Kompatibilita (mechanika) - Compatibility (mechanics)

The hlavní část tohoto článku možná bude třeba přepsat. Použijte průvodce rozvržením elektrody zajistit, aby tato část dodržovala normy Wikipedie a obsahovala všechny důležité podrobnosti. (Leden 2010) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v mechanika kontinua, a kompatibilní deformace (nebo kmen ) tenzorové pole v těle to je unikátní tenzorové pole, které se získá, když je tělo vystaveno a kontinuální, jednohodnotový, pole posunutí. Kompatibilita je studium podmínek, za kterých lze takové pole posunutí zaručit. Podmínky kompatibility jsou zvláštní případy podmínky integrability a byly nejprve odvozeny pro lineární pružnost podle Barré de Saint-Venant v roce 1864 a důsledně prokázáno Beltrami v roce 1886.^[1]

V popisu kontinua pevného tělesa si představujeme, že tělo se skládá ze sady nekonečně malých objemů nebo hmotných bodů. Předpokládá se, že každý svazek je spojen se svými sousedy bez jakýchkoli mezer nebo přesahů. Musí být splněny určité matematické podmínky, aby se zajistilo, že při deformaci těla kontinua nevzniknou mezery / přesahy. Tělo, které se deformuje, aniž by vznikly mezery / přesahy, se nazývá a kompatibilní tělo. Podmínky kompatibility jsou matematické podmínky, které určují, zda konkrétní deformace ponechá těleso v kompatibilním stavu.^[2]

V kontextu nekonečně malá teorie napětí, tyto podmínky jsou ekvivalentní konstatování, že posunů v těle lze dosáhnout integrací kmeny. Taková integrace je možná, pokud je tenzor Saint-Venant (nebo tenzor nekompatibility) ${ displaystyle { boldsymbol {R}} ({ boldsymbol { varepsilon}})}$ zmizí v jednoduše připojené tělo^[3] kde ${ displaystyle { boldsymbol { varepsilon}}}$ je nekonečně malý tenzor napětí a

${ displaystyle { boldsymbol {R}}: = { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { varepsilon}}) = { boldsymbol {0}} ~.}$

Pro konečné deformace podmínky kompatibility mají podobu

${ displaystyle { boldsymbol {R}}: = { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol {F}} = { boldsymbol {0}}}$

kde ${ displaystyle { boldsymbol {F}}}$ je gradient deformace.

Podmínky kompatibility pro nekonečně malé kmeny

Podmínky kompatibility v lineární pružnost jsou získány pozorováním, že existuje šest vztahů deformace-posunutí, které jsou funkcemi pouze tří neznámých posunů. To naznačuje, že tři posunutí lze ze systému rovnic odstranit bez ztráty informací. Výsledné výrazy ve smyslu pouze kmenů poskytují omezení možných forem pole napětí.

2-rozměry

Pro dvourozměrné rovinné napětí problémy vztahů deformace a posunu

${ displaystyle varepsilon _ {11} = { cfrac { částečné u_ {1}} { částečné x_ {1}}} ~; ~~ varepsilon _ {12} = { cfrac {1} {2} } left [{ cfrac { částečné u_ {1}} { částečné x_ {2}}} + { cfrac { částečné u_ {2}} { částečné x_ {1}}} vpravo] ~; ~~ varepsilon _ {22} = { cfrac { částečné u_ {2}} { částečné x_ {2}}}}$

Opakovaná diferenciace těchto vztahů, aby se odstranily posuny ${ displaystyle u_ {1}}$ a ${ displaystyle u_ {2}}$, nám dává podmínku dvojrozměrné kompatibility pro kmeny

${ displaystyle { cfrac { částečné ^ {2} varepsilon _ {11}} { částečné x_ {2} ^ {2}}} - 2 { cfrac { částečné ^ {2} varepsilon _ {12 }} { částečné x_ {1} částečné x_ {2}}} + { cfrac { částečné ^ {2} varepsilon _ {22}} { částečné x_ {1} ^ {2}}} = 0 }$

Jediné pole posunutí, které je povoleno kompatibilním polem roviny přetvoření, je a posunutí roviny pole, tj. ${ displaystyle mathbf {u} = mathbf {u} (x_ {1}, x_ {2})}$.

3-rozměry

Ve třech dimenzích, kromě dvou dalších rovnic formy viděných pro dvě dimenze, existují další tři rovnice formy

${ displaystyle { cfrac { částečné ^ {2} varepsilon _ {33}} { částečné x_ {1} částečné x_ {2}}} = { cfrac { částečné} { částečné x_ {3} }} left [{ cfrac { částečné varepsilon _ {23}} { částečné x_ {1}}} + { cfrac { částečné varepsilon _ {31}} { částečné x_ {2}}} - { cfrac { částečné varepsilon _ {12}} { částečné x_ {3}}} vpravo]}$

Proto existují 3⁴= 81 parciálních diferenciálních rovnic, ale kvůli podmínkám symetrie se tento počet snižuje na šest různé podmínky kompatibility. Tyto podmínky můžeme zapsat do indexové notace jako^[4]

${ displaystyle e_ {ikr} ~ e_ {jls} ~ varepsilon _ {ij, kl} = 0}$

kde ${ displaystyle e_ {ijk}}$ je symbol obměny. V přímé tenzorové notaci

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { varepsilon}}) = { boldsymbol {0}}}$

kde operátor zvlnění lze vyjádřit v ortonormálním souřadném systému jako ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { varepsilon}} = e_ {ijk} varepsilon _ {rj, i} mathbf {e} _ {k} otimes mathbf {e} _ {r}}$.

Tenzor druhého řádu

${ displaystyle { boldsymbol {R}}: = { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { varepsilon}}) ~; ~~ R_ {rs} : = e_ {ikr} ~ e_ {jls} ~ varepsilon _ {ij, kl}}$

je známý jako tenzor nekompatibility, a je ekvivalentní s Tenzor kompatibility Saint-Venant

Podmínky kompatibility pro konečné kmeny

U pevných látek, u nichž se nevyžaduje, aby byly deformace malé, mají formu podmínky kompatibility

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} krát { boldsymbol {F}} = { boldsymbol {0}}}$

kde ${ displaystyle { boldsymbol {F}}}$ je gradient deformace. Pokud jde o komponenty s ohledem na kartézský souřadný systém, můžeme tyto vztahy kompatibility zapsat jako

${ displaystyle e_ {ABC} ~ { cfrac { částečné F_ {iB}} { částečné X_ {A}}} = 0}$

Tato podmínka je nutné pokud má být deformace spojitá a odvozená z mapování ${ displaystyle mathbf {x} = { boldsymbol { chi}} ( mathbf {X}, t)}$ (vidět Teorie konečných deformací ). Stejná podmínka je také dostatečný zajistit kompatibilitu v a jednoduše připojeno tělo.

Podmínka kompatibility pro pravý tenzor deformace Cauchy-Green

Podmínka kompatibility pro pravý Cauchy-Greenův deformační tenzor lze vyjádřit jako

${ displaystyle R _ { alfa beta rho} ^ { gamma}: = { frac { částečné} { částečné X ^ { rho}}} [ gama _ { alfa beta} ^ { gamma}] - { frac { částečné} { částečné X ^ { beta}}} [ Gamma _ { alpha rho} ^ { gamma}] + Gamma _ { mu rho} ^ { gamma} ~ Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} - Gamma _ { mu beta} ^ { gamma} ~ Gamma _ { alpha rho} ^ { mu} = 0 }$

kde ${ displaystyle Gamma _ {ij} ^ {k}}$ je Christoffelův symbol druhého druhu. Množství ${ displaystyle R_ {ijk} ^ {m}}$ představuje smíšené složky Riemann-Christoffelův tenzor zakřivení.

Obecný problém s kompatibilitou

Problém kompatibility v mechanice kontinua zahrnuje stanovení přípustných jednohodnotových spojitých polí na jednoduše spojených tělesech. Přesněji lze problém uvést následujícím způsobem.^[5]

Obrázek 1. Pohyb tělesa kontinua.

Zvažte deformaci tělesa znázorněného na obrázku 1. Vyjádříme-li všechny vektory z hlediska referenčního souřadného systému ${ displaystyle {( mathbf {E} _ {1}, mathbf {E} _ {2}, mathbf {E} _ {3}), O }}$, je posunutí bodu v těle dáno vztahem

${ displaystyle mathbf {u} = mathbf {x} - mathbf {X} ~; ~~ u_ {i} = x_ {i} -X_ {i}}$

Taky

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {u} = { frac { částečné mathbf {u}} { částečné mathbf {X}}} ~; ~~ { boldsymbol { nabla} } mathbf {x} = { frac { částečné mathbf {x}} { částečné mathbf {X}}}}$

Jaké podmínky na daném tenzorovém poli druhého řádu ${ displaystyle { boldsymbol {A}} ( mathbf {X})}$ na těle jsou nezbytné a dostatečné, aby existovalo jedinečné vektorové pole ${ displaystyle mathbf {v} ( mathbf {X})}$ to uspokojuje

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {v} = { boldsymbol {A}} quad equiv quad v_ {i, j} = A_ {ij}}$

Nezbytné podmínky

Za nezbytných podmínek předpokládáme, že pole ${ displaystyle mathbf {v}}$ existuje a uspokojuje${ displaystyle v_ {i, j} = A_ {ij}}$. Pak

${ displaystyle v_ {i, jk} = A_ {ij, k} ~; ~~ v_ {i, kj} = A_ {ik, j}}$

Protože změna pořadí diferenciace nemá vliv na výsledek, který máme

${ displaystyle v_ {i, jk} = v_ {i, kj}}$

Proto

${ displaystyle A_ {ij, k} = A_ {ik, j}}$

Ze známé identity pro zvlnění tenzoru dostaneme nezbytnou podmínku

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} krát { boldsymbol {A}} = { boldsymbol {0}}}$

Dostatečné podmínky

Obrázek 2. Integrační cesty používané k prokázání podmínek dostatečnosti pro kompatibilitu.

Abychom dokázali, že tato podmínka je dostatečná k zajištění existence kompatibilního tenzorového pole druhého řádu, začneme s předpokladem, že pole ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ existuje takový, že${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} krát { boldsymbol {A}} = { boldsymbol {0}}}$. Toto pole integrujeme, abychom našli vektorové pole ${ displaystyle mathbf {v}}$ podél čáry mezi body ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ (viz obrázek 2), tj.

${ displaystyle mathbf {v} ( mathbf {X} _ {B}) - mathbf {v} ( mathbf {X} _ {A}) = int _ { mathbf {X} _ {A} } ^ { mathbf {X} _ {B}} { boldsymbol { nabla}} mathbf {v} cdot ~ d mathbf {X} = int _ { mathbf {X} _ {A}} ^ { mathbf {X} _ {B}} { boldsymbol {A}} ( mathbf {X}) cdot d mathbf {X}}$

Pokud je vektorové pole ${ displaystyle mathbf {v}}$ má být jednohodnotová, pak by hodnota integrálu měla být nezávislá na cestě, kterou se má jít ${ displaystyle A}$ na ${ displaystyle B}$.

Z Stokesova věta, je integrál tenzoru druhého řádu podél uzavřené dráhy dán vztahem

${ displaystyle mast _ { částečné Omega} { boldsymbol {A}} cdot d mathbf {s} = int _ { Omega} mathbf {n} cdot ({ boldsymbol { nabla} } times { boldsymbol {A}}) ~ da}$

Pomocí předpokladu, že zvlnění ${ displaystyle { boldsymbol {A}}}$ je nula, dostaneme

${ displaystyle mast _ { částečné Omega} { boldsymbol {A}} cdot d mathbf {s} = 0 quad implikuje quad int _ {AB} { boldsymbol {A}} cdot d mathbf {X} + int _ {BA} { boldsymbol {A}} cdot d mathbf {X} = 0}$

Proto je integrál nezávislý na cestě a podmínka kompatibility je dostatečná k zajištění jedinečnosti ${ displaystyle mathbf {v}}$ pole za předpokladu, že je tělo jednoduše připojeno.

Kompatibilita deformačního gradientu

Podmínka kompatibility pro deformační gradient se získá přímo z výše uvedeného důkazu pozorováním toho

${ displaystyle { boldsymbol {F}} = { cfrac { částečné mathbf {x}} { částečné mathbf {X}}} = { boldsymbol { nabla}} mathbf {x}}$

Pak nezbytné a dostatečné podmínky pro existenci kompatibilní ${ displaystyle { boldsymbol {F}}}$ pole přes jednoduše spojené tělo jsou

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} krát { boldsymbol {F}} = { boldsymbol {0}}}$

Kompatibilita nekonečně malých kmenů

Problém s kompatibilitou pro malé kmeny lze uvést následovně.

Vzhledem k symetrickému tenzorovému poli druhého řádu ${ displaystyle { boldsymbol { epsilon}}}$ kdy je možné postavit vektorové pole ${ displaystyle mathbf {u}}$ takhle

${ displaystyle { boldsymbol { epsilon}} = { frac {1} {2}} [{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} + ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {u }) ^ {T}]}$

Nezbytné podmínky

Předpokládejme, že existuje ${ displaystyle mathbf {u}}$ tak, že výraz pro ${ displaystyle { boldsymbol { epsilon}}}$ drží. Nyní

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {u} = { boldsymbol { epsilon}} + { boldsymbol { omega}}}$

kde

${ displaystyle { boldsymbol { omega}}: = { frac {1} {2}} [{ boldsymbol { nabla}} mathbf {u} - ({ boldsymbol { nabla}} mathbf { u}) ^ {T}]}$

Proto v indexové notaci

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} { boldsymbol { omega}} equiv omega _ {ij, k} = { frac {1} {2}} (u_ {i, jk} -u_ { j, ik}) = { frac {1} {2}} (u_ {i, jk} + u_ {k, ji} -u_ {j, ik} -u_ {k, ji}) = varepsilon _ { ik, j} - varepsilon _ {jk, i}}$

Li ${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$ je neustále diferencovatelný ${ displaystyle omega _ {ij, kl} = omega _ {ij, lk}}$. Proto,

${ displaystyle varepsilon _ {ik, jl} - varepsilon _ {jk, il} - varepsilon _ {il, jk} + varepsilon _ {jl, ik} = 0}$

V přímé tenzorové notaci

${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}}) = { boldsymbol {0}}}$

Výše uvedené jsou nezbytné podmínky. Li ${ displaystyle mathbf {w}}$ je nekonečně malý rotační vektor pak ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}} = { boldsymbol { nabla}} mathbf {w} + { boldsymbol { nabla}} mathbf {w} ^ {T}}$. Proto může být nezbytná podmínka také zapsána jako ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} mathbf {w} + { boldsymbol { nabla}} mathbf {w} ^ {T}) = { boldsymbol {0}}}$.

Dostatečné podmínky

Předpokládejme nyní, že podmínka ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}}) = { boldsymbol {0}}}$ je spokojen v části těla. Je tato podmínka dostatečná k zajištění existence kontinuálního pole posunutí s jednou hodnotou ${ displaystyle mathbf {u}}$?

Prvním krokem v procesu je ukázat, že tato podmínka znamená, že: nekonečně malý tenzor rotace ${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$ je jednoznačně definována. K tomu se integrujeme ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} mathbf {w}}$ Podél cesty ${ displaystyle mathbf {X} _ {A}}$ na ${ displaystyle mathbf {X} _ {B}}$, tj.,

${ displaystyle mathbf {w} ( mathbf {X} _ {B}) - mathbf {w} ( mathbf {X} _ {A}) = int _ { mathbf {X} _ {A} } ^ { mathbf {X} _ {B}} { boldsymbol { nabla}} mathbf {w} cdot d mathbf {X} = int _ { mathbf {X} _ {A}} ^ { mathbf {X} _ {B}} ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}}) cdot d mathbf {X}}$

Všimněte si, že potřebujeme znát odkaz ${ displaystyle mathbf {w} ( mathbf {X} _ {A})}$ zafixovat tuhou rotaci těla. Pole ${ displaystyle mathbf {w} ( mathbf {X})}$ je jednoznačně určeno pouze v případě, že obrysový integrál podél uzavřeného obrysu mezi ${ displaystyle mathbf {X} _ {A}}$ a ${ displaystyle mathbf {X} _ {b}}$ je nula, tj.

${ displaystyle mast _ { mathbf {X} _ {A}} ^ { mathbf {X} _ {B}} ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}}) cdot d mathbf {X} = { boldsymbol {0}}}$

Ale ze Stokesovy věty pro jednoduše připojené tělo a nezbytnou podmínku pro kompatibilitu

${ displaystyle mast _ { mathbf {X} _ {A}} ^ { mathbf {X} _ {B}} ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}}) cdot d mathbf {X} = int _ { Omega _ {AB}} mathbf {n} cdot ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}}) ~ da = { boldsymbol {0}}}$

Proto pole ${ displaystyle mathbf {w}}$ je jednoznačně definován, což znamená, že nekonečně malý tenzor rotace ${ displaystyle { boldsymbol { omega}}}$ je také jednoznačně definováno, pokud je tělo jednoduše připojeno.

V dalším kroku procesu budeme uvažovat o jedinečnosti pole posunutí ${ displaystyle mathbf {u}}$. Stejně jako dříve integrujeme gradient posunutí

${ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {X} _ {B}) - mathbf {u} ( mathbf {X} _ {A}) = int _ { mathbf {X} _ {A} } ^ { mathbf {X} _ {B}} { boldsymbol { nabla}} mathbf {u} cdot d mathbf {X} = int _ { mathbf {X} _ {A}} ^ { mathbf {X} _ {B}} ({ boldsymbol { epsilon}} + { boldsymbol { omega}}) cdot d mathbf {X}}$

Ze Stokesovy věty a použití vztahů ${ displaystyle { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}} = { boldsymbol { nabla}} mathbf {w} = - { boldsymbol { nabla}} times omega}$ my máme

${ displaystyle mast _ { mathbf {X} _ {A}} ^ { mathbf {X} _ {B}} ({ boldsymbol { epsilon}} + { boldsymbol { omega}}) cdot d mathbf {X} = int _ { Omega _ {AB}} mathbf {n} cdot ({ boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { epsilon}} + { boldsymbol { nabla}} times { boldsymbol { omega}}) ~ da = { boldsymbol {0}}}$

Proto pole posunutí ${ displaystyle mathbf {u}}$ je také určeno jednoznačně. Z tohoto důvodu jsou podmínky kompatibility dostatečné k zajištění existence jedinečného pole posunutí ${ displaystyle mathbf {u}}$ v jednoduše připojeném těle.

Kompatibilita pro pole pravé Cauchy-zelené deformace

Problém kompatibility pro deformační pole pravé Cauchy-zelené lze položit následovně.

Problém: Nechat ${ displaystyle { boldsymbol {C}} ( mathbf {X})}$ být pozitivní definitivní symetrické tenzorové pole definované v referenční konfiguraci. Za jakých podmínek ${ displaystyle { boldsymbol {C}}}$ existuje zdeformovaná konfigurace označená polem polohy ${ displaystyle mathbf {x} ( mathbf {X})}$ takhle

${ displaystyle (1) quad left ({ frac { částečné mathbf {x}} { částečné mathbf {X}}} pravé) ^ {T} vlevo ({ frac { částečné mathbf {x}} { částečné mathbf {X}}} vpravo) = { boldsymbol {C}}}$

Nezbytné podmínky

Předpokládejme, že pole ${ displaystyle mathbf {x} ( mathbf {X})}$ existuje podmínka (1). Pokud jde o komponenty s ohledem na obdélníkový kartézský základ

${ displaystyle { frac { částečné x ^ {i}} { částečné X ^ { alpha}}} { frac { částečné x ^ {i}} { částečné X ^ { beta}}} = C _ { alpha beta}}$

Z teorie konečných deformací víme, že ${ displaystyle C _ { alpha beta} = g _ { alpha beta}}$. Proto můžeme psát

${ displaystyle delta _ {ij} ~ { frac { částečné x ^ {i}} { částečné X ^ { alpha}}} ~ { frac { částečné x ^ {j}} { částečné X ^ { beta}}} = g _ { alpha beta}}$

Pro dvě symetrická tenzorová pole druhého řádu, která jsou mapována jedna k jedné, máme také vztah

${ displaystyle G_ {ij} = { frac { částečné X ^ { alpha}} { částečné x ^ {i}}} ~ { frac { částečné X ^ { beta}} { částečné x ^ {j}}} ~ g _ { alpha beta}}$

Ze vztahu mezi ${ displaystyle G_ {ij}}$ a ${ displaystyle g _ { alpha beta}}$ že ${ displaystyle delta _ {ij} = G_ {ij}}$, my máme

${ displaystyle _ {(x)} gama _ {ij} ^ {k} = 0}$

Potom ze vztahu

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} x ^ {m}} { částečné X ^ { alpha} částečné X ^ { beta}}} = { frac { částečné x ^ {m} } { částečné X ^ { mu}}} , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} - { frac { částečné x ^ {i}} { částečné X ^ { alpha}}} ~ { frac { částečné x ^ {j}} { částečné X ^ { beta}}} , _ {(x)} gama _ {ij} ^ {m} }$

my máme

${ displaystyle { frac { částečné F_ {~ alpha} ^ {m}} { částečné X ^ { beta}}} = F_ {~ mu} ^ {m} , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} qquad; ~~ F_ {~ alpha} ^ {i}: = { frac { částečné x ^ {i}} { částečné X ^ { alfa}}}}$

Z teorie konečných deformací také máme

${ displaystyle _ {(X)} Gamma _ { alpha beta gamma} = { frac {1} {2}} left ({ frac { částečný g _ { alpha gamma}} { částečné X ^ { beta}}} + { frac { částečné g _ { beta gamma}} { částečné X ^ { alfa}}} - { frac { částečné g _ { alfa beta}} { částečné X ^ { gamma}}} vpravo) ~; ~~ _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { nu} = g ^ { nu gamma} , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta gamma} ~; ~~ g _ { alpha beta} = C _ { alpha beta} ~; ~~ g ^ { alpha beta} = C ^ { alpha beta}}$

Proto,

${ displaystyle , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} = { cfrac {C ^ { mu gamma}} {2}} vlevo ({ frac { částečná C _ { alpha gamma}} { částečná X ^ { beta}}} + { frac { částečná C _ { beta gamma}} { částečná X ^ { alfa}}} - { frac { částečné C _ { alfa beta}} { částečné X ^ { gamma}}} vpravo)}$

a máme

${ displaystyle { frac { částečné F_ {~ alpha} ^ {m}} { částečné X ^ { beta}}} = F_ {~ mu} ^ {m} ~ { cfrac {C ^ { mu gamma}} {2}} vlevo ({ frac { částečný C _ { alpha gamma}} { částečný X ^ { beta}}} + { frac { částečný C _ { beta gamma}} { částečné X ^ { alfa}}} - { frac { částečné C _ { alfa beta}} { částečné X ^ { gamma}}} vpravo)}$

Opět platí, že používáme komutativní povahu řádu diferenciace

${ displaystyle { frac { částečné ^ {2} F_ {~ alfa} ^ {m}} { částečné X ^ { beta} částečné X ^ { rho}}} = { frac { částečné ^ {2} F_ {~ alpha} ^ {m}} { částečný X ^ { rho} částečný X ^ { beta}}} znamená { frac { částečný F_ {~ mu} ^ { m}} { částečné X ^ { rho}}} , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} + F_ {~ mu} ^ {m} ~ { frac { částečné} { částečné X ^ { rho}}} [, _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu}] = { frac { částečné F_ {~ mu} ^ {m}} { částečné X ^ { beta}}} , _ {(X)} Gamma _ { alpha rho} ^ { mu} + F_ {~ mu} ^ { m} ~ { frac { částečné} { částečné X ^ { beta}}} [, _ {(X)} Gamma _ { alpha rho} ^ { mu}]}$

nebo

${ displaystyle F_ {~ gamma} ^ {m} , _ {(X)} gama _ { mu rho} ^ { gamma} , _ {(X)} gama _ { alfa beta} ^ { mu} + F_ {~ mu} ^ {m} ~ { frac { částečné} { částečné X ^ { rho}}} [, _ {(X)} gama _ { alpha beta} ^ { mu}] = F_ {~ gamma} ^ {m} , _ {(X)} Gamma _ { mu beta} ^ { gamma} , _ {(X )} Gamma _ { alpha rho} ^ { mu} + F_ {~ mu} ^ {m} ~ { frac { částečné} { částečné X ^ { beta}}} [, _ {(X)} Gamma _ { alpha rho} ^ { mu}]}$

Po shromáždění podmínek dostaneme

${ displaystyle F_ {~ gamma} ^ {m} left (, _ {(X)} Gamma _ { mu rho} ^ { gamma} , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} + { frac { částečné} { částečné X ^ { rho}}} [, _ {(X)} gama _ { alfa beta} ^ { gamma}] - , _ {(X)} Gamma _ { mu beta} ^ { gamma} , _ {(X)} Gamma _ { alpha rho} ^ { mu} - { frac { částečné} { částečné X ^ { beta}}} [, _ {(X)} Gamma _ { alpha rho} ^ { gamma}] right) = 0}$

Z definice ${ displaystyle F _ { gamma} ^ {m}}$ pozorujeme, že je to invertibilní a proto nemůže být nula. Proto,

${ displaystyle R _ { alpha beta rho} ^ { gamma}: = { frac { částečné} { částečné X ^ { rho}}} [, _ {(X)} gama _ { alpha beta} ^ { gamma}] - { frac { částečné} { částečné X ^ { beta}}} [, _ {(X)} gama _ { alpha rho} ^ { gamma}] + , _ {(X)} Gamma _ { mu rho} ^ { gamma} , _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { mu} - , _ {(X)} Gamma _ { mu beta} ^ { gamma} , _ {(X)} Gamma _ { alpha rho} ^ { mu} = 0}$

Můžeme ukázat, že se jedná o smíšené složky Riemann-Christoffelův tenzor zakřivení. Proto jsou nezbytné podmínky pro ${ displaystyle { boldsymbol {C}}}$-kompatibilita spočívá v tom, že Riemannovo-Christoffelovo zakřivení deformace je nulové.

Dostatečné podmínky

Důkaz dostatečnosti je trochu více zapojen.^[5][6] Začneme s předpokladem, že

${ displaystyle R _ { alpha beta rho} ^ { gamma} = 0 ~; ~~ g _ { alpha beta} = C _ { alpha beta}}$

Musíme ukázat, že existují ${ displaystyle mathbf {x}}$ a ${ displaystyle mathbf {X}}$ takhle

${ displaystyle { frac { částečné x ^ {i}} { částečné X ^ { alpha}}} { frac { částečné x ^ {i}} { částečné X ^ { beta}}} = C _ { alpha beta}}$

Z věty od T.Y. Thomase ^[7] víme, že soustava rovnic

${ displaystyle { frac { částečné F_ {~ alpha} ^ {i}} { částečné X ^ { beta}}} = F_ {~ gamma} ^ {i} ~ , _ {(X) } Gamma _ { alpha beta} ^ { gamma}}$

má jedinečná řešení ${ displaystyle F_ {~ alpha} ^ {i}}$ přes jednoduše připojené domény, pokud

${ displaystyle _ {(X)} Gamma _ { alpha beta} ^ { gamma} = _ {(X)} Gamma _ { beta alpha} ^ { gamma} ~; ~~ R_ { alpha beta rho} ^ { gamma} = 0}$

První z nich je pravdivý z definice ${ displaystyle Gamma _ {jk} ^ {i}}$ a předpokládá se druhé. Předpokládaná podmínka nám tedy dává jedinečnost ${ displaystyle F_ {~ alpha} ^ {i}}$ to je ${ displaystyle C ^ {2}}$ kontinuální.

Dále zvažte soustavu rovnic

${ displaystyle { frac { částečné x ^ {i}} { částečné X ^ { alpha}}} = F_ {~ alpha} ^ {i}}$

Od té doby ${ displaystyle F_ {~ alpha} ^ {i}}$ je ${ displaystyle C ^ {2}}$ a tělo je jednoduše spojeno, existuje nějaké řešení ${ displaystyle x ^ {i} (X ^ { alpha})}$ k výše uvedeným rovnicím. Můžeme ukázat, že ${ displaystyle x ^ {i}}$ také uspokojit vlastnost, že

${ displaystyle det left | { frac { částečné x ^ {i}} { částečné X ^ { alpha}}} pravé | neq 0}$

Můžeme také ukázat, že vztah

${ displaystyle { frac { částečné x ^ {i}} { částečné X ^ { alpha}}} ~ g ^ { alpha beta} ~ { frac { částečné x ^ {j}} { částečné X ^ { beta}}} = delta ^ {ij}}$

to naznačuje

${ displaystyle g _ { alpha beta} = C _ { alpha beta} = { frac { částečné x ^ {k}} { částečné X ^ { alfa}}} ~ { frac { částečné x ^ {k}} { částečné X ^ { beta}}}}$

Pokud spojíme tyto veličiny s tenzorovými poli, můžeme to ukázat ${ displaystyle { frac { částečné mathbf {x}} { částečné mathbf {X}}}}$ je invertibilní a vytvořené tenzorové pole splňuje výraz pro ${ displaystyle { boldsymbol {C}}}$.

Viz také

• Podmínka kompatibility Saint-Venant
• Lineární pružnost
• Deformace (mechanika)
• Infinitezimální teorie přetvoření
• Teorie konečných deformací
• Tenzorová derivace (mechanika kontinua)
• Křivočaré souřadnice

Reference

externí odkazy

• Amit Acharya poznámky ke kompatibilitě na iMechanica
• Plasticita J. Lublinera, sek. 1.2.4 s. 35