The Clausius – Duhemova nerovnost [1] [2] druhý zákon termodynamiky který se používá v mechanika kontinua . Tato nerovnost je zvláště užitečná při určování, zda konstitutivní vztah materiálu je termodynamicky přípustný.[3]
Tato nerovnost je výrokem o nevratnosti přírodních procesů, zejména pokud jde o rozptýlení energie. Bylo pojmenováno po německém fyzikovi Rudolf Clausius a francouzský fyzik Pierre Duhem .
Clausius – Duhemova nerovnost z hlediska specifické entropie Clausius – Duhemova nerovnost může být vyjádřena v integrální formulář jako
d d t ( ∫ Ω ρ η dV ) ≥ ∫ ∂ Ω ρ η ( u n − proti ⋅ n ) dA − ∫ ∂ Ω q ⋅ n T dA + ∫ Ω ρ s T dV . {displaystyle {cfrac {d} {dt}} vlevo (int _ {Omega} ho ~ eta ~ {ext {dV}} ight) geq int _ {částečné Omega} ho ~ eta ~ (u_ {n} -mathbf {v } cdot mathbf {n}) ~ {ext {dA}} - int _ {částečné Omega} {cfrac {mathbf {q} cdot mathbf {n}} {T}} ~ {ext {dA}} + int _ {Omega } {cfrac {ho ~ s} {T}} ~ {ext {dV}}.} V této rovnici t {displaystyle t,} Ω {displaystyle Omega,} integrace je nad objemem těla, ∂ Ω {displaystyle částečné Omega,} ρ {displaystyle ho,} Hmotnost hustota z těla, η {displaystyle eta,} entropie (entropie na jednotku hmotnosti), u n {displaystyle u_ {n},} normální rychlost ∂ Ω {displaystyle částečná Omega,} proti {displaystyle mathbf {v}} rychlost částic uvnitř Ω {displaystyle Omega,} n {displaystyle mathbf {n}} q {displaystyle mathbf {q}} teplo tok vektor, s {displaystyle s,} energie zdroj na jednotku hmotnosti a T {displaystyle T,} teplota . Všechny proměnné jsou funkcemi hmotného bodu v X {displaystyle mathbf {x}} t {displaystyle t,}
v rozdíl formu nerovnosti Clausius – Duhem lze zapsat jako
ρ η ˙ ≥ − ∇ ⋅ ( q T ) + ρ s T {displaystyle ho ~ {dot {eta}} geq - {oldsymbol {abla}} cdot left ({cfrac {mathbf {q}} {T}} ight) + {cfrac {ho ~ s} {T}}} kde η ˙ {displaystyle {dot {eta}}} η {displaystyle eta,} ∇ ⋅ ( A ) {displaystyle {oldsymbol {abla}} cdot (mathbf {a})} divergence z vektor A {displaystyle mathbf {a}}
Clausius – Duhemova nerovnost z hlediska specifické vnitřní energie Nerovnost lze vyjádřit pomocí vnitřní energie tak jako
ρ ( E ˙ − T η ˙ ) − σ : ∇ proti ≤ − q ⋅ ∇ T T {displaystyle ho ~ ({dot {e}} - T ~ {dot {eta}}) - {oldsymbol {sigma}}: {oldsymbol {abla}} mathbf {v} leq - {cfrac {mathbf {q} cdot { oldsymbol {abla}} T} {T}}} kde E ˙ {displaystyle {dot {e}}} E {displaystyle e,} σ {displaystyle {oldsymbol {sigma}}} Cauchyho stres , a ∇ proti {displaystyle {oldsymbol {abla}} mathbf {v}} spád rychlosti. Tato nerovnost zahrnuje energetická bilance a rovnováha lineární a momentové hybnosti do výrazu pro Clausius – Duhem nerovnost.
Důkaz Používání identity ∇ ⋅ ( φ proti ) = φ ∇ ⋅ proti + proti ⋅ ∇ φ {displaystyle {oldsymbol {abla}} cdot (varphi ~ mathbf {v}) = varphi ~ {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {v} + mathbf {v} cdot {oldsymbol {abla}} varphi}
ρ η ˙ ≥ − ∇ ⋅ ( q T ) + ρ s T nebo ρ η ˙ ≥ − 1 T ∇ ⋅ q − q ⋅ ∇ ( 1 T ) + ρ s T . {displaystyle ho ~ {dot {eta}} geq - {oldsymbol {abla}} cdot left ({cfrac {mathbf {q}} {T}} ight) + {cfrac {ho ~ s} {T}} qquad {ext {or}} qquad ho ~ {dot {eta}} geq - {cfrac {1} {T}} ~ {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {q} -mathbf {q} cdot {oldsymbol {abla}} vlevo ( {cfrac {1} {T}} ight) + {cfrac {ho ~ s} {T}}.} Nyní pomocí indexové notace s ohledem na a Kartézský souřadnicový systém E j {displaystyle mathbf {e} _ {j}}
∇ ( 1 T ) = ∂ ∂ X j ( T − 1 ) E j = − ( T − 2 ) ∂ T ∂ X j E j = − 1 T 2 ∇ T . {displaystyle {oldsymbol {abla}} vlevo ({cfrac {1} {T}} ight) = {frac {částečné} {částečné x_ {j}}} vlevo (T ^ {- 1} ight) ~ mathbf {e} _ {j} = - vlevo (T ^ {- 2} ight) ~ {frac {částečné T} {částečné x_ {j}}} ~ mathbf {e} _ {j} = - {cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ {oldsymbol {abla}} T.} Proto,
ρ η ˙ ≥ − 1 T ∇ ⋅ q + 1 T 2 q ⋅ ∇ T + ρ s T nebo ρ η ˙ ≥ − 1 T ( ∇ ⋅ q − ρ s ) + 1 T 2 q ⋅ ∇ T . {displaystyle ho ~ {dot {eta}} geq - {cfrac {1} {T}} ~ {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {q} + {cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ mathbf { q} cdot {oldsymbol {abla}} T + {cfrac {ho ~ s} {T}} qquad {ext {or}} qquad ho ~ {dot {eta}} geq - {cfrac {1} {T}} vlevo ( {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {q} -ho ~ sight) + {cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ mathbf {q} cdot {oldsymbol {abla}} T.} Z energetická bilance
ρ E ˙ − σ : ∇ proti + ∇ ⋅ q − ρ s = 0 ⟹ ρ E ˙ − σ : ∇ proti = − ( ∇ ⋅ q − ρ s ) . {displaystyle ho ~ {dot {e}} - {oldsymbol {sigma}}: {oldsymbol {abla}} mathbf {v} + {oldsymbol {abla}} cdot mathbf {q} -ho ~ s = 0qquad znamená qquad ho ~ {dot {e}} - {oldsymbol {sigma}}: {oldsymbol {abla}} mathbf {v} = - ({oldsymbol {abla}} cdot mathbf {q} -ho ~ s).} Proto,
ρ η ˙ ≥ 1 T ( ρ E ˙ − σ : ∇ proti ) + 1 T 2 q ⋅ ∇ T ⟹ ρ η ˙ T ≥ ρ E ˙ − σ : ∇ proti + q ⋅ ∇ T T . {displaystyle ho ~ {dot {eta}} geq {cfrac {1} {T}} vlevo (ho ~ {dot {e}} - {oldsymbol {sigma}}: {oldsymbol {abla}} mathbf {v} ight) + {cfrac {1} {T ^ {2}}} ~ mathbf {q} cdot {oldsymbol {abla}} Tqquad znamená qquad ho ~ {dot {eta}} ~ Tgeq ho ~ {dot {e}} - {oldsymbol {sigma}}: {oldsymbol {abla}} mathbf {v} + {cfrac {mathbf {q} cdot {oldsymbol {abla}} T} {T}}.} Přeskupení,
ρ ( E ˙ − T η ˙ ) − σ : ∇ proti ≤ − q ⋅ ∇ T T ◻ {displaystyle {ho ~ ({dot {e}} - T ~ {dot {eta}}) - {oldsymbol {sigma}}: {oldsymbol {abla}} mathbf {v} leq - {cfrac {mathbf {q} cdot {oldsymbol {abla}} T} {T}} qquad qquad square}}
Ztráta Množství
D := ρ ( T η ˙ − E ˙ ) + σ : ∇ proti − q ⋅ ∇ T T ≥ 0 {displaystyle {mathcal {D}}: = ho ~ (T ~ {dot {eta}} - {dot {e}}) + {oldsymbol {sigma}}: {oldsymbol {abla}} mathbf {v} - {cfrac {mathbf {q} cdot {oldsymbol {abla}} T} {T}} geq 0} se nazývá rozptýlení což je definováno jako míra interní entropie výroba na jednotku objemu krát absolutní teplota . Proto se nerovnost Clausius – Duhem nazývá také disipační nerovnost . Ve skutečném materiálu je rozptyl vždy větší než nula.
Viz také Reference ^ Truesdell, Clifford (1952), „Mechanické základy pružnosti a dynamiky tekutin“, Journal of Rational Mechanics and Analysis , 1 : 125–300^ Truesdell, Clifford & Toupin, Richard (1960), „Klasické polní teorie mechaniky“, Handbuch der Physik , III , Berlín: Springer ^ Frémond, M. (2006), „Nerovnost Clausius – Duhem, zajímavá a produktivní nerovnost“, Nehladká mechanika a analýza Pokroky v mechanice a matematice, 12 , New York: Springer, s. 107–118, doi :10.1007/0-387-29195-4_10 , ISBN 0-387-29196-2 externí odkazy 
