Funkce streamu - Stream function

Zefektivňuje - řádky s konstantní hodnotou funkce streamu - pro nestlačitelný potenciální tok kolem kruhového válce v jednotném toku.

The funkce streamu je definováno pro nestlačitelný (bez rozdílu ) proudí ve dvou rozměrech - stejně jako ve třech rozměrech s osová symetrie. The rychlost proudění složky lze vyjádřit jako deriváty z skalární funkce streamu. K vykreslení lze použít funkci stream zefektivňuje, které představují trajektorie částic v ustáleném proudu. Dvojrozměrný Funkce Lagrangeova proudu byl představen Joseph Louis Lagrange v roce 1781.^[1] The Funkce Stokesova proudu je pro osově symetrický trojrozměrný tok a je pojmenováno po George Gabriel Stokes.^[2]

S ohledem na konkrétní případ dynamika tekutin, rozdíl mezi hodnotami funkce proudu v jakýchkoli dvou bodech udává objemový průtok (nebo objemový tok ) přímkou spojující dva body.

Protože efektivní jsou tečna k vektoru rychlosti proudění toku musí být hodnota funkce proudu konstantní podél proudnice. Užitečnost funkce proudu spočívá ve skutečnosti, že složky rychlosti proudění v X- a y- směry v daném bodě jsou dány částečné derivace funkce streamu v daném bodě. Funkci streamu lze definovat pro jakýkoli tok dimenzí větších nebo rovných dvěma, nicméně dvourozměrný případ je obecně nejjednodušší vizualizovat a odvodit.

Pro dvourozměrné potenciální tok, proudnice jsou kolmé na ekvipotenciální řádky. Společně s rychlostní potenciál, funkci stream lze použít k odvození a komplex potenciál. Jinými slovy, funkce streamu odpovídá za solenoidní část dvojrozměrného Helmholtzův rozklad, zatímco rychlostní potenciál odpovídá irrotační část.

Funkce dvourozměrného proudu

Definice

Hlasitost tok křivkou mezi body

{ displaystyle A}

a

{ displaystyle P.}

jehněčí a Batchelor definovat funkci streamu ${ displaystyle psi (x, y, t)}$ - v bodě ${ displaystyle P}$ s dvourozměrnými souřadnicemi ${ displaystyle (x, y)}$ a jako funkce času ${ displaystyle t}$ - pro nestlačitelný tok podle:^[3]

{ displaystyle psi = int _ {A} ^ {P} vlevo (u , { text {d}} y-v , { text {d}} x vpravo).}

Takže funkce streamu ${ displaystyle psi}$ je objemový tok skrz křivku ${ displaystyle AP}$ , to je: integrál z Tečkovaný produkt z rychlost proudění vektor ${ displaystyle (u, v)}$ a normální ${ displaystyle (+ { text {d}} y, - { text {d}} x)}$ k prvku křivky ${ displaystyle ({ text {d}} x, { text {d}} y).}$ Bod ${ displaystyle A}$ je referenční bod definující, kde je funkce proudu nulová: posun o ${ displaystyle A}$ má za následek přidání konstanty do funkce streamu ${ displaystyle psi.}$

An infinitezimální posun ${ displaystyle delta P = ( delta x, delta y)}$ polohy ${ displaystyle P}$ má za následek posun funkce proudu:

{ displaystyle delta psi = u , delta y-v , delta x,}

což je přesný diferenciál pokud

{ displaystyle { frac { částečné u} { částečné x}} + { frac { částečné v} { částečné y}} = 0.}

To je podmínka nula divergence vyplývající z nestlačitelnosti toku. Od té doby

{ displaystyle delta psi = { frac { částečné psi} { částečné x}} , delta x + { frac { částečné psi} { částečné y}} , delta y,}

složky rychlosti proudění musí být

{ displaystyle u = { frac { částečné psi} { částečné y}}, qquad v = - { frac { částečné psi} { částečné x}}}

ve vztahu k funkci streamu ${ displaystyle psi.}$

Definice pomocí vektorového potenciálu

Znaménko funkce streamu závisí na použité definici.

Jedním ze způsobů je definování funkce streamu ${ displaystyle psi}$ pro dvourozměrný tok takový, že rychlost proudění lze vyjádřit prostřednictvím vektorový potenciál ${ displaystyle { boldsymbol { psi}}:}$

{ displaystyle mathbf {u} = nabla krát { boldsymbol { psi}}}

Kde ${ displaystyle { boldsymbol { psi}} = (0,0, psi)}$ pokud vektor rychlosti proudění ${ displaystyle mathbf {u} = (u, v, 0)}$ .

v Kartézský souřadnicový systém to je ekvivalentní k

{ displaystyle u = { frac { částečné psi} { částečné y}}, qquad v = - { frac { částečné psi} { částečné x}}}

Kde ${ displaystyle u}$ a ${ displaystyle v}$ jsou složky rychlosti proudění v karteziánu ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ směry souřadnic.

Alternativní definice (opačné znaménko)

Jiná definice (používaná častěji v meteorologie a oceánografie než výše) je

{ displaystyle mathbf {u} = mathbf {z} krát nabla psi ' ekviv vlevo (- psi' _ {y}, psi '_ {x}, 0 vpravo)}

,

kde ${ displaystyle mathbf {z} = (0,0,1)}$ je jednotkový vektor v ${ displaystyle + z}$ směr a dolní indexy označují částečné derivace.

Všimněte si, že tato definice má opačné znaménko než výše uvedené ( ${ displaystyle psi '= - psi}$ ), takže máme

{ displaystyle u = - { frac { částečné psi '} { částečné y}}, qquad v = { frac { částečné psi'} { částečné x}}}

v kartézských souřadnicích.

Všechny formulace funkce proudu omezují rychlost tak, aby uspokojila dvojrozměrnost rovnice spojitosti přesně:

{ displaystyle { frac { částečné u} { částečné x}} + { frac { částečné v} { částečné y}} = 0}

Poslední dvě definice funkce streamu souvisí prostřednictvím vektorová identita kalkulu

{ displaystyle nabla times left ( psi mathbf {z} right) = psi nabla times mathbf {z} + nabla psi times mathbf {z} = nabla psi times mathbf {z} = mathbf {z} times nabla psi '.}

Všimněte si, že ${ displaystyle { boldsymbol { psi}} = psi mathbf {z}}$ v tomto dvojrozměrném toku.

Odvození funkce dvourozměrného proudu

Uvažujme dva body A a B ve dvourozměrném rovinném toku. Pokud je vzdálenost mezi těmito dvěma body velmi malá: δn a mezi těmito body prochází proud toku s průměrnou rychlostí q kolmo k přímce AB, objemový průtok na jednotku tloušťky, δΨ je dán vztahem:

{ displaystyle delta psi = q delta n ,}

Jako δn → 0, přeuspořádáním tohoto výrazu, dostaneme:

{ displaystyle q = { frac { částečné psi} { částečné n}} ,}

Nyní zvažte dvojrozměrný rovinný tok s odkazem na souřadný systém. Předpokládejme, že se pozorovatel dívá podél libovolné osy ve směru nárůstu a vidí tok protínající osu zleva do prava. Je přijata znaková konvence tak, že rychlost proudění je pozitivní.

Tok v kartézských souřadnicích

Pozorováním toku do elementárního čtverce v x-y Kartézská souřadnice systém, máme:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} delta psi & = u delta y , delta psi & = - v delta x , end {zarovnáno}}}

kde u je rychlost proudění rovnoběžná s osou x a ve směru osy x, v je rychlost proudění rovnoběžná s osou y a ve směru osy y. Tedy jako δn → 0 a přeskupením máme:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} u & = { frac { částečné psi} { částečné y}} , v & = - { frac { částečné psi} { částečné x}} , end {zarovnáno}}}

Spojitost: odvození

Zvažte dvourozměrný rovinný tok v kartézském souřadnicovém systému. Kontinuita uvádí, že pokud vezmeme v úvahu nestlačitelný tok do elementárního čtverce, tok do tohoto malého prvku se musí rovnat toku ven z tohoto prvku.

Celkový tok do prvku je dán vztahem:

{ displaystyle delta psi _ { text {in}} = u delta y + v delta x. ,}

Celkový tok ven z prvku je dán vztahem:

{ displaystyle delta psi _ { text {out}} = vlevo (u + { frac { částečné u} { částečné x}} delta x vpravo) delta y + vlevo (v + { frac { částečný v} { částečný y}} delta y pravý) delta x. ,}

Máme tedy:

{ displaystyle { begin {zarovnáno} delta psi _ { text {in}} & = delta psi _ { text {out}} , u delta y + v delta x & = vlevo (u + { frac { částečné u} { částečné x}} delta x pravé) delta y + levé (v + { frac { částečné v} { částečné y}} delta y pravé) delta x , end {zarovnáno}}}

a zjednodušení na:

{ displaystyle { frac { částečné u} { částečné x}} + { frac { částečné v} { částečné y}} = 0.}

Dosazením výrazů funkce streamu do této rovnice máme:

{ displaystyle { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné x částečné y}} - { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné y částečné x}} = 0 .}

Vorticita

Funkci streamu najdete z vířivost pomocí následujícího Poissonova rovnice:

{ displaystyle nabla ^ {2} psi = - omega}

nebo

{ displaystyle nabla ^ {2} psi '= + omega}

kde vektor vorticity ${ displaystyle { boldsymbol { omega}} = nabla times mathbf {u}}$ - definováno jako kučera vektoru rychlosti proudění ${ displaystyle mathbf {u}}$ - pro tento dvourozměrný tok má ${ displaystyle { boldsymbol { omega}} = (0,0, omega),}$ tj. pouze ${ displaystyle z}$ -součástka ${ displaystyle omega}$ může být nenulová.

Důkaz, že konstantní hodnota funkce stream odpovídá streamline

Zvažte dvourozměrný rovinný tok v kartézském souřadnicovém systému. Vezměme si dva nekonečně blízké body ${ displaystyle P = (x, y)}$ a ${ displaystyle Q = (x + dx, y + dy)}$ . Z počtu to máme

{ displaystyle { begin {zarovnáno} & psi (x + dx, y + dy) - psi (x, y) = {} & { částečné psi nad částečné x} dx + { částečné psi over částečné y} dy = {} & nabla psi cdot d { boldsymbol {r}} end {zarovnáno}}}

Říci ${ displaystyle psi}$ má stejnou hodnotu, řekněme ${ displaystyle C}$ ve dvou bodech ${ displaystyle P}$ a ${ displaystyle Q}$ , pak ${ displaystyle d { boldsymbol {r}}}$ je tečna ke křivce ${ displaystyle psi = C}$ na ${ displaystyle P}$ a

{ displaystyle 0 = psi (x + dx, y + dy) - psi (x, y) = nabla psi cdot d { boldsymbol {r}}}

z čehož vyplývá, že vektor ${ displaystyle nabla psi}$ je normální ke křivce ${ displaystyle psi = C}$ . Pokud to můžeme ukázat všude ${ displaystyle { boldsymbol {u}} cdot nabla psi = 0}$ pomocí vzorce pro ${ displaystyle { boldsymbol {u}}}$ ve smyslu ${ displaystyle psi}$ , pak dokážeme výsledek. Toto snadno následuje,

{ displaystyle { boldsymbol {u}} cdot nabla psi = { částečný psi nad částečný y} { částečný psi nad částečný x} + vlevo (- { částečný psi přes částečné x} pravé) { částečné psi přes částečné y} = 0.}

Vlastnosti funkce streamu

Funkce streamu ${ displaystyle psi}$ je konstantní podél jakékoli racionalizace.
Pro kontinuální tok (žádné zdroje nebo jímky) je objemový průtok napříč jakoukoli uzavřenou cestou roven nule.
U dvou nestlačitelných vzorů toku je algebraický součet funkcí proudu roven jiné funkci toku, která je získána, pokud jsou dva vzory toku superponované.
Rychlost změny funkce proudu se vzdáleností je přímo úměrná složce rychlosti kolmé ke směru změny.

Reference

Citace

^ Lagrange, J.-L. (1868), „Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides (in: Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1781)“, Oevres de Lagrange, Tom IV, str. 695–748
^ Stokes, G.G. (1842), „O ustáleném pohybu nestlačitelných tekutin“, Transakce Cambridge Philosophical Society, 7: 439–453, Bibcode:1848TCaPS ... 7..439S
Přetištěno v: Stokes, G.G. (1880), Mathematical and Physical Papers, Volume I, Cambridge University Press, s. 1–16
^ Jehněčí (1932, s. 62–63) a Batchelor (1967, s. 75–79)

Zdroje

Batchelor, G. K. (1967), Úvod do dynamiky tekutin, Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
Lamb, H. (1932), Hydrodynamika (6. vyd.), Cambridge University Press, publikováno společností Dover Publications, ISBN 0-486-60256-7
Massey, B. S .; Ward-Smith, J. (1998), Mechanika tekutin (7. vydání), Velká Británie: Nelson Thornes
White, F. M. (2003), Mechanika tekutin (5. vydání), New York: McGraw-Hill
Gamelin, T. W. (2001), Komplexní analýza, New York: Springer, ISBN 0-387-95093-1
„Streamfunction“, AMS Slovníček meteorologie, Americká meteorologická společnost, vyvoláno 2014-01-30

externí odkazy

Joukowsky Transform Interactive WebApp

[1] Lagrange, J.-L. (1868), „Mémoire sur la théorie du mouvement des fluides (in: Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Berlin, année 1781)“, Oevres de Lagrange, Tom IV, str. 695–748

[2] Stokes, G.G. (1842), „O ustáleném pohybu nestlačitelných tekutin“, Transakce Cambridge Philosophical Society, 7: 439–453, Bibcode:1848TCaPS ... 7..439S
Přetištěno v: Stokes, G.G. (1880), Mathematical and Physical Papers, Volume I, Cambridge University Press, s. 1–16

[3] Jehněčí (1932, s. 62–63) a Batchelor (1967, s. 75–79)

[1]

[2]

[3]