia, David; Hoogerheide, Lennart F. (2010). „Bayesovský odhad modelu GARCH (1,1) s inovacemi Student-t“ (PDF). Časopis R.. 2 (2): 41–47.
^ Kastner, Gregor (2016). "Řešení stochastické volatility v časových řadách pomocí balíčku R stochvol" (PDF). Žurnál statistického softwaru. 69 (5): 1–30. doi:10.18637 / jss.v069.i05.
^ Kastner, Gregor; Frühwirth-Schnatter, Sylvia (2014). „Ancillarity-Sufficiency Interweaving Strategy (ASIS) pro posílení odhadu MCMC stochastických modelů volatility“ (PDF). Výpočetní statistika a analýza dat. 79: 408–423. doi:10.1016 / j.csda.2013.01.002.
^ van der Weijst, Roel (2017). „Numerická řešení pro stochastický model místní volatility“. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

Zdroje

Stochastická analýza volatility a střední odchylky^{[trvalý mrtvý odkaz ]}Hyungsok Ahn, Paul Wilmott, (2006).
Uzavřené řešení pro možnosti se stochastickou volatilitou SL Heston, (1993).
Inside Volatility Arbitrage, Alireza Javaheri, (2005).
Urychlení kalibrace modelů stochastické volatility, Kilin, Fiodar (2006).

[1] Jim Gatheral (18. září 2006). The Volatility Surface: A Practitioner's Guide. Wiley. ISBN 978-0-470-06825-0.

[SVI-2] J Gatheral, A Jacquier (2014). "Nestálost povrchů SVI bez arbitráží". Kvantitativní finance. 14. arXiv:1204.0646. doi:10.1080/14697688.2013.819986.

[3] PS Hagan, D Kumar, A Lesniewski, DE Woodward (2002) Řízení rizika úsměvu, Wilmott, 84-108.

[4] Brooks, Chris (2014). Úvodní ekonometrie pro finance (3. vyd.). Cambridge: Cambridge University Press. p. 461. ISBN 9781107661455.

[5] Ghalanos, Alexios. „rugarch: Univariate modely GARCH“.

[6] Ardia, David; Hoogerheide, Lennart F. (2010). „Bayesovský odhad modelu GARCH (1,1) s inovacemi Student-t“ (PDF). Časopis R.. 2 (2): 41–47.

[7] Kastner, Gregor (2016). "Řešení stochastické volatility v časových řadách pomocí balíčku R stochvol" (PDF). Žurnál statistického softwaru. 69 (5): 1–30. doi:10.18637 / jss.v069.i05.

[8] Kastner, Gregor; Frühwirth-Schnatter, Sylvia (2014). „Ancillarity-Sufficiency Interweaving Strategy (ASIS) pro posílení odhadu MCMC stochastických modelů volatility“ (PDF). Výpočetní statistika a analýza dat. 79: 408–423. doi:10.1016 / j.csda.2013.01.002.

[9] van der Weijst, Roel (2017). „Numerická řešení pro stochastický model místní volatility“. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

Volatilita
Modelování volatility	Implikovaná volatilita Volatilita úsměv Shlukování volatility Místní volatilita Stochastická volatilita Modely skokové difúze ARCH a GARCH
Volatilita obchodování	Volatilita arbitráž Rozkročit se Výměna volatility IVX VIX