Fresnelovy integrály - Fresnel integral

Pozemky S(X) a C(X). Maximum C(X) je o 0.977451424. Pokud jsou celá čísla S a C byly definovány pomocí π/2t² namísto t², pak by byl obrázek vertikálně a horizontálně zmenšen (viz níže).

The Fresnelovy integrály S(X) a C(X) jsou dva transcendentální funkce pojmenoval podle Augustin-Jean Fresnel které se používají v optika a jsou úzce spjaty s chybová funkce (erf). Vznikají v popisu blízko pole Fresnelova difrakce jevy a jsou definovány prostřednictvím následujících integrální zastoupení:

${ displaystyle S (x) = int _ {0} ^ {x} sin left (t ^ {2} right) , dt, quad C (x) = int _ {0} ^ { x} cos left (t ^ {2} right) , dt.}$

Současně parametrický graf z S(X) a C(X) je Eulerova spirála (také známý jako spirála Cornu nebo clothoid). V poslední době se používají při navrhování dálnic a dalších inženýrských projektech.^[1]

Definice

Fresnelovy integrály s argumenty π/2t² namísto t² konvergovat k 1/2.

Fresnelovy integrály připouštějí následující rozšíření výkonových řad které se sbíhají pro všechny X:

${ displaystyle { begin {aligned} S (x) & = int _ {0} ^ {x} sin left (t ^ {2} right) , dt && = sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {x ^ {4n + 3}} {(2n + 1)! (4n + 3)}}. [6px] C (x) & = int _ {0} ^ {x} cos left (t ^ {2} right) , dt && = sum _ {n = 0} ^ { infty} (- 1) ^ {n} { frac {x ^ {4n + 1}} {(2n)! (4n + 1)}}. end {zarovnáno}}}$

Některé široce používané tabulky^[2][3] použití π/2t² namísto t² pro argument definování integrálů S(X) a C(X). Tím se změní jejich limity v nekonečnu z 1/2·√π/2 na 1/2 a délka oblouku pro první otočení spirály od 2π na 2 (při t = 2). Tyto alternativní funkce jsou obvykle známé jako normalizované Fresnelovy integrály.

Eulerova spirála

Eulerova spirála (X, y) = (C(t), S(t)). Spirála konverguje do středu otvorů v obrázku jako t má sklon k pozitivnímu nebo negativnímu nekonečnu.

The Euler spirála, také známý jako Spirála Cornu nebo clothoid, je křivka generovaná a parametrický graf z S(t) proti C(t). Spirálu Cornu vytvořil Marie Alfred Cornu jako nomogram pro difrakční výpočty ve vědě a inženýrství.

Z definic Fresnelových integrálů je nekonečně malá čísla dx a dy jsou tedy:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} dx & = C '(t) , dt = cos left (t ^ {2} right) , dt, dy & = S' (t) , dt = sin left (t ^ {2} right) , dt. end {zarovnáno}}}$

Délka spirály měřená od původ lze vyjádřit jako

${ displaystyle L = int _ {0} ^ {t_ {0}} { sqrt {dx ^ {2} + dy ^ {2}}} = int _ {0} ^ {t_ {0}} dt = t_ {0}.}$

To je parametr t je délka křivky měřená od počátku (0, 0)a Eulerova spirála ano nekonečný délka. Vektor (cos (t²), hřích (t²)) také vyjadřuje jednotka tečný vektor podél spirály, dávat θ = t². Od té doby t je délka křivky, zakřivení κ lze vyjádřit jako

${ displaystyle kappa = { frac {1} {R}} = { frac {d theta} {dt}} = 2t.}$

Rychlost změny zakřivení vzhledem k délce křivky tedy je

${ displaystyle { frac {d kappa} {dt}} = { frac {d ^ {2} theta} {dt ^ {2}}} = 2.}$

Eulerova spirála má tu vlastnost, že její zakřivení v každém bodě je úměrná vzdálenosti podél spirály, měřeno od počátku. Tato vlastnost je užitečná jako přechodová křivka v dálničním a železničním inženýrství: pokud vozidlo sleduje spirálu při jednotkové rychlosti, parametr t ve výše uvedených derivátech také představuje čas. V důsledku toho bude mít vozidlo, které sleduje spirálu při konstantní rychlosti, konstantní rychlost úhlové zrychlení.

Řezy ze spirál Euler jsou běžně zabudovány do tvaru horská dráha smyčky k výrobě tzv klotoidní smyčky.

Vlastnosti

• C(X) a S(X) jsou liché funkce z X.
• Asymptotika Fresnelových integrálů as X → ∞ jsou dány vzorci:

${ displaystyle { begin {aligned} S (x) & = { sqrt { frac { pi} {2}}} left ({ frac { operatorname {sgn} x} {2}} - left [1 + O left (x ^ {- 4} right) right] left ({ frac { cos left (x ^ {2} right)} {x { sqrt {2 pi }}}} + { frac { sin left (x ^ {2} right)} {x ^ {3} { sqrt {8 pi}}}} right) right), [ 6px] C (x) & = { sqrt { frac { pi} {2}}} left ({ frac { operatorname {sgn} x} {2}} + left [1 + O left (x ^ {- 4} right) right] left ({ frac { sin left (x ^ {2} right)} {x { sqrt {2 pi}}}}} - { frac { cos left (x ^ {2} right)} {x ^ {3} { sqrt {8 pi}}}} right) right). end {zarovnáno}}}$

Komplexní Fresnelovy integrály S(z)

• Pomocí výše uvedených rozšíření výkonových řad lze Fresnelovy integrály rozšířit na doménu komplexní čísla, kde se stanou analytické funkce komplexní proměnné.
• C(z) a S(z) jsou celé funkce komplexní proměnné z.
• Fresnelovy integrály lze vyjádřit pomocí chybová funkce jak následuje:^[4]

Komplexní Fresnelovy integrály C(z)

${ displaystyle { begin {aligned} S (z) & = { sqrt { frac { pi} {2}}} cdot { frac {1 + i} {4}} left [ operatorname { erf} left ({ frac {1 + i} { sqrt {2}}} z right) -i operatorname {erf} left ({ frac {1-i} { sqrt {2}} } z right) right], [6px] C (z) & = { sqrt { frac { pi} {2}}} cdot { frac {1-i} {4}} left [ operatorname {erf} left ({ frac {1 + i} { sqrt {2}}} z right) + i operatorname {erf} left ({ frac {1-i} { sqrt {2}}} z doprava) doprava]. konec {zarovnáno}}}$

nebo

${ displaystyle { begin {zarovnáno} C (z) + iS (z) & = { sqrt { frac { pi} {2}}} cdot { frac {1 + i} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {1-i} { sqrt {2}}} z right), [6px] S (z) + iC (z) & = { sqrt { frac { pi} {2}}} cdot { frac {1 + i} {2}} operatorname {erf} left ({ frac {1 + i} { sqrt {2}}} z right ). end {zarovnáno}}}$

Limity jako X blíží se nekonečnu

Definování integrálů C(X) a S(X) nelze hodnotit v uzavřená forma ve smyslu základní funkce, s výjimkou zvláštních případů. The limity těchto funkcí jako X jde do nekonečna jsou známy:

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} cos left (t ^ {2} right) , dt = int _ {0} ^ { infty} sin left (t ^ { 2} right) , dt = { frac { sqrt {2 pi}} {4}} = { sqrt { frac { pi} {8}}} přibližně 0,6267.}$

Obrys sektoru použitý k výpočtu limitů Fresnelových integrálů

Meze C(X) a S(X) jako argument X inklinuje k nekonečnu lze nalézt pomocí několika metod. Jeden z nich^[5] používá a konturový integrál funkce

${ displaystyle e ^ {- t ^ {2}}}$

kolem hranice sektor - region ve tvaru složité letadlo tvořeno pozitivem X- osa, osa prvního kvadrantu y = X s X ≥ 0a kruhový oblouk o poloměru R na počátek.

Tak jako R jde do nekonečna, integrál podél kruhového oblouku y₂ má sklony k 0

${ displaystyle left | int _ { gamma _ {2}} e ^ {- t ^ {2}} , dt right | leq int _ { gamma _ {2}} | e ^ { -t ^ {2}} | , dt = R int _ {0} ^ { frac { pi} {4}} e ^ {- R ^ {2} cos 2t} , dt leq R int _ {0} ^ { frac { pi} {4}} e ^ {- R ^ {2} left (1 - { frac {4} { pi}} t right)} , dt = { frac { pi} {4R}} vlevo (1-e ^ {- R ^ {2}} vpravo),}$

kde polární souřadnice z = Re^to byly použity a Jordánská nerovnost byla použita pro druhou nerovnost. Integrál podél skutečné osy y₁ inklinuje k polovině Gaussův integrál

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2}} , dt = { frac { sqrt { pi}} {2}}.}$

Všimněte si také, že protože integrand je celá funkce na komplexní rovině je jeho integrál podél celého obrysu nulový. Celkově musíme mít

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- t ^ {2}} , dt = int _ { gamma _ {3}} e ^ {- t ^ {2}} , dt,}$

kde y₃ označuje půlení prvního kvadrantu, jako na obrázku. Chcete-li vyhodnotit pravou stranu, parametrizujte půlení jako

${ displaystyle t = re ^ {i { frac { pi} {4}}} = { frac { sqrt {2}} {2}} (1 + i) r}$

kde r se pohybuje od 0 do +∞. Všimněte si, že čtverec tohoto výrazu je spravedlivý +ir². Proto střídání dává pravou stranu jako

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ir ^ {2}} { frac { sqrt {2}} {2}} (1 + i) , dr.}$

Použitím Eulerův vzorec vzít skutečné a imaginární části E^−ir2 dává to jako

${ displaystyle { begin {aligned} & int _ {0} ^ { infty} left ( cos left (r ^ {2} right) -i sin left (r ^ {2} vpravo) vpravo) { frac { sqrt {2}} {2}} (1 + i) , dr [6px] & quad = { frac { sqrt {2}} {2}} int _ {0} ^ { infty} left [ cos left (r ^ {2} right) + sin left (r ^ {2} right) + i left ( cos left (r ^ {2} right) - sin left (r ^ {2} right) right) right] , dr [6px] & quad = { frac { sqrt { pi }} {2}} + 0i, end {zarovnáno}}}$

kde jsme psali 0i zdůraznit, že hodnota původního Gaussova integrálu je zcela reálná s nulovou imaginární částí. Pronájem

${ displaystyle I_ {C} = int _ {0} ^ { infty} cos left (r ^ {2} right) , dr, quad I_ {S} = int _ {0} ^ { infty} sin left (r ^ {2} right) , dr}$

a potom rovnicí reálných a imaginárních částí vznikne následující systém dvou rovnic ve dvou neznámých Já_C a Já_S:

${ displaystyle { begin {aligned} I_ {C} + I_ {S} & = { sqrt { frac { pi} {2}}}, I_ {C} -I_ {S} & = 0 . end {zarovnáno}}}$

Řešení pro Já_C a Já_S dává požadovaný výsledek.

Zobecnění

Integrál

${ displaystyle int x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} , dx = int sum _ {l = 0} ^ { infty} { frac {i ^ {l} x ^ { m + nl}} {l!}} , dx = součet _ {l = 0} ^ { infty} { frac {i ^ {l}} {(m + nl + 1)}} { frac {x ^ {m + nl + 1}} {l!}}}$

je konfluentní hypergeometrická funkce a také neúplná funkce gama^[6]

${ displaystyle { begin {zarovnáno} int x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} , dx & = { frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} , _ {1} F_ {1} left ({ begin {array} {c} { frac {m + 1} {n}} 1 + { frac {m + 1} {n}} end { array}} mid ix ^ {n} right) [6px] & = { frac {1} {n}} i ^ { frac {m + 1} {n}} gamma left ({ frac {m + 1} {n}}, - ix ^ {n} right), end {zarovnáno}}}$

což se redukuje na Fresnelovy integrály, pokud se vezmou skutečné nebo imaginární části:

${ displaystyle int x ^ {m} sin (x ^ {n}) , dx = { frac {x ^ {m + n + 1}} {m + n + 1}} , _ {1 } F_ {2} left ({ begin {array} {c} { frac {1} {2}} + { frac {m + 1} {2n}} { frac {3} {2 }} + { frac {m + 1} {2n}}, { frac {3} {2}} end {array}} mid - { frac {x ^ {2n}} {4}} že jo)}$.

Hlavní termín v asymptotické expanzi je

${ displaystyle _ {1} F_ {1} left ({ begin {array} {c} { frac {m + 1} {n}} 1 + { frac {m + 1} {n} } end {array}} mid ix ^ {n} right) sim { frac {m + 1} {n}} , Gamma left ({ frac {m + 1} {n}} right) e ^ {i pi { frac {m + 1} {2n}}} x ^ {- m-1},}$

a proto

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} , dx = { frac {1} {n}} , Gamma vlevo ({ frac {m + 1} {n}} vpravo) e ^ {i pi { frac {m + 1} {2n}}}.}$

Pro m = 0, imaginární část této rovnice je zejména

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} sin left (x ^ {a} right) , dx = Gamma left (1 + { frac {1} {a}} right ) sin left ({ frac { pi} {2a}} right),}$

s levou stranou konvergující k A > 1 a pravá strana je analytickým rozšířením na celou rovinu méně tam, kde leží póly Γ(A⁻¹).

Kummerova transformace konfluentní hypergeometrické funkce je

${ displaystyle int x ^ {m} e ^ {ix ^ {n}} , dx = V_ {n, m} (x) e ^ {ix ^ {n}},}$

s

${ displaystyle V_ {n, m}: = { frac {x ^ {m + 1}} {m + 1}} , _ {1} F_ {1} left ({ begin {array} {c } 1 1 + { frac {m + 1} {n}} end {array}} mid -ix ^ {n} right).}$

Numerická aproximace

Pro výpočet s libovolnou přesností je výkonová řada vhodná pro malé argumenty. U velkých argumentů asymptotické expanze konvergují rychleji.^[7] Mohou být také použity metody s kontinuální frakcí.^[8]

Pro výpočet konkrétní přesnosti cíle byly vyvinuty další aproximace. Cody^[9] vyvinul sadu efektivních aproximací založených na racionálních funkcích, které poskytují relativní chyby až 2×10⁻¹⁹. A FORTRAN implementaci aproximace Cody, která zahrnuje hodnoty koeficientů potřebných pro implementaci v jiných jazycích, publikoval van Snyder.^[10] Boersma vyvinul aproximaci s chybou menší než 1.6×10⁻⁹.^[11]

Aplikace

Fresnelovy integrály byly původně použity při výpočtu intenzity elektromagnetického pole v prostředí, kde se světlo ohýbá kolem neprůhledných objektů.^[12] V poslední době se používají při konstrukci dálnic a železnic, konkrétně jejich přechodových zón zakřivení, viz křivka přechodu koleje.^[1] Jiné aplikace jsou horské dráhy^[12] nebo výpočet přechodů na a velodrom trať umožňující rychlý vjezd do zatáček a pozvolný výjezd.^{[Citace je zapotřebí ]}

Viz také

• Böhmerův integrál
• Fresnelova zóna
• Sledovat přechodovou křivku
• Eulerova spirála
• Zónová deska
• Dirichletův integrál

Poznámky

Reference

• Abramowitz, Milton; Stegun, Irene Ann, eds. (1983) [červen 1964]. „Kapitola 7“. Příručka matematických funkcí se vzorci, grafy a matematickými tabulkami. Řada aplikované matematiky. 55 (Devátý dotisk s dalšími opravami desátého originálu s opravami (prosinec 1972); první vydání.). Washington DC.; New York: United States Department of Commerce, National Bureau of Standards; Dover Publications. str. 297. ISBN  978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. PAN  0167642. LCCN  65-12253.
• Alazah, Mohammad (2012). Msgstr "Výpočet Fresnelových integrálů pomocí upravených pravidel lichoběžníku". Numerische Mathematik. 128 (4): 635–661. arXiv:1209.3451. Bibcode:2012arXiv1209.3451A. doi:10.1007 / s00211-014-0627-z. S2CID  13934493.
• Beatty, Thomas (2013). „Jak vyhodnotit Fresnelovy integrály“ (PDF). Matematika FGCU - léto 2013. Citováno 27. července 2013.
• Boersma, J. (1960). "Výpočet Fresnelových integrálů". Matematika. Comp. 14 (72): 380. doi:10.1090 / S0025-5718-1960-0121973-3. PAN  0121973.
• Bulirsch, Roland (1967). "Numerický výpočet sinusových, kosinových a Fresnelových integrálů". Číslo. Matematika. 9 (5): 380–385. doi:10.1007 / BF02162153. S2CID  121794086.
• Cody, William J. (1968). „Čebyševovy aproximace pro Fresnelovy integrály“ (PDF). Matematika. Comp. 22 (102): 450–453. doi:10.1090 / S0025-5718-68-99871-2.
• Hangelbroek, R. J. (1967). "Numerická aproximace Fresnelových integrálů pomocí Čebyševových polynomů". J. Eng. Matematika. 1 (1): 37–50. Bibcode:1967JEnMa ... 1 ... 37H. doi:10.1007 / BF01793638. S2CID  122271446.
• Mathar, R. J. (2012). "Sériové rozšíření zobecněných Fresnelových integrálů". arXiv:1211.3963 [matematika ].
• Nave, R. (2002). „Spirála Cornu“. (Používá π/2t² namísto t².)
• Press, W. H .; Teukolsky, S. A .; Vetterling, W. T .; Flannery, B. P. (2007). „Oddíl 6.8.1. Fresnelovy integrály“. Numerické recepty: Umění vědecké práce na počítači (3. vyd.). New York: Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-88068-8.
• Temme, N. M. (2010), „Chybové funkce, Dawsonova a Fresnelova integrace“, v Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (eds.), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-19225-5, PAN  2723248
• van Snyder, W. (1993). "Algoritmus 723: Fresnelovy integrály". ACM Trans. Matematika. Softw. 19 (4): 452–456. doi:10.1145/168173.168193. S2CID  12346795.
• Stewart, James (2008). Počáteční rané transcendenty. Cengage Learning EMEA. ISBN  978-0-495-38273-7.
• van Wijngaarden, A .; Scheen, W. L. (1949). Tabulka Fresnelových integrálů. Verhandl. Konink. Ned. Akad. Wetenschapen. 19.
• Zajta, Aurel J .; Goel, Sudhir K. (1989). "Parametrické integrační techniky". Matematický časopis. 62 (5): 318–322. doi:10.1080 / 0025570X.1989.11977462.

externí odkazy

• Cefe, zdarma / open-source C ++ / C kód pro výpočet Fresnelových integrálů mimo jiné speciální funkce. Použito v SciPy a ALGLIB.
• Balíček Faddeeva, zdarma / open-source C ++ / C kód pro výpočet komplexních chybových funkcí (ze kterých lze získat Fresnelovy integrály) s obaly pro Matlab, Python a další jazyky.
• „Fresnelovy integrály“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• „Tvary smyčky na horské dráze“. Archivovány od originál 23. září 2008. Citováno 2008-08-13.
• Weisstein, Eric W. „Fresnelovy integrály“. MathWorld.
• Weisstein, Eric W. "Spirála Cornu". MathWorld.