Jordansovo lemma - Jordans lemma - Wikipedia

v komplexní analýza, Jordanovo lemma je výsledek často používaný ve spojení s věta o zbytku vyhodnotit konturové integrály a nesprávné integrály. Je pojmenována po francouzském matematikovi Camille Jordan.

Prohlášení

Zvažte a komplex -hodnota, spojitá funkce F, definované na půlkruhovém obrysu

${ displaystyle C_ {R} = {Re ^ {i theta} střední theta v [0, pi] }}$

kladného poloměru R ležící v horní polorovina, se středem na počátek. Pokud je funkce F je ve formě

${ displaystyle f (z) = e ^ {iaz} g (z), quad z v C_ {R},}$

s kladným parametrem A, pak Jordanovo lemma uvádí následující horní mez pro obrysový integrál:

${ displaystyle left | int _ {C_ {R}} f (z) , dz right | leq { frac { pi} {a}} M_ {R} quad { text {kde} } quad M_ {R}: = max _ { theta in [0, pi]} left | g left (Re ^ {i theta} right) right |.}$

s rovností, když G zmizí všude, v takovém případě jsou obě strany stejně nulové. Analogický výrok pro půlkruhový obrys ve spodní polorovině platí, když A < 0.

Poznámky

• Li F je spojitý na půlkruhovém obrysu C_R pro všechny velké R a

${ displaystyle lim _ {R až infty} M_ {R} = 0}$

(*)

pak Jordanovým lemmatem

${ displaystyle lim _ {R až infty} int _ {C_ {R}} f (z) , dz = 0.}$

• Pro případ A = 0viz lema odhadu.
• Ve srovnání s odhadovacím lematem horní mez v jordánském lematu výslovně nezávisí na délce obrysu C_R.

Aplikace Jordanova lemmatu

Cesta C je zřetězení cest C₁ a C₂.

Jordanovo lemma poskytuje jednoduchý způsob výpočtu integrálu podél skutečné osy funkcí F(z) = E^{já a z} G(z) holomorfní na horní polorovině a spojité na uzavřené horní polorovině, s výjimkou možného konečného počtu nereálných bodů z₁, z₂, …, z_n. Zvažte uzavřený obrys C, což je zřetězení cest C₁ a C₂ zobrazené na obrázku. Podle definice,

${ displaystyle mast _ {C} f (z) , dz = int _ {C_ {1}} f (z) , dz + int _ {C_ {2}} f (z) , dz ,.}$

Od té doby C₂ proměnná z je skutečný, druhý integrál je skutečný:

${ displaystyle int _ {C_ {2}} f (z) , dz = int _ {- R} ^ {R} f (x) , dx ,.}$

Levou stranu lze vypočítat pomocí věta o zbytku získat pro všechny R větší než maximum |z₁|, |z₂|, …, |z_n|,

${ displaystyle mast _ {C} f (z) , dz = 2 pi i součet _ {k = 1} ^ {n} operatorname {Res} (f, z_ {k}) ,,}$

kde Res (F, z_k) označuje zbytek z F v singularitě z_k. Proto, pokud F splňuje podmínku (*), poté vezmeme limit jako R má sklon k nekonečnu, kontura je integrální C₁ mizí Jordanovým lemmatem a dostaneme hodnotu nevhodného integrálu

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} f (x) , dx = 2 pi i sum _ {k = 1} ^ {n} operatorname {Res} (f, z_ { k}) ,.}$

Příklad

Funkce

${ displaystyle f (z) = { frac {e ^ {iz}} {1 + z ^ {2}}}, qquad z in { mathbb {C}} setminus {i, -i },}$

splňuje podmínku Jordanova lemmatu s A = 1 pro všechny R > 0 s R ≠ 1. Všimněte si, že pro R > 1,

${ displaystyle M_ {R} = max _ { theta v [0, pi]} { frac {1} {| 1 + R ^ {2} e ^ {2i theta} |}} = { frac {1} {R ^ {2} -1}} ,,}$

tedy (*) drží. Protože jediná singularita F v horní polovině roviny je na z = i, výtěžek výše uvedené aplikace

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac {e ^ {ix}} {1 + x ^ {2}}} , dx = 2 pi i , operatorname {Res } (f, i) ,.}$

Od té doby z = i je jednoduchá tyč z F a 1 + z² = (z + i)(z − i), získáváme

${ displaystyle operatorname {Res} (f, i) = lim _ {z to i} (zi) f (z) = lim _ {z to i} { frac {e ^ {iz}} {z + i}} = { frac {e ^ {- 1}} {2i}}}$

aby

${ displaystyle int _ {- infty} ^ { infty} { frac { cos x} {1 + x ^ {2}}} , dx = operatorname {Re} int _ {- infty } ^ { infty} { frac {e ^ {ix}} {1 + x ^ {2}}} , dx = { frac { pi} {e}} ,.}$

Tento výsledek ilustruje způsob, jakým lze pomocí komplexní analýzy snadno vyhodnotit některé integrály obtížně vypočítatelné klasickými metodami.

Důkaz Jordanova lemmatu

Podle definice komplexní přímka integrální,

${ displaystyle int _ {C_ {R}} f (z) , dz = int _ {0} ^ { pi} g (Re ^ {i theta}) , e ^ {iaR ( cos theta + i sin theta)} , iRe ^ {i theta} , d theta = R int _ {0} ^ { pi} g (Re ^ {i theta}) , e ^ {aR (i cos theta - sin theta)} , tj. ^ {i theta} , d theta ,.}$

Nyní nerovnost

${ displaystyle { biggl |} int _ {a} ^ {b} f (x) , dx { biggr |} leq int _ {a} ^ {b} vlevo | f (x) vpravo | , dx}$

výnosy

${ displaystyle I_ {R}: = { biggl |} int _ {C_ {R}} f (z) , dz { biggr |} leq R int _ {0} ^ { pi} { bigl |} g (Re ^ {i theta}) , e ^ {aR (i cos theta - sin theta)} , tj. ^ {i theta} { bigr |} , d theta = R int _ {0} ^ { pi} { bigl |} g (Re ^ {i theta}) { bigr |} , e ^ {- aR sin theta} , d theta ,.}$

Použitím M_R jak je definováno v (*) a symetrie hřích θ = hřích (π – θ), získáváme

${ displaystyle I_ {R} leq RM_ {R} int _ {0} ^ { pi} e ^ {- aR sin theta} , d theta = 2RM_ {R} int _ {0} ^ { pi / 2} e ^ {- aR sin theta} , d theta ,.}$

Od grafu hřích θ je konkávní na intervalu θ ∈ [0, π ⁄ 2], graf hřích θ leží nad přímkou ​​spojující její koncové body

${ displaystyle sin theta geq { frac {2 theta} { pi}} quad}$

pro všechny θ ∈ [0, π ⁄ 2], což dále naznačuje

${ displaystyle I_ {R} leq 2RM_ {R} int _ {0} ^ { pi / 2} e ^ {- 2aR theta / pi} , d theta = { frac { pi} {a}} (1-e ^ {- aR}) M_ {R} leq { frac { pi} {a}} M_ {R} ,.}$

Viz také

• Lema odhadu

Reference

• Brown, James W .; Churchill, Ruel V. (2004). Složité proměnné a aplikace (7. vydání). New York: McGraw Hill. str. 262–265. ISBN  0-07-287252-7.