Benjamin – Bona – Mahonyho rovnice - Benjamin–Bona–Mahony equation

Horní graf je pro a referenční rámec pohybující se s průměrnou celeritou osamělých vln. The obálka předjíždění vln je zobrazeno šedě: mějte na paměti, že maximální výška vln se během interakce snižuje.
Dolní graf (s jiným vertikálním měřítkem a ve stacionárním referenčním rámci) ukazuje oscilační ocas vzniklý interakcí.[1] Osamocená vlnová řešení rovnice BBM tedy nejsou solitony.
The Benjamin – Bona – Mahonyho rovnice (nebo Rovnice BBM) - také známý jako regularizovaná dlouhovlnná rovnice (RLWE) - je parciální diferenciální rovnice
Tato rovnice byla studována v Benjamin, Bona, a Mahony (1972 ) jako vylepšení Korteweg – de Vriesova rovnice (KdV rovnice) pro dlouhé modelování povrchové gravitační vlny malé amplitudy - množit se jednosměrně v rozměrech 1 + 1. Ukazují stabilitu a jedinečnost řešení rovnice BBM. To kontrastuje s rovnicí KdV, která je ve své výšce nestabilní vlnové číslo komponenty. Dále, zatímco rovnice KdV má nekonečné množství integrály pohybu, rovnice BBM má pouze tři.[2][3]
Dříve, v roce 1966, byla tato rovnice zavedena Peregrine, ve studii o nepravidelné otvory.[4]
Zobecněný n-dimenzionální verze je dána[5][6]
kde je dostatečně plynulá funkce od na . Avrin & Goldstein (1985) prokázala globální existenci řešení ve všech dimenzích.
Osamělé řešení vln
Rovnice BBM má osamělá vlna řešení formuláře:[3]
kde sech je hyperbolický sekans funkce a je fázový posun (o počáteční horizontální posunutí). Pro , osamělé vlny mají klad hřeben kladná výška a cestování -směr s rychlostí Tyto osamělé vlny nejsou solitony, tj. po interakci s jinými osamělými vlnami se vytvoří oscilační ocas a osamělé vlny se změnily.[1][3]
Hamiltonovská struktura
Rovnice BBM má a Hamiltonovská struktura, jak to lze napsat jako:[7]
- s Hamiltonianem a operátor
Tady je variace Hamiltonian s ohledem na a označuje operátor částečného rozdílu s ohledem na
Zákony o ochraně přírody
Rovnice BBM má přesně tři nezávislé a netriviální zákony na ochranu přírody.[3] za prvé je nahrazen v rovnici BBM, což vede k ekvivalentní rovnici:
Tři zákony zachování jsou tedy:[3]
Což lze snadno vyjádřit pomocí používáním
Lineární disperze
Linearizovaná verze rovnice BBM je:
Periodická řešení progresivních vln mají formu:
s the vlnové číslo a the úhlová frekvence. The disperzní vztah linearizované rovnice BBM je[2]
Podobně pro linearizovanou rovnici KdV disperzní vztah je:[2]
To se stává neomezeným a negativním pro a totéž platí pro fázová rychlost a skupinová rychlost V důsledku toho dává rovnice KdV vlny pohybující se v záporných hodnotách -směr pro vysoká vlnová čísla (krátká vlnové délky ). To je v rozporu s jeho účelem jako aproximace pro jednosměrné vlny šířící se v pozitivu -směr.[2]
Silný růst frekvence a fázová rychlost s vlnovým číslem představovalo problémy v numerickém řešení rovnice KdV, zatímco rovnice BBM tyto nedostatky nemá.[2]
Poznámky
- ^ A b Bona, Pritchard & Scott (1980)
- ^ A b C d E Benjamin, Bona, a Mahony (1972 )
- ^ A b C d E Olver (1979)
- ^ Peregrine (1966)
- ^ Goldstein & Wichnoski (1980)
- ^ Avrin & Goldstein (1985)
- ^ Olver, P. J. (1980), „O Hamiltonovské struktuře evolučních rovnic“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 88 (1): 71–88, Bibcode:1980 MPCPS..88 ... 71O, doi:10.1017 / S0305004100057364
Reference
- Avrin, J .; Goldstein, J.A. (1985), „Globální existence pro rovnici Benjamin – Bona – Mahony v libovolných dimenzích“, Nelineární analýza, 9 (8): 861–865, doi:10.1016 / 0362-546X (85) 90023-9, PAN 0799889
- Benjamin, T. B.; Bona, J. L.; Mahony, J. J. (1972), „Modelové rovnice pro dlouhé vlny v nelineárních disperzních systémech“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A, Matematické a fyzikální vědy, 272 (1220): 47–78, Bibcode:1972RSPTA.272 ... 47B, doi:10.1098 / rsta.1972.0032, ISSN 0962-8428, JSTOR 74079
- Bona, J. L.; Pritchard, W. G .; Scott, L. R. (1980), „Interakce solitárními vlnami“, Fyzika tekutin, 23 (3): 438–441, Bibcode:1980PhFl ... 23..438B, doi:10.1063/1.863011
- Goldstein, J.A.; Wichnoski, B.J. (1980), „K rovnici Benjamin – Bona – Mahony ve vyšších dimenzích“, Nelineární analýza, 4 (4): 665–675, doi:10.1016 / 0362-546X (80) 90067-X
- Olver, P. J. (1979), „Eulerovy operátory a zákony zachování rovnice BBM“, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 85: 143–160, Bibcode:1979 MPCPS..85..143O, doi:10.1017 / S0305004100055572
- Peregrine, D.H. (1966), „Výpočty vývoje nepravidelného vývrtu“, Journal of Fluid Mechanics, 25 (2): 321–330, Bibcode:1966JFM .... 25..321P, doi:10.1017 / S0022112066001678
- Zwillinger, D. (1998), Příručka diferenciálních rovnic (3. vyd.), Boston, MA: Academic Press, str. 174 a 176, ISBN 978-0-12-784396-4, PAN 0977062 (Varování: Na str. 174 Zwillinger nesprávně uvádí rovnici Benjamin – Bona – Mahony a zaměňuje ji s podobnou rovnicí KdV.)