Binomický typ - Binomial type

Tento článek obsahuje a seznam doporučení, související čtení nebo externí odkazy, ale jeho zdroje zůstávají nejasné, protože mu chybí vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Březen 2013) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a polynomiální sekvence posloupnost polynomy indexovány nezápornými celými čísly ${ textstyle vlevo {0,1,2,3, ... vpravo }}$ ve kterém se index každého polynomu rovná jeho stupeň, se říká, že je z binomický typ pokud splňuje posloupnost identit

${ displaystyle p_ {n} (x + y) = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} , p_ {k} (x) , p_ {nk} (y). }$

Existuje mnoho takových sekvencí. Sada všech těchto sekvencí tvoří a Lež skupina v důsledku operace umbral složení, vysvětleno níže. Každá posloupnost binomického typu může být vyjádřena pomocí Polynomy zvonu. Každá posloupnost binomického typu je a Shefferova sekvence (ale většina Shefferových sekvencí není binomického typu). Polynomiální sekvence se pevně postavily na neurčitých představách 19. století o pupeční kalkul.

Příklady

• V důsledku této definice binomická věta lze říci, že posloupnost { Xⁿ : n = 0, 1, 2, ...} je binomického typu.
• Posloupnost „nižší faktoriály "je definováno

${ displaystyle (x) _ {n} = x (x-1) (x-2) cdot cdots cdot (x-n + 1).}$

(V teorii speciálních funkcí označuje tento stejný zápis horní faktoriály, ale toto současné použití je mezi univerzální kombinatorialisté.) Produktem se rozumí 1, pokud n = 0, protože v tom případě jde o prázdný produkt. Tato polynomiální sekvence je binomického typu.

• Podobně „horní faktoriály "

${ Displaystyle x ^ {(n)} = x (x + 1) (x + 2) cdot cdots cdot (x + n-1)}$

jsou polynomiální sekvence binomického typu.

• The Ábelovy polynomy

${ displaystyle p_ {n} (x) = x (x-an) ^ {n-1} ,}$

jsou polynomiální sekvence binomického typu.

• The Dotykové polynomy

${ displaystyle p_ {n} (x) = součet _ {k = 1} ^ {n} S (n, k) x ^ {k}}$

kde S(n, k) je počet oddílů sady velikosti n do k disjunktní neprázdné podmnožiny, je polynomiální sekvence binomického typu. Eric Temple Bell nazval je „exponenciálními polynomy“ a tento termín je také někdy vidět v literatuře. Koeficienty S(n, k ) jsou „Stirlingova čísla druhého druhu ". Tato posloupnost má zvláštní vztah s Poissonovo rozdělení: Pokud X je náhodná proměnná s Poissonovým rozdělením s očekávanou hodnotou λ pak E (Xⁿ) = str_n(λ). Zejména když λ = 1, vidíme, že nČtvrtým okamžikem Poissonova rozdělení s očekávanou hodnotou 1 je počet oddílů sady velikosti n, volal nth Bell číslo. Tato skutečnost o nten okamžik této konkrétní Poissonovy distribuce je "Dobinského vzorec ".

Charakterizace delta operátory

Je možné ukázat, že polynomiální sekvence { str_n(X) : n = 0, 1, 2, ...} je binomického typu právě tehdy, pokud platí všechny tři z následujících podmínek:

• The lineární transformace na prostoru polynomů v X který se vyznačuje

${ displaystyle p_ {n} (x) mapsto np_ {n-1} (x)}$

je ekvivalenční posun, a

• str₀(X) = 1 pro všechny X, a
• str_n(0) = 0 pro n > 0.

(Prohlášení, že tento operátor je ekvivalenční posun, je stejné jako tvrzení, že polynomiální posloupnost je a Shefferova sekvence; sada sekvencí binomického typu je správně zahrnuta do sady Shefferových sekvencí.)

Operátoři Delta

Tato lineární transformace je jasně a operátor delta tj. lineární transformace ekvivalenční varianty posunu v prostoru polynomů v X který snižuje stupně polynomů o 1. Nejviditelnější příklady delta operátorů jsou operátory rozdílu a diferenciace. Je možné ukázat, že každý delta operátor lze zapsat jako výkonová řada formuláře

${ displaystyle Q = součet _ {n = 1} ^ { infty} c_ {n} D ^ {n}}$

kde D je diferenciace (všimněte si, že spodní hranice součtu je 1). Každý operátor delta Q má jedinečnou sekvenci „základních polynomů“, tj. vyhovující polynomiální sekvenci

1. ${ displaystyle p_ {0} (x) = 1, ,}$
2. ${ displaystyle p_ {n} (0) = 0 quad { rm {pro }} n geq 1, { rm { a}}}$
3. ${ displaystyle Qp_ {n} (x) = np_ {n-1} (x). ,}$

Ukázalo se to v roce 1973 Rota, Kahaner a Odlyzko, že polynomiální sekvence je binomického typu právě tehdy, pokud jde o sekvenci základních polynomů nějakého delta operátoru. Proto tento odstavec představuje recept na generování tolika polynomiálních sekvencí binomického typu, jak si jeden může přát.

Charakterizace Bellovými polynomy

Pro libovolnou sekvenci A₁, A₂, A₃, ... skalárů, pojďme

${ displaystyle p_ {n} (x) = součet _ {k = 1} ^ {n} B_ {n, k} (a_ {1}, tečky, a_ {n-k + 1}) x ^ { k}}$

kde B_n,k(A₁, ..., A_n−k+1) je Polynom zvonů. Pak je tato polynomiální sekvence binomického typu. Všimněte si, že pro každého n ≥ 1,

${ displaystyle p_ {n} '(0) = a_ {n}. ,}$

Zde je hlavní výsledek této části:

Teorém: Všechny polynomiální sekvence binomického typu jsou této formy.

Výsledek v Mullin a Rota, opakovaný v Rota, Kahaner a Odlyzko (viz Reference níže) uvádí, že každá polynomiální sekvence {str_n(X) }_n binomického typu je určen posloupností {str_n′(0) }_n, ale tyto zdroje nezmiňují Bellovy polynomy.

Tato posloupnost skalárů souvisí také s delta operátorem. Nechat

${ displaystyle P (t) = součet _ {n = 1} ^ { infty} {a_ {n} nad n!} t ^ {n}.}$

Pak

${ displaystyle P ^ {- 1} left ({d over dx} right) ,}$

je delta operátor této sekvence.

Charakterizace konvoluční identitou

Pro sekvence A_n, b_n, n = 0, 1, 2, ..., definujte druh konvoluce podle

${ displaystyle (a { mathbin { diamondsuit}} b) _ {n} = součet _ {j = 0} ^ {n} {n zvolit j} a_ {j} b_ {n-j}.}$

Nechat ${ displaystyle a_ {n} ^ {k diamondsuit} ,}$ být nth termín posloupnosti

${ displaystyle underbrace {a { mathbin { diamondsuit}} cdots { mathbin { diamondsuit}} a} _ {k { text {faktory}}}. ,}$

Pak pro jakoukoli sekvenci A_i, i = 0, 1, 2, ..., s A₀ = 0, posloupnost definovaná str₀(X) = 1 a

${ displaystyle p_ {n} (x) = součet _ {k = 1} ^ {n} {a_ {n} ^ {k diamondsuit} x ^ {k} nad k!} ,}$

pro n ≥ 1, je binomického typu a každá posloupnost binomického typu má tuto formu.

Charakterizace generováním funkcí

Polynomiální sekvence binomického typu jsou přesně ty, jejichž generující funkce jsou formální (nemusí nutně konvergentní) výkonová řada formuláře

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} {p_ {n} (x) nad n!} t ^ {n} = e ^ {xf (t)}}$

kde F(t) je formální mocenská řada, jejíž konstantní termín je nula a jehož termín prvního stupně není nula. To lze prokázat použitím verze výkonové řady Vzorec Faà di Bruno že

${ displaystyle f (t) = součet _ {n = 1} ^ { infty} {p_ {n} , '(0) over n!} t ^ {n}.}$

Operátor delta sekvence je F⁻¹(D), aby

${ displaystyle f ^ {- 1} (D) p_ {n} (x) = np_ {n-1} (x).}$

Způsob, jak přemýšlet o těchto generujících funkcích

Koeficienty v součinu dvou formálních mocenských řad

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} {a_ {n} přes n!} t ^ {n}}$

a

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} {b_ {n} přes n!} t ^ {n}}$

jsou

${ displaystyle c_ {n} = součet _ {k = 0} ^ {n} {n zvolit k} a_ {k} b_ {n-k}}$

(viz také Cauchyho produkt ). Pokud na to myslíme X jako parametr indexující rodinu takových výkonových řad pak binomická identita ve skutečnosti říká, že výkonová řada indexovaná pomocí X + y je produktem indexovaných podle X a tím y. Tak X je argument funkce, která mapuje součty na produkty: an exponenciální funkce

${ displaystyle g (t) ^ {x} = e ^ {xf (t)}}$

kde F(t) má formu uvedenou výše.

Umrální složení polynomiálních sekvencí

Sada všech polynomiálních sekvencí binomického typu je a skupina ve kterém je skupinová operace „umbral composition“ polynomiálních sekvencí. Tato operace je definována následovně. Předpokládejme { str_n(X) : n = 0, 1, 2, 3, ...} a { q_n(X) : n = 0, 1, 2, 3, ...} jsou polynomiální sekvence a

${ displaystyle p_ {n} (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} a_ {n, k} , x ^ {k}.}$

Pak umbral složení str Ó q je polynomiální sekvence, jejíž nth termín je

${ displaystyle (p_ {n} circ q) (x) = součet _ {k = 0} ^ {n} a_ {n, k} , q_ {k} (x)}$

(dolní index n se objeví v str_n, protože toto je n termín této sekvence, ale ne v q, protože to odkazuje na sekvenci jako celek, spíše než na jeden z jejích termínů).

S delta operátorem definovaným výkonovou řadou v D jak je uvedeno výše, přirozenou bijekcí mezi delta operátory a polynomiálními sekvencemi binomického typu, které jsou také definovány výše, je skupinový izomorfismus, ve kterém je skupinová operace na mocninové řadě formálním složením formální mocninné řady.

Kumulanty a okamžiky

Posloupnost κ_n koeficientů prvního stupně v polynomiální posloupnosti binomického typu lze nazvat kumulanty polynomiální sekvence. Je možné ukázat, že celá polynomiální sekvence binomického typu je určena jeho kumulanty, způsobem popsaným v článku s názvem kumulant. Tím pádem

${ displaystyle p_ {n} '(0) = kappa _ {n} = ,}$ the nth cumulant

a

${ displaystyle p_ {n} (1) = mu _ {n} '= ,}$ the nten okamžik.

Jedná se o „formální“ kumulanty a „formální“ momenty, na rozdíl od kumulantů a rozdělení pravděpodobnosti a momenty rozdělení pravděpodobnosti.

Nechat

${ displaystyle f (t) = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac { kappa _ {n}} {n!}} t ^ {n}}$

být (formální) funkcí generující kumulant. Pak

${ displaystyle f ^ {- 1} (D) ,}$

je delta operátor spojený s polynomiální posloupností, tj. máme

${ displaystyle f ^ {- 1} (D) p_ {n} (x) = np_ {n-1} (x). ,}$

Aplikace

Koncept binomického typu má aplikace v kombinatorika, pravděpodobnost, statistika a řadu dalších oblastí.

Viz také

• Seznam faktoriálních a binomických témat
• Binomial-QMF (Vlnkové filtry Daubechies)

Reference

• G.-C. Rota, D. Kahaner a A. Odlyzko „Kalkul konečného operátora“ Journal of Mathematical Analysis and its Applications, sv. 42, č. 3. června 1973. Přetištěno ve knize se stejným názvem, Academic Press, New York, 1975.
• R. Mullin a G.-C. Rota, "Na základech kombinatorické teorie III: Teorie binomického výčtu", v Teorie grafů a její aplikace, editoval Bernard Harris, Academic Press, New York, 1970.

Jak název napovídá, druhý z výše uvedených je výslovně o aplikacích pro kombinační výčet.

• di Bucchianico, Alessandro. Pravděpodobnostní a analytické aspekty pupečníku, Amsterdam, CWI, 1997.
• Weisstein, Eric W. "Posloupnost binomického typu". MathWorld.