Rovnice mírného sklonu - Mild-slope equation

v dynamika tekutin, rovnice mírného sklonu popisuje kombinované účinky difrakce a lom světla pro vodní vlny množí se batymetrie a kvůli bočním hranicím - jako vlnolamy a pobřežní čáry. Jedná se o přibližný model, který odvozuje svůj název od původně vyvinutého pro šíření vln na mírných svazích mořského dna. Rovnice mírného sklonu se často používá v pobřežní inženýrství vypočítat změny vlnového pole blízko přístavy a pobřeží.
Rovnice mírného sklonu modeluje šíření a transformaci vodních vln, které procházejí vodami různé hloubky a interagují s bočními hranicemi, jako je útesy, pláže, mořské stěny a vlnolamy. Ve výsledku popisuje variace vln amplituda nebo ekvivalentně výška vlny. Z amplitudy vln, amplitudy rychlost proudění lze také vypočítat oscilace pod vodní hladinou. Tyto veličiny - amplituda vln a amplituda rychlosti proudění - lze následně použít ke stanovení vlnových účinků na pobřežní a pobřežní struktury, lodě a další plovoucí objekty, transport sedimentů a výsledný batymetrický změny mořského dna a pobřeží, střední toková pole a hromadný přenos rozpuštěných a plovoucích materiálů. Nejčastěji je rovnice mírného sklonu řešena počítačem pomocí metod z numerická analýza.
První formu rovnice mírného sklonu vyvinul Eckart v roce 1952 a vylepšenou verzi - rovnici mírného sklonu v její klasické formulaci - odvodil nezávisle Juri Berkhoff v roce 1972.[1][2][3] Poté bylo navrženo mnoho upravených a rozšířených forem, které zahrnují účinky například: interakce vlna-proud, mávat nelinearita strmější svahy mořského dna, tření postele a lámání vln. Taky parabolický často se používají aproximace rovnice mírného sklonu, aby se snížily výpočetní náklady.
V případě konstantní hloubky se rovnice mírného sklonu redukuje na Helmholtzova rovnice pro vlnovou difrakci.
Formulace pro monochromatický vlnový pohyb
Pro jednobarevný vlny podle lineární teorie - s volný povrch nadmořská výška uvedená jako a vlny šířící se na tekuté vrstvě znamenat hloubka vody —Rovnice mírného sklonu je:[4]
kde:
- je amplituda s komplexní hodnotou výšky volného povrchu
- je vodorovná poloha;
- je úhlová frekvence monochromatického vlnového pohybu;
- je imaginární jednotka;
- znamená brát skutečná část množství mezi závorkami;
- je horizontální spád operátor;
- je divergence operátor;
- je vlnové číslo;
- je rychlost fáze vln a
- je rychlost skupiny vln.
Rychlost fáze a skupiny závisí na disperzní vztah, a jsou odvozeny od Teorie vzdušných vln tak jako:[5]
kde
- je Gravitace Země a
- je hyperbolická tečna.
Pro danou úhlovou frekvenci vlnové číslo je třeba vyřešit z disperzní rovnice, která spojuje tyto dvě veličiny s hloubkou vody .
Transformace na nehomogenní Helmholtzovu rovnici
Prostřednictvím transformace
rovnici mírného sklonu lze seslat ve formě nehomogenní Helmholtzova rovnice:[4][6]
kde je Operátor Laplace.
Šíření vln
Prostorově koherentní pole šíření vln je užitečné rozdělit komplexní amplituda v jeho amplitudě i fázi skutečná hodnota:[7]
kde
- je amplituda nebo absolutní hodnota z a
- je vlnová fáze, která je argument z
To transformuje rovnici mírného sklonu v následující sadě rovnic (kromě míst, pro která je singulární):[7]
kde
- je průměrný hustota vlnové energie na jednotku horizontální oblasti (součet kinetický a potenciální energie hustoty),
- je efektivní vektor vlnového čísla s komponentami
- je efektivní skupinová rychlost vektor,
- je tekutina hustota, a
- je zrychlení pomocí Gravitace Země.
Poslední rovnice ukazuje, že energie vln je zachována v rovnici mírného sklonu a že energie vln je přepravován v -směr kolmý k vlně hřebeny (v tomto případě čistého vlnového pohybu bez středních proudů).[7] Efektivní rychlost skupiny se liší od skupinové rychlosti
První rovnice uvádí, že efektivní vlnové číslo je irrotační, přímým důsledkem toho, že se jedná o derivát vlnové fáze , a skalární pole. Druhá rovnice je eikonální rovnice. Ukazuje účinky difrakce na efektivní vlnové číslo: pouze pro víceméně progresivní vlny, s rozdělení do amplitudy a fáze vede ke konzistentně se měnícím a smysluplným polím a . V opačném případě, κ2 může být dokonce negativní. Když jsou difrakční efekty zcela opomíjeny, efektivní vlnové číslo κ je rovný a geometrická optika aproximace pro vlnu lom světla může být použito.[7]
Když je použit v rovnici mírného sklonu, výsledkem je, kromě faktoru :
Skutečná část i imaginární část této rovnice se nyní musí rovnat nule:
Efektivní vektor vln je definovaný jako gradient vlnové fáze:
- a jeho délka vektoru je
Všimněte si, že je irrotační pole, protože zvlnění přechodu je nula:
Nyní se stávají skutečná a imaginární část transformované rovnice mírného sklonu, která nejprve vynásobí imaginární část :
První rovnice přímo vede k výše uvedené eikonální rovnici pro , zatímco druhý dává:
který - tím, že si to všimne ve kterém je úhlová frekvence je konstanta pro čas -harmonický pohyb — vede k rovnici zachování vlnové energie.
Odvození rovnice mírného sklonu
Rovnici mírného sklonu lze odvodit pomocí několika metod. Zde použijeme a variační přístup.[4][8] Předpokládá se, že tekutina je neviditelný a nestlačitelný a předpokládá se, že tok je irrotační. Tyto předpoklady jsou platné pro povrchové gravitační vlny, protože účinky vířivost a viskozita jsou významné pouze v EU Stokes mezní vrstvy (pro oscilační část toku). Protože je tok irrotační, lze vlnový pohyb popsat pomocí potenciální tok teorie.
Lukův variační princip
Luka Lagrangian formulace poskytuje variační formulaci pro nelineární povrchové gravitační vlny.[9]Pro případ vodorovně neomezené domény s konstantou hustota , volný povrch tekutiny v a pevné mořské dno v Lukův variační princip používá Lagrangian
kde je horizontální Lagrangeova hustota, dána:
kde je rychlostní potenciál, s rychlost proudění komponenty jsou a v , a směry. Lukeova Lagrangeova formulace může být také přepracována do a Hamiltonova formulace z hlediska výškového a rychlostního potenciálu na volné ploše.[10]Vezmeme-li variace s ohledem na potenciál a nadmořská výška vede k Laplaceova rovnice pro ve vnitřním prostoru kapaliny, stejně jako všechny okrajové podmínky jak na volném povrchu jako v posteli v
Teorie lineárních vln
V případě teorie lineárních vln vertikální integrál v Lagrangeově hustotě je rozdělena na část z postele na střední povrch v a druhá část z na volnou plochu . Používat Taylor série expanze pro druhý integrál kolem střední výšky volného povrchu a pouze zachování kvadratických výrazů v a Lagrangeova hustota pro lineární vlnění
Termín ve svislém integrálu je upuštěno, protože se stalo dynamicky nezajímavým: dává nulový příspěvek k Euler-Lagrangeovy rovnice, s horní mezí integrace je nyní pevná. Totéž platí pro zanedbaný dolní člen úměrný v potenciální energii.
Vlny se šíří v horizontále rovina, zatímco struktura potenciálu není ve vertikále vlnovitý -směr. To naznačuje použití následujícího předpokladu o formě potenciálu
- s normalizací ve střední výšce volného povrchu
Tady je rychlostní potenciál na střední úrovni volné plochy Dále je vytvořen předpoklad mírného sklonu, a to funkce svislého tvaru se pomalu mění v rovina a horizontální derivace lze v rychlosti proudění zanedbávat. Tak:
Jako výsledek:
- s a
The Euler-Lagrangeovy rovnice pro tuto Lagrangeovu hustotu jsou, s zastupující buď nebo
Nyní se nejprve bere rovna a pak do Výsledkem je, že vývojové rovnice vlnového pohybu se stanou:[4]
s operator operátorem vodorovného přechodu: ∇ ≡ (∂ / ∂X ∂/∂y)T kde T označuje přemístit.
Dalším krokem je výběr tvarové funkce a určit a
Funkce vertikálního tvaru z teorie vzdušných vln
Jelikož cílem je popis vln nad mírně se svažujícími postelemi, tvarová funkce je vybrán podle Teorie vzdušných vln. Toto je lineární teorie vln šířících se v konstantní hloubce Forma tvarové funkce je:[4]
s nyní obecně ne konstantní, ale zvolená tak, aby se měnila a podle místní hloubky a vztah lineární disperze:[4]
Tady konstantní úhlová frekvence zvolená v souladu s charakteristikami studovaného vlnového pole. V důsledku toho integrály a stát se:[4]
Následující časově závislé rovnice poskytují vývoj elevace volného povrchu a potenciál volného povrchu [4]
Ze dvou evolučních rovnic jedna z proměnných nebo lze vyloučit, abychom získali časově závislou formu rovnice mírného sklonu:[4]
a odpovídající rovnice pro potenciál volného povrchu je totožná s nahrazen Časově závislou rovnici mírného sklonu lze použít k modelování vln v úzkém pásmu frekvencí kolem
Monochromatické vlny
Zvažte monochromatické vlny se složitou amplitudou a úhlová frekvence
s a zvoleni navzájem rovni, Pomocí tohoto v časově závislé formě rovnice mírného sklonu získá klasickou rovnici mírného sklonu pro časově harmonický vlnový pohyb:[4]
Použitelnost a platnost rovnice mírného sklonu
Standardní rovnice mírného sklonu, bez dalších výrazů pro sklon postele a zakřivení postele, poskytuje přesné výsledky pro vlnové pole na svazích postele v rozsahu od 0 do přibližně 1/3.[11] Některé jemné aspekty, jako je amplituda odražených vln, však mohou být zcela chybné, a to i pro svahy klesající na nulu. Tato matematická kuriozita má obecně malý praktický význam, protože tato reflexe se pro malé svahy dna mizí.
Poznámky
- ^ Eckart, C. (1952), „Šíření gravitačních vln z hluboké do mělké vody“, Oběžník 20, Národní úřad pro standardy: 165–173
- ^ Berkhoff, J. C. W. (1972), „Výpočet kombinované refrakce – difrakce“, Sborník 13. mezinárodní konference o pobřežním inženýrství, Vancouver, str. 471–490
- ^ Berkhoff, J. C. W. (1976), Matematické modely pro jednoduché harmonické lineární modely vodních vln; lom a difrakce vln (PDF) (Disertační práce), Delft University of Technology
- ^ A b C d E F G h i j Dingemans (1997, str. 248–256 a 378–379)
- ^ Dingemans (1997, str. 49)
- ^ Mei (1994, str. 86–89)
- ^ A b C d Dingemans (1997, s. 259–262)
- ^ Booij, N. (1981), Gravitační vlny na vodě s nejednotnou hloubkou a proudem (PDF) (Disertační práce), Delft University of Technology
- ^ Luke, J. C. (1967), „Variační princip pro tekutinu s volným povrchem“, Journal of Fluid Mechanics, 27 (2): 395–397, Bibcode:1967JFM .... 27..395L, doi:10.1017 / S0022112067000412
- ^ Miles, J. W. (1977), „Na Hamiltonově principu pro povrchové vlny“, Journal of Fluid Mechanics, 83 (1): 153–158, Bibcode:1977JFM .... 83..153M, doi:10.1017 / S0022112077001104
- ^ Booij, N. (1983), „Poznámka k přesnosti rovnice mírného sklonu“, Pobřežní inženýrství, 7 (1): 191–203, doi:10.1016/0378-3839(83)90017-0
Reference
- Dingemans, M. W. (1997), Šíření vodní vlny po nerovném dněAdvanced Series on Ocean Engineering, 13, World Scientific, Singapur, ISBN 981-02-0427-2, OCLC 36126836, 2 díly, 967 stran.
- Liu, P. L.-F. (1990), „Vlnová transformace“, v B. Le Méhauté a D. M. Hanes (ed.), Ocean Engineering Science, Moře, 9A, Wiley Interscience, str. 27–63, ISBN 0-471-52856-0
- Mei, Chiang C. (1994), Aplikovaná dynamika povrchových vln oceánuAdvanced Series on Ocean Engineering, 1, Světově vědecký, ISBN 9971-5-0789-7, 740 stran.
- Porter, D .; Chamberlain, P. G. (1997), „Lineární vlnový rozptyl dvourozměrnou topografií“, J. N. Hunt (ed.), Gravitační vlny ve vodě konečné hloubkyPokroky v mechanice tekutin, 10„Publikace výpočetní mechaniky, s. 13–53, ISBN 1-85312-351-X
- Porter, D. (2003), „Mírné svahové rovnice“, Journal of Fluid Mechanics, 494: 51–63, Bibcode:2003JFM ... 494 ... 51P, doi:10.1017 / S0022112003005846