Druhá odmocnina matice 2 x 2 - Square root of a 2 by 2 matrix

A druhá odmocnina matice 2 × 2 M je další 2 × 2 matice R takhle M = R², kde R² znamená maticový produkt z R sám se sebou. Obecně může existovat nula, dva, čtyři nebo dokonce nekonečno druhá odmocnina matice. V mnoha případech taková matice R lze získat explicitním vzorcem.

Druhé odmocniny, které nejsou maticí všech nul, přicházejí v párech: pokud R je druhá odmocnina z M, pak -R je také druhá odmocnina z M, protože (-R)(−R) = (−1)(−1)(RR) = R² = M. Matice 2 × 2 se dvěma odlišnými nenulovými hodnotami vlastní čísla má čtyři odmocniny. A pozitivně definitivní matice má právě jednu kladnou a určitou odmocninu.

Obecný vzorec

Následuje obecný vzorec, který platí pro téměř jakoukoli matici 2 × 2.^[1][2] Nechť je daná matice

${ displaystyle M = { begin {pmatrix} A&B C&D end {pmatrix}},}$

kde A, B, C, a D mohou být reálná nebo komplexní čísla. Kromě toho τ = A + D být stopa z M, a δ = INZERÁT − před naším letopočtem být jeho určující. Nechat s být takový, že s² = δ, a t být takový, že t² = τ + 2s. To znamená

${ displaystyle s = pm { sqrt { delta}}, qquad t = pm { sqrt { tau + 2s}}.}$

Pak, pokud t ≠ 0, druhá odmocnina z M je

${ displaystyle R = { frac {1} {t}} { begin {pmatrix} A + s & B C & D + s end {pmatrix}} = { frac {1} {t}} vlevo (M + sI right).}$

Náměstí R je

${ displaystyle { begin {aligned} R ^ {2} & = { frac {1} {t ^ {2}}} { begin {pmatrix} A ^ {2} + BC + 2sA + s ^ {2 } & AB + BD + 2sB CA + DC + 2sC & CB + D ^ {2} + 2sD + s ^ {2} end {pmatrix}} [1ex] & = { frac {1} {t ^ { 2}}} { begin {pmatrix} A ^ {2} + BC + 2sA + AD-BC & AB + BD + 2sB AC + CD + 2sC & BC + D ^ {2} + 2sD + AD-BC end {pmatrix }} [1ex] & = { frac {1} {A + D + 2s}} { begin {pmatrix} A (A + D + 2s) & B (A + D + 2s) C (A + D + 2 s) & D (A + D + 2 s) end {pmatrix}} = M. end {zarovnáno}}}$

Všimněte si, že R může mít složité položky, i když M je skutečná matice; to bude případ, zejména pokud je to určující δ je negativní.

Obecný případ tohoto vzorce je, když δ je nenulová a τ² ≠ 4δ, v jakém případě s je nenulová a t je nenulová pro každou volbu znaménka s. Potom výše uvedený vzorec poskytne čtyři odlišné druhé odmocniny R, jeden pro každou volbu značek pro s a t.

Zvláštní případy vzorce

Pokud je to určující δ je nula, ale stopa τ je nenulová, obecný vzorec výše dá pouze dvě odlišná řešení, odpovídající dvěma znakům t. A to,

${ displaystyle R = pm { frac {1} {t}} { begin {pmatrix} A&B C&D end {pmatrix}} = pm { frac {1} {t}} M,}$

kde t je jakákoli druhá odmocnina stopy τ.

Vzorec také poskytuje pouze dvě odlišná řešení, pokud δ je nenulová a τ² = 4δ (v případě duplikátu vlastní čísla ), v takovém případě jedna z možností pro s bude jmenovatelem t být nula. V takovém případě jsou to dva kořeny

${ displaystyle R = pm { frac {1} {t}} { begin {pmatrix} A + s & B C & D + s end {pmatrix}} = pm { frac {1} {t}} vlevo (M + sI vpravo),}$

kde s je druhá odmocnina z δ to dělá τ − 2s nenulové a t je libovolná druhá odmocnina z τ − 2s.

Výše uvedený vzorec selže úplně, pokud δ a τ jsou oba nula; to je, pokud D = −A, a A² = −před naším letopočtem, takže stopa i determinant matice jsou nulové. V tomto případě, pokud M je nulová matice (s A = B = C = D = 0), potom je nulová matice také druhou odmocninou z M, stejně jako jakákoli matice

${ displaystyle R = { begin {pmatrix} 0 & 0 c & 0 end {pmatrix}} quad { text {and}} quad R = { begin {pmatrix} 0 & b 0 & 0 end {pmatrix}} ,}$

kde b a C jsou libovolné skutečné nebo komplexní hodnoty. v opačném případě M nemá druhou odmocninu.

Vzorce pro speciální matice

Idempotentní matice

Li M je idempotentní matice, znamenající, že MM = M, pak pokud to není matice identity, její determinant je nula a její stopa se rovná jeho hodnost, což (kromě nulové matice) je 1. Pak má výše uvedený vzorec s = 0 a τ = 1, dávat M a -M jako dvě odmocniny z M.

Exponenciální matice

Pokud je matice M lze vyjádřit jako skutečný násobek exponentu nějaké matice A, ${ displaystyle M = r exp (A)}$, pak jsou dvě z jeho odmocnin ${ displaystyle pm { sqrt {r}} exp left ({ tfrac {1} {2}} A right)}$. V tomto případě je druhá odmocnina skutečná a lze ji interpretovat jako druhá odmocnina a typ komplexního čísla.^[3]

Diagonální matice

Li M je úhlopříčka (tj. B = C = 0), lze použít zjednodušený vzorec

${ displaystyle R = { begin {pmatrix} a & 0 0 & d end {pmatrix}},}$

kde A = ±√A, a d = ±√D. To, pro různé volby znaménka, dává čtyři, dvě nebo jednu odlišnou matici, pokud žádná z nich, pouze jednu z nebo obě A a D jsou nula.

Matice identity

Protože má duplikát vlastní čísla, 2 × 2 matice identity ${ displaystyle left ({ begin {smallmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {smallmatrix}} right)}$ má nekonečně mnoho symetrický racionální odmocniny dané

${ displaystyle { frac {1} {t}} { begin {pmatrix} s & r r & -s end {pmatrix}}, { frac {1} {t}} { begin {pmatrix} s & -r - r & -s end {pmatrix}}, { frac {1} {t}} { begin {pmatrix} -s & r r & s end {pmatrix}}, { frac {1 } {t}} { begin {pmatrix} -s & -r - r & s end {pmatrix}}, { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & pm 1 end {pmatrix}}, { text {and}} { begin {pmatrix} -1 & 0 0 & pm 1 end {pmatrix}},}$

kde (r, s, t) je jakýkoli Pytagorejský trojnásobek —To znamená libovolná sada kladných celých čísel taková ${ displaystyle r ^ {2} + s ^ {2} = t ^ {2}.}$^[4] Kromě toho jakékoli jiné než celé číslo, iracionální nebo komplexní hodnoty r, s, t uspokojující ${ displaystyle r ^ {2} + s ^ {2} = t ^ {2}}$ dát matice druhé odmocniny. Matice identity má také nekonečně mnoho nesymetrických odmocnin.

Matice s jednou nulou mimo diagonálu

Li B je nula, ale A a D nejsou oba nula, lze použít

${ displaystyle R = { begin {pmatrix} a & 0 { frac {C} {a + d}} & d end {pmatrix}}.}$

Tento vzorec poskytne dvě řešení, pokud A = D nebo A = 0 nebo D = 0 a jinak čtyři. Podobný vzorec lze použít, když C je nula, ale A a D nejsou oba nula.

Reference