Grashofovo číslo - Grashof number

The Grashofovo číslo (GR) je bezrozměrné číslo v dynamika tekutin a přenos tepla který se blíží poměru vztlak na viskózní síla působící na tekutinu. Často se objevuje při studiu situací přirozená konvekce a je analogický s Reynoldsovo číslo.^[1] Předpokládá se, že je pojmenován Franz Grashof. Ačkoli toto seskupení termínů již bylo používáno, bylo pojmenováno až kolem roku 1921, 28 let poté Franz Grashof smrt. Není příliš jasné, proč bylo seskupení pojmenováno po něm. ^[2]

Definice

Přenos tepla

Volná konvekce je způsobena změnou hustoty kapaliny v důsledku změny teploty nebo gradientu. Hustota obvykle klesá v důsledku zvýšení teploty a způsobuje vzestup tekutiny. Tento pohyb je způsoben vztlak platnost. Hlavní silou, která odolává pohybu, je viskózní platnost. Grashofovo číslo je způsob, jak kvantifikovat nepřátelské síly.^[3]

Číslo Grashof je:

{ displaystyle mathrm {Gr} _ {L} = { frac {g beta (T_ {s} -T _ { infty}) L ^ {3}} { nu ^ {2}}} ,}

pro svislé ploché desky

{ displaystyle mathrm {Gr} _ {D} = { frac {g beta (T_ {s} -T _ { infty}) D ^ {3}} { nu ^ {2}}} ,}

pro potrubí

{ displaystyle mathrm {Gr} _ {D} = { frac {g beta (T_ {s} -T _ { infty}) D ^ {3}} { nu ^ {2}}} ,}

pro blafovaná těla

kde:

G je zrychlení v důsledku gravitace Země

β je koeficient tepelné roztažnosti (rovný přibližně 1 /T, pro ideální plyny)

T_s je povrchová teplota

T_∞ je objemová teplota

L je svislá délka

D je průměr

ν je kinematická viskozita.

The L a D dolní indexy označují základ délky stupnice pro číslo Grashof.

K přechodu na turbulentní proudění dochází v rozsahu 10⁸ L < 10⁹ pro přirozenou konvekci ze svislých plochých desek. U vyšších Grashofových čísel je mezní vrstva turbulentní; při nižších číslech Grashof je mezní vrstva laminární, což je v rozsahu 10³ L < 10⁶.

Hromadný přenos

Podobná forma existuje Grashofovo číslo používá se v případech přirozené konvekce hromadný přenos problémy. V případě přenosu hmoty je přirozená konvekce způsobena spíše gradienty koncentrace než teplotními gradienty.^[1]

{ displaystyle mathrm {Gr} _ {c} = { frac {g beta ^ {*} (C_ {a, s} -C_ {a, a}) L ^ {3}} { nu ^ { 2}}}}

kde:

{ displaystyle beta ^ {*} = - { frac {1} { rho}} vlevo ({ frac { částečné rho} { částečné C_ {a}}} pravé) _ {T, p}}

a:

G je zrychlení v důsledku gravitace Země

C_{tak jako} je koncentrace druhů A na povrchu

C_{a, a} je koncentrace druhů A v prostředí média

L je charakteristická délka

ν je kinematická viskozita

ρ je tekutina hustota

C_A je koncentrace druhů A

T je teplota (konstantní)

p je tlak (konstantní).

Vztah k jiným bezrozměrným číslům

The Rayleighovo číslo, zobrazený níže, je bezrozměrné číslo, které charakterizuje problémy s konvekcí při přenosu tepla. Kritická hodnota existuje pro Rayleighovo číslo, nad kterým dochází k pohybu tekutiny.^[3]

{ displaystyle mathrm {Ra} _ {x} = mathrm {Gr} _ {x} mathrm {Pr}}

Poměr čísla Grashof k čtverci Reynoldsovo číslo lze použít k určení if Nucená nebo volná konvekce může být pro systém zanedbávána, nebo pokud existuje kombinace těchto dvou. Tento charakteristický poměr se nazývá Richardsonovo číslo (Ri). Pokud je poměr mnohem menší než jedna, může být volná konvekce ignorována. Pokud je poměr mnohem větší než jedna, může být vynucená konvekce ignorována. Jinak je režim kombinován nucenou a volnou konvekcí.^[1]

{ displaystyle mathrm {Ri} = { frac { mathrm {Gr}} { mathrm {Re} ^ {2}}} gg 1}

nucená konvekce může být ignorována

{ displaystyle mathrm {Ri} = { frac { mathrm {Gr}} { mathrm {Re} ^ {2}}} přibližně 1}

kombinovaná nucená a volná konvekce

{ displaystyle mathrm {Ri} = { frac { mathrm {Gr}} { mathrm {Re} ^ {2}}} ll 1}

volná konvekce může být zanedbávána

Derivace

Prvním krokem k odvození Grashofova čísla je manipulace s koeficientem objemové expanze, ${ displaystyle mathrm { beta}}$ jak následuje.

{ displaystyle beta = { frac {1} {v}} vlevo ({ frac { částečné v} { částečné T}} pravé) _ {p} = { frac {-1} { rho}} vlevo ({ frac { částečné rho} { částečné T}} pravé) _ {p}}

The ${ displaystyle v}$ ve výše uvedené rovnici, která představuje konkrétní objem, není totéž jako ${ displaystyle v}$ v následujících částech této derivace, která bude představovat rychlost. Tento dílčí vztah koeficientu objemové roztažnosti, ${ displaystyle mathrm { beta}}$ , s ohledem na hustotu tekutin, ${ displaystyle mathrm { rho}}$ , při konstantním tlaku lze přepsat jako

{ displaystyle rho = rho _ {0} (1- beta Delta T)}

kde:

{ displaystyle rho _ {0}}

je objemová hustota kapaliny

{ displaystyle rho}

je hustota mezní vrstvy

{ displaystyle Delta T = (T-T_ {0})}

, teplotní rozdíl mezi mezní vrstvou a objemovou tekutinou.

Existují dva různé způsoby, jak zjistit číslo Grashof od tohoto bodu. Jeden zahrnuje energetickou rovnici, zatímco druhý zahrnuje vztlakovou sílu kvůli rozdílu v hustotě mezi mezní vrstvou a objemovou tekutinou.

Energetická rovnice

Tato diskuse zahrnující energetickou rovnici je s ohledem na rotačně symetrický tok. Tato analýza vezme v úvahu vliv gravitačního zrychlení na tok a přenos tepla. Následující matematické rovnice platí jak pro rotační symetrický tok, tak pro dvourozměrný rovinný tok.

{ displaystyle { frac { částečné} { částečné s}} ( rho ur_ {0} ^ {n}) + { frac { částečné} { částečné y}} ( rho vr_ {0} ^ {n}) = 0}

kde:

{ displaystyle s}

je směr otáčení, tj. směr rovnoběžný s povrchem

{ displaystyle u}

je tangenciální rychlost, tj. rychlost rovnoběžná s povrchem

{ displaystyle y}

je rovinný směr, tj. směr kolmý k povrchu

{ displaystyle v}

je normální rychlost, tj. rychlost kolmá k povrchu

{ displaystyle r_ {0}}

je poloměr.

V této rovnici je horním indexem n rozlišovat mezi rotačně symetrickým tokem od rovinného toku. Následující charakteristiky této rovnice platí.

{ displaystyle n}

= 1: rotačně symetrický tok

{ displaystyle n}

= 0: rovinný, dvourozměrný tok

{ displaystyle g}

je gravitační zrychlení

Tato rovnice se rozšiřuje na následující s přidáním vlastností fyzikálních tekutin:

{ displaystyle rho left (u { frac { částečné u} { částečné s}} + v { frac { částečné u} { částečné y}} vpravo) = { frac { částečné} { částečné y}} levé ( mu { frac { částečné u} { částečné y}} pravé) - { frac {dp} {ds}} + rho g.}

Odtud můžeme dále zjednodušit rovnici hybnosti nastavením rychlosti sypké kapaliny na 0 (u = 0).

{ displaystyle { frac {dp} {ds}} = rho _ {0} g}

Tento vztah ukazuje, že tlakový gradient je jednoduše produktem objemové hustoty kapaliny a gravitačního zrychlení. Dalším krokem je zapojení tlakového gradientu do rovnice hybnosti.

{ displaystyle rho left (u { frac { částečné u} { částečné s}} + v { frac { částečné u} { částečné y}} vpravo) = mu doleva ({ frac { částečné ^ {2} u} { částečné y ^ {2}}} pravé) + rho g beta (T-T_ {0})}

Další zjednodušení rovnice hybnosti přichází nahrazením koeficientu objemové expanze a hustoty ${ displaystyle rho _ {0} - rho = beta rho (T-T_ {0})}$ , nalezený výše, a vztah kinematické viskozity, ${ displaystyle nu = { frac { mu} { rho}}}$ , do rovnice hybnosti.

{ displaystyle u left ({ frac { částečné u} { částečné s}} pravé) + v levé ({ frac { částečné v} { částečné y}} vpravo) = nu vlevo ({ frac { částečné ^ {2} u} { částečné y ^ {2}}} pravé) + g beta (T-T_ {0})}

Chcete-li najít číslo Grashof z tohoto bodu, musí být předchozí rovnice bez dimenze. To znamená, že každá proměnná v rovnici by neměla mít žádný rozměr a místo toho by měla být charakteristikou poměru ke geometrii a nastavení problému. To se dělí dělením každé proměnné odpovídajícími konstantními veličinami. Délky jsou rozděleny charakteristickou délkou, ${ displaystyle L_ {c}}$ . Rychlosti se dělí příslušnými referenčními rychlostmi, ${ displaystyle V}$ , což vzhledem k Reynoldsovu číslu dává ${ displaystyle V = { frac { mathrm {Re} _ {L} nu} {L_ {c}}}}$ . Teploty se dělí příslušným teplotním rozdílem, ${ displaystyle (T_ {s} -T_ {0})}$ . Tyto bezrozměrné parametry vypadají následovně:

{ displaystyle s ^ {*} = { frac {s} {L_ {c}}}}

,

{ displaystyle y ^ {*} = { frac {y} {L_ {c}}}}

,

{ displaystyle u ^ {*} = { frac {u} {V}}}

,

{ displaystyle v ^ {*} = { frac {v} {V}}}

,

{ displaystyle T ^ {*} = { frac {(T-T_ {0})} {(T_ {s} -T_ {0})}}}

.

Hvězdičky představují bezrozměrný parametr. Kombinace těchto bezrozměrných rovnic s rovnicemi hybnosti dává následující zjednodušenou rovnici.

{ displaystyle u ^ {*} { frac { částečné u ^ {*}} { částečné s ^ {*}}} + v ^ {*} { frac { částečné u ^ {*}} { částečné y ^ {*}}} = left [{ frac {g beta (T_ {s} -T_ {0}) L_ {c} ^ {3}} { nu ^ {2}}} right ] { frac {T ^ {*}} { mathrm {Re} _ {L} ^ {2}}} + { frac {1} { mathrm {Re} _ {L}}} { frac { částečné ^ {2} u ^ {*}} { částečné {y ^ {*}} ^ {2}}}}

kde:

{ displaystyle T_ {s}}

je povrchová teplota

{ displaystyle T_ {0}}

je objemová teplota kapaliny

{ displaystyle L_ {c}}

je charakteristická délka.

Bezrozměrný parametr uzavřený v závorkách v předchozí rovnici je známý jako Grashofovo číslo:

{ displaystyle mathrm {Gr} = { frac {g beta (T_ {s} -T_ {0}) L_ {c} ^ {3}} { nu ^ {2}}}.}

Buckinghamova věta

Další forma dimenzionální analýzy, která povede k číslu Grashof, je známá jako Buckinghamova věta. Tato metoda bere v úvahu vztlakovou sílu na jednotku objemu, ${ displaystyle F_ {b}}$ kvůli rozdílu hustoty v mezní vrstvě a sypké tekutině.

{ displaystyle F_ {b} = ( rho - rho _ {0}) g}

S touto rovnicí lze manipulovat tak, aby

{ displaystyle F_ {b} = beta g rho _ {0} Delta T.}

Seznam proměnných, které se používají v metodě Buckingham π, je uveden níže spolu s jejich symboly a rozměry.

Variabilní	Symbol	Rozměry
Značná délka	${ displaystyle L}$	${ displaystyle mathrm {L}}$
Viskozita kapaliny	${ displaystyle mu}$	${ displaystyle mathrm { frac {M} {por.}}$
Kapalná tepelná kapacita	${ displaystyle c_ {p}}$	${ displaystyle mathrm { frac {Q} {MT}}}$
Tepelná vodivost kapaliny	${ displaystyle k}$	${ displaystyle mathrm { frac {Q} {LtT}}}$
Koeficient objemové roztažnosti	${ displaystyle beta}$	${ displaystyle mathrm { frac {1} {T}}}$
Gravitační zrychlení	${ displaystyle g}$	${ displaystyle mathrm { frac {L} {t ^ {2}}}}$
Teplotní rozdíl	${ displaystyle Delta T}$	${ displaystyle mathrm {T}}$
Součinitel přestupu tepla	${ displaystyle h}$	${ displaystyle mathrm { frac {Q} {L ^ {2} tT}}}$

S odkazem na Buckinghamova věta existuje 9 - 5 = 4 bezrozměrné skupiny. Vybrat L, ${ displaystyle mu,}$ k, G a ${ displaystyle beta}$ jako referenční proměnné. Tak ${ displaystyle pi}$ skupiny jsou následující:

{ displaystyle pi _ {1} = L ^ {a} mu ^ {b} k ^ {c} beta ^ {d} g ^ {e} c_ {p}}

,

{ displaystyle pi _ {2} = L ^ {f} mu ^ {g} k ^ {h} beta ^ {i} g ^ {j} rho}

,

{ displaystyle pi _ {3} = L ^ {k} mu ^ {l} k ^ {m} beta ^ {n} g ^ {o} Delta T}

,

{ displaystyle pi _ {4} = L ^ {q} mu ^ {r} k ^ {s} beta ^ {t} g ^ {u} h}

.

Řešení těchto ${ displaystyle pi}$ skupiny dává:

{ displaystyle pi _ {1} = { frac { mu (c_ {p})} {k}} = mathrm {Pr}}

,

{ displaystyle pi _ {2} = { frac {l ^ {3} g rho ^ {2}} { mu ^ {2}}}}

,

{ displaystyle pi _ {3} = beta Delta T}

,

{ displaystyle pi _ {4} = { frac {hL} {k}} = mathrm {Nu}}

Ze dvou skupin ${ displaystyle pi _ {2}}$ a ${ displaystyle pi _ {3},}$ výrobek tvoří číslo Grashof:

{ displaystyle pi _ {2} pi _ {3} = { frac { beta g rho ^ {2} Delta TL ^ {3}} { mu ^ {2}}} = mathrm { GR} .}

Brát ${ displaystyle nu = { frac { mu} { rho}}}$ a ${ displaystyle Delta T = (T_ {s} -T_ {0})}$ předchozí rovnice může být vykreslena jako stejný výsledek odvození Grashofova čísla z energetické rovnice.

{ displaystyle mathrm {Gr} = { frac { beta g Delta TL ^ {3}} { nu ^ {2}}}}

V nucené konvekci Reynoldsovo číslo řídí tok tekutiny. Ale v přirozené konvekci je Grashofovo číslo bezrozměrný parametr, který řídí tok tekutiny. Použití energetické rovnice a vztlakové síly v kombinaci s dimenzionální analýzou poskytuje dva různé způsoby, jak odvodit Grashofovo číslo.

Účinky Grashofova čísla na tok různých tekutin

V nedávném výzkumu provedeném o účincích Grashofova čísla na tok různých tekutin poháněných konvekcí přes různé povrchy. ^[4] Při použití sklonu lineární regresní přímky datovými body se dospělo k závěru, že zvýšení hodnoty Grashofova čísla nebo jakéhokoli parametru souvisejícího se vztlakem znamená zvýšení teploty stěny, což způsobí, že vazba (vazby) mezi tekutinou zeslábne, pevnost aby se vnitřní tření snížilo, gravitace se stala dostatečně silnou (tj. značně se změnila měrná hmotnost mezi vrstvami okamžitých tekutin sousedících se stěnou). Účinky parametru vztlaku jsou vysoce významné v laminárním proudění uvnitř mezní vrstvy vytvořené na vertikálně se pohybujícím válci. Toho je možné dosáhnout pouze tehdy, když se zohlední předepsaná povrchová teplota (PST) a předepsaný tepelný tok stěny (WHF). Lze dojít k závěru, že vztlakový parametr má zanedbatelný pozitivní vliv na místní Nusseltovo číslo. To platí pouze v případě, že je velikost Prandtlova čísla malá nebo je uvažován předepsaný tepelný tok stěny (WHF). Sherwoodovo číslo, Bejanovo číslo, generace entropie, Stantonovo číslo a tlakový gradient zvyšují vlastnosti parametru vztlaku, zatímco koncentrační profily, třecí síla a pohyblivé mikroorganismy snižují vlastnosti.

Reference

^ ^A ^b ^C Incropera, Frank (2007). Základy přenosu tepla a hmoty (6. vydání). Hoboken, NJ: Wiley. str.408, 599, 629. ISBN 9780471457282. OCLC 288958608.
^ Sander, C.J .; Holman, J.P. (1972). „Franz Grashof a Grashofovo číslo“. Int. J. Přenos tepelné hmoty. 15 (3): 562-563.
^ ^A ^b Bird, R. Byron; Stewart, Warren E .; Lightfoot, Edwin N. (2002). Transportní jevy (2. vyd.). New York: J. Wiley. str.318, 359. ISBN 9780471410775. OCLC 471520548.
^ Shah, Nehad Ali; Animasaun, I.L .; Ibraheem, R.O .; Babatunde, H. A.; Sandeep, N .; Pop, I. (2018). "Prozkoumání účinků Grashofova čísla na tok různých tekutin poháněných konvekcí přes různé povrchy". Journal of Molecular Liquids. 249: 980–990. doi:10.1016 / j.molliq.2017.11.042. ISSN 0167-7322.

Cengel, Yunus A. (2003). Přenos tepla a hmoty: praktický přístup (3. vyd.). Boston: McGraw Hill.
Eckert, Ernst R. G.; Drake, Robert M. (1972). Analýza přenosu tepla a hmoty. New York: McGraw Hill.
Jaluria, Yogesh (1980). Přenos tepla a hmoty přirozenou konvekcí. New York: Pergamon Press.
Welty, James R. (1976). Základy přenosu hybnosti, tepla a hmoty. New York: John Wiley & Sons.

[Incropera2007-1] A ^b ^C Incropera, Frank (2007). Základy přenosu tepla a hmoty (6. vydání). Hoboken, NJ: Wiley. str.408, 599, 629. ISBN 9780471457282. OCLC 288958608.

[:2-2] Sander, C.J .; Holman, J.P. (1972). „Franz Grashof a Grashofovo číslo“. Int. J. Přenos tepelné hmoty. 15 (3): 562-563.

[BirdStewartLightfoot2002-3] A ^b Bird, R. Byron; Stewart, Warren E .; Lightfoot, Edwin N. (2002). Transportní jevy (2. vyd.). New York: J. Wiley. str.318, 359. ISBN 9780471410775. OCLC 471520548.

[ShahAnimasaun2018-4] Shah, Nehad Ali; Animasaun, I.L .; Ibraheem, R.O .; Babatunde, H. A.; Sandeep, N .; Pop, I. (2018). "Prozkoumání účinků Grashofova čísla na tok různých tekutin poháněných konvekcí přes různé povrchy". Journal of Molecular Liquids. 249: 980–990. doi:10.1016 / j.molliq.2017.11.042. ISSN 0167-7322.

[1]

[2]

[3]

[4]