Boussinesqova aproximace (vodní vlny) - Boussinesq approximation (water waves)

Simulace periodických vln nad vodou hejno s modelem typu Boussinesq. Vlny se šíří přes eliptický podvodní hejn na rovině pláže. Tento příklad kombinuje několik účinků vlny a mělká voda, počítaje v to lom světla, difrakce, hejno a slabé nelinearita.

v dynamika tekutin, Boussinesqova aproximace pro vodní vlny je přiblížení platí pro slabě nelineární a docela dlouhé vlny. Aproximace je pojmenována po Joseph Boussinesq, který je nejprve odvodil v reakci na pozorování od John Scott Russell z vlna překladu (také známý jako osamělá vlna nebo soliton ). Papír Boussinesqa z roku 1872 zavádí rovnice nyní známé jako Boussinesqovy rovnice.^[1]

Boussinesqova aproximace pro vodní vlny bere v úvahu vertikální strukturu horizontální a vertikální rychlost proudění. Výsledkem je nelineární parciální diferenciální rovnice, volala Rovnice typu Boussinesq, které obsahují frekvenční rozptyl (jako protiklad k rovnice mělké vody, které nejsou frekvenčně disperzní). v pobřežní inženýrství, Rovnice typu Boussinesq se často používají v počítačové modely pro simulace z vodní vlny v mělký moře a přístavy.

Zatímco Boussinesqova aproximace je použitelná pro poměrně dlouhé vlny - to znamená, když vlnová délka je velká ve srovnání s hloubkou vody - Stokesova expanze je vhodnější pro krátké vlny (pokud je vlnová délka stejného řádu jako hloubka vody nebo kratší).

Boussinesqova aproximace

Periodické vlny v aproximaci Boussinesq, zobrazené ve svislém směru průřez v šíření vln směr. Všimněte si bytu žlaby a ostré hřebeny, kvůli nelineárnosti vln. Tento případ (nakreslen měřítko ) ukazuje vlnu s vlnová délka rovnající se 39,1m, výška vlny je 1,8 m (tj. rozdíl mezi výškou hřebenu a koryta) a střední hloubka vody je 5 m, zatímco gravitační zrychlení je 9,81 m / s².

Základní myšlenkou v Boussinesqově aproximaci je eliminace vertikály koordinovat z rovnic toku, při zachování některých vlivů vertikální struktury toku pod vodní vlny. To je užitečné, protože vlny se šíří ve vodorovné rovině a ve svislém směru mají odlišné (ne vlnové) chování. Často, stejně jako v případě Boussinesqa, jde především o šíření vln.

Toto odstranění svislé souřadnice bylo nejprve provedeno Joseph Boussinesq v roce 1871 postavit přibližné řešení pro solitérní vlnu (nebo vlna překladu ). Následně v roce 1872 Boussinesq odvodil rovnice známé dnes jako Boussinesqovy rovnice.

Kroky v Boussinesqově aproximaci jsou:

• A Taylor expanze je vyroben z vodorovné a svislé rychlost proudění (nebo rychlostní potenciál ) kolem jisté nadmořská výška,
• tento Taylor expanze je zkrácen na a konečný počet termínů,
• zachování hmoty (viz rovnice spojitosti ) pro nestlačitelný tok a nula-kučera podmínka pro irrotační tok se používají k nahrazení svislého částečné derivace množství v Taylor expanze s vodorovnou částečné derivace.

Poté se použije Boussinesqova aproximace na zbývající rovnice toku, aby se eliminovala závislost na svislé souřadnici. parciální diferenciální rovnice jsou z hlediska funkce horizontály souřadnice (a čas ).

Jako příklad zvažte potenciální tok přes vodorovnou postel v (x, z) letadlo, s X horizontální a z vertikální koordinovat. Postel se nachází na z = −h, kde h je znamenat hloubka vody. A Taylor expanze je vyroben z rychlostní potenciál φ (x, z, t) kolem úrovně postele z = −h:^[2]

${displaystyle {egin {aligned} varphi, =, & varphi _ {b}, +, (z + h), vlevo [{frac {částečné varphi} {částečné z}} vpravo] _ {z = -h}, +, {frac {1} {2}}, (z + h) ^ {2}, vlevo [{frac {částečné ^ {2} varphi} {částečné z ^ {2}}} vpravo] _ {z = -h} , & +, {frac {1} {6}}, (z + h) ^ {3}, vlevo [{frac {částečné ^ {3} varphi} {částečné z ^ {3}}} vpravo] _ { z = -h}, +, {frac {1} {24}}, (z + h) ^ {4}, vlevo [{frac {částečné ^ {4} varphi} {částečné z ^ {4}}} vpravo ] _ {z = -h}, +, cdots, konec {zarovnáno}}}$

kde φ_b(x, t) je rychlostní potenciál v loži. Vyvolávání Laplaceova rovnice pro φ, jak je platné pro nestlačitelný tok, dává:

${displaystyle {egin {aligned} varphi, =, & left {, varphi _ {b}, -, {frac {1} {2}}, (z + h) ^ {2}, {frac {částečné ^ {2} varphi _ {b}} {částečné x ^ {2}}}, +, {frac {1} {24}}, (z + h) ^ {4}, {frac {částečné ^ {4} varphi _ {b }} {částečné x ^ {4}}}, +, cdots, ight}, & +, vlevo {, (z + h), vlevo [{frac {částečné varphi} {částečné z}} vpravo] _ {z = -h}, -, {frac {1} {6}}, (z + h) ^ {3}, {frac {částečné ^ {2}} {částečné x ^ {2}}} vlevo [{frac { parciální varphi} {parciální z}} ight] _ {z = -h}, +, cdots, ight} =, a left {, varphi _ {b}, -, {frac {1} {2}}, (z + h) ^ {2}, {frac {částečné ^ {2} varphi _ {b}} {částečné x ^ {2}}}, +, {frac {1} {24}}, (z + h) ^ {4}, {frac {částečné ^ {4} varphi _ {b}} {částečné x ^ {4}}}, +, cdots, ight}, konec {zarovnáno}}}$

od vertikální rychlosti ∂φ / ∂z je nula na - nepropustném - vodorovném loži z = −h. Tato řada může být následně zkrácena na konečný počet termínů.

Původní Boussinesqovy rovnice

Derivace

Pro vodní vlny na nestlačitelná tekutina a irrotační tok v (X,z) letadlo, okrajové podmínky na volný povrch nadmořská výška z = η(X,t) jsou:^[3]

${displaystyle {egin {aligned} {frac {částečné eta} {částečné t}}, & +, u, {frac {částečné eta} {částečné x}}, -, w, =, 0 {frac {částečné varphi} {partial t}}, & +, {frac {1} {2}}, left (u ^ {2} + w ^ {2} ight), +, g, eta, =, 0, end {aligned}} }$

kde:

u je horizontální rychlost proudění součástka: u = ∂φ / ∂X,

w je vertikální rychlost proudění součástka: w = ∂φ / ∂z,

G je akcelerace podle gravitace.

Nyní Boussinesqova aproximace pro rychlostní potenciál φ, jak je uvedeno výše, se v nich aplikuje okrajové podmínky. Dále ve výsledných rovnicích pouze lineární a kvadratický podmínky s ohledem na η a u_b jsou zachovány (s u_b = ∂φ_b / ∂X horizontální rychlost na lůžku z = −h). The krychlový a podmínky vyššího řádu se považují za zanedbatelné. Potom následující parciální diferenciální rovnice jsou získány:

množina A - Boussinesq (1872), rovnice (25)

${displaystyle {egin {aligned} {frac {částečné eta} {částečné t}}, & +, {frac {částečné} {částečné x}}, vlevo [vlevo (h + eta ight), u_ {b} vpravo], =, {frac {1} {6}}, h ^ {3}, {frac {částečné ^ {3} u_ {b}} {částečné x ^ {3}}}, {frac {částečné u_ {b} } {částečné t}}, & +, u_ {b}, {frac {částečné u_ {b}} {částečné x}}, +, g, {frac {částečné eta} {částečné x}}, =, {frac {1} {2}}, h ^ {2}, {frac {částečné ^ {3} u_ {b}} {částečné t, částečné x ^ {2}}}. Konec {zarovnáno}}}$

Tato sada rovnic byla odvozena pro ploché vodorovné lože, tj. střední hloubka h je konstanta nezávislá na poloze X. Když jsou pravé strany výše uvedených rovnic nastaveny na nulu, redukují se na rovnice mělké vody.

Za určitých dalších aproximací, ale se stejným řádem přesnosti, výše uvedená sada A lze zredukovat na jeden parciální diferenciální rovnice pro volný povrch nadmořská výška η:

množina B - Boussinesq (1872), rovnice (26)

${displaystyle {frac {částečné ^ {2} eta} {částečné t ^ {2}}}, -, gh, {frac {částečné ^ {2} eta} {částečné x ^ {2}}}, -, gh, {frac {částečné ^ {2}} {částečné x ^ {2}}} vlevo ({frac {3} {2}}, {frac {eta ^ {2}} {h}}, +, {frac {1 } {3}}, h ^ {2}, {frac {částečné ^ {2} eta} {částečné x ^ {2}}} vpravo), =, 0.}$

Z výrazů v závorkách lze význam nelinearity rovnice vyjádřit pomocí Ursell číslo.V bezrozměrné množství pomocí hloubky vody h a gravitační zrychlení G pro nedimenzionalizaci tato rovnice zní po normalizace:^[4]

${displaystyle {frac {částečné ^ {2} psi} {částečné au ^ {2}}}, -, {frac {částečné ^ {2} psi} {částečné xi ^ {2}}}, -, {frac {částečné ^ {2}} {částečné xi ^ {2}}} vlevo (, 3, psi ^ {2}, +, {frac {částečné ^ {2} psi} {částečné xi ^ {2}}}, včas), =, 0,}$

s:

${displaystyle psi, =, {frac {1} {2}}, {frac {eta} {h}}}$	: bezrozměrná výška povrchu,
${displaystyle au, =, {sqrt {3}}, t, {sqrt {frac {g} {h}}}}$	: bezrozměrný čas a
${displaystyle xi, =, {sqrt {3}}, {frac {x} {h}}}$	: bezrozměrná vodorovná poloha.

Rychlost lineární fáze na druhou C²/(gh) jako funkce relativního čísla vlny kh.
A = Boussinesq (1872), rovnice (25),
B = Boussinesq (1872), rovnice (26),
C = teorie úplných lineárních vln, viz disperze (vodní vlny)

Lineární frekvenční disperze

Vodní vlny různých vlnové délky cestovat s různými fázové rychlosti, fenomén známý jako frekvenční rozptyl. Pro případ infinitezimální mávat amplituda, terminologie je lineární frekvenční disperze. Charakteristiky frekvenční disperze rovnice typu Boussinesq lze použít k určení rozsahu vlnových délek, pro které je platný přiblížení.

Lineární frekvenční rozptyl charakteristiky pro výše uvedenou sadu A rovnic jsou:^[5]

${displaystyle c ^ {2}, =; gh, {frac {1, +, {frac {1} {6}}, k ^ {2} h ^ {2}} {1, +, {frac {1} {2}}, k ^ {2} h ^ {2}}},}$

s:

• C the rychlost fáze,
• k the číslo vlny (k = 2π / λ, s λ the vlnová délka ).

The relativní chyba ve fázové rychlosti C pro set Ave srovnání s lineární teorie pro vodní vlny, je pro relativní číslo vlny méně než 4% kh <½ π. Takže dovnitř inženýrství aplikace, set A platí pro vlnové délky λ větší než 4násobek hloubky vody h.

Lineární frekvenční rozptyl charakteristiky rovnice B jsou:^[5]

${displaystyle c ^ {2}, =, gh, left (1, -, {frac {1} {3}}, k ^ {2} h ^ {2} ight).}$

Relativní chyba fázové rychlosti pro rovnici B je méně než 4% pro kh <2π / 7, ekvivalentní vlnovým délkám λ delší než 7násobek hloubky vody h, volala docela dlouhé vlny.^[6]

Pro krátké vlny s k² h² > 3 rovnice B stanou se fyzicky nesmyslnými, protože už nejsou skutečný řešení z rychlost fáze. Původní sada dvou parciální diferenciální rovnice (Boussinesq, 1872, rovnice 25, viz množina A výše) tento nedostatek nemá.

The rovnice mělké vody mají relativní chybu ve fázové rychlosti menší než 4% pro vlnové délky λ více než 13násobek hloubky vody h.

Rovnice a rozšíření typu Boussinesq

Existuje ohromné ​​množství matematické modely které se označují jako Boussinesqovy rovnice. To může snadno vést ke zmatku, protože se na ně často volně odkazuje jako the Boussinesqovy rovnice, i když ve skutečnosti se uvažuje o jejich variantě. Je tedy vhodnější jim zavolat Rovnice typu Boussinesq. Přesně řečeno, the Boussinesqovy rovnice je výše zmíněná množina B, protože se používá při analýze ve zbytku jeho článku z roku 1872.

Některé směry, do kterých byly rozšířeny Boussinesqovy rovnice, jsou:

• různé batymetrie,
• vylepšeno frekvenční rozptyl,
• vylepšeno nelineární chování,
• dělat Taylor expanze kolem různých svislých výšky,
• rozdělení fluidní domény do vrstev a aplikace Boussinesqovy aproximace v každé vrstvě zvlášť,
• zahrnutí lámání vln,
• zahrnutí povrchové napětí,
• rozšíření na vnitřní vlny na rozhraní mezi tekutými doménami různých hustota hmoty,
• odvození od a variační princip.

Další aproximace pro šíření jednosměrných vln

I když Boussinesqovy rovnice umožňují vlnění pohybující se současně v opačných směrech, je často výhodné uvažovat pouze o vlnách pohybujících se jedním směrem. Za malých dalších předpokladů se Boussinesqovy rovnice redukují na:

• the Korteweg – de Vriesova rovnice pro šíření vln v jedné horizontále dimenze,
• the Kadomtsev – Petviashviliho rovnice pro (téměř jednosměrný) šíření vln ve dvou vodorovných rozměry,
• the nelineární Schrödingerova rovnice (Rovnice NLS) pro amplituda s komplexní hodnotou z úzkopásmový vlny (pomalu modulovaný vlny).

Kromě řešení solitérních vln má rovnice Korteweg – de Vries také periodická a přesná řešení, tzv cnoidální vlny. Toto jsou přibližná řešení Boussinesqovy rovnice.

Numerické modely

Simulace s vlnovým modelem typu Boussinesq blízkých vln cestujících ke vchodu do přístavu. Simulace probíhá s modulem BOUSS-2D z SMS.

Rychlejší než simulace v reálném čase s modulem Boussinesq v Celeris, který ukazuje lámání vln a lom poblíž pláže. Model poskytuje interaktivní prostředí.

Pro simulaci vlnového pohybu blízko pobřeží a přístavů existují numerické modely - komerční i akademické - využívající rovnice typu Boussinesq. Některé komerční příklady jsou vlnové moduly typu Boussinesq MIKE 21 a SMS. Některé z bezplatných modelů Boussinesq jsou Celeris,^[7] COULWAVE,^[8] a ZÁBAVA.^[9] Většina numerických modelů využívá konečný rozdíl, konečný objem nebo konečný element techniky pro diskretizace modelových rovnic. Vědecké recenze a srovnání několika rovnic typu Boussinesq, jejich numerická aproximace a výkon jsou např. Kirby (2003), Dingemans (1997, Část 2, kapitola 5) a Hamm, Madsen & Peregrine (1993).

Poznámky

Reference

• Boussinesq, J. (1871). „Théorie de l'intumescence liquide, applelée onde solitaire ou de translation, se propageant dans un canal rectangulaire“. Komptuje Rendus de l'Académie des Sciences. 72: 755–759.
• Boussinesq, J. (1872). „Théorie des ondes et des remous qui se propagant le long d'un canal rectangulaire horizontal, en communiquant au liquide contenu dans ce canal des vitesses sensiblement pareilles de la surface au fond“. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Deuxième Série. 17: 55–108.
• Dingemans, M.W. (1997). Šíření vln přes nerovné dno. Advanced Series on Ocean Engineering 13. World Scientific, Singapur. ISBN  978-981-02-0427-3. Archivovány od originál dne 2012-02-08. Citováno 2008-01-21.CS1 maint: ref = harv (odkaz) Viz část 2, kapitola 5.
• Hamm, L .; Madsen, P.A .; Peregrine, D.H. (1993). Msgstr "Transformace vln v zóně nearshore: recenze". Pobřežní inženýrství. 21 (1–3): 5–39. doi:10.1016/0378-3839(93)90044-9.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Johnson, R.S. (1997). Moderní úvod do matematické teorie vodních vln. Cambridge texty v aplikované matematice. 19. Cambridge University Press. ISBN  0-521-59832-X.
• Kirby, J.T. (2003). "Boussinesq modely a aplikace pro šíření vln na blízkém pobřeží, procesy surfzone a vlnami indukované proudy". V Lakhanu, V.C. (vyd.). Pokroky v pobřežním modelování. Elsevierova oceánografická série. 67. Elsevier. s. 1–41. ISBN  0-444-51149-0.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Peregrine, D.H. (1967). "Dlouhé vlny na pláži". Journal of Fluid Mechanics. 27 (4): 815–827. Bibcode:1967JFM .... 27..815P. doi:10.1017 / S0022112067002605.
• Peregrine, D.H. (1972). "Rovnice pro vodní vlny a aproximace za nimi". V Meyer, R.E. (vyd.). Vlny na plážích a výsledný transport sedimentů. Akademický tisk. str. 95–122. ISBN  0-12-493250-9.