Akustická teorie je vědecký obor, který souvisí s popisem zvukové vlny . Vychází z dynamika tekutin . Vidět akustika pro inženýrství přístup.
Pro zvukové vlny jakékoli velikosti narušení rychlosti, tlaku a hustoty máme
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ proti + ∇ ⋅ ( ρ ′ proti ) = 0 (Zachování mše) ( ρ 0 + ρ ′ ) ∂ proti ∂ t + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( proti ⋅ ∇ ) proti + ∇ p ′ = 0 (Pohybová rovnice) {displaystyle {egin {aligned} {frac {partial ho '} {částečné t}} + ho _ {0} abla cdot mathbf {v} + abla cdot (ho' mathbf {v}) & = 0qquad {ext {(ochrana mše)}} (ho _ {0} + ho ') {frac {částečná mathbf {v}} {částečná t}} + (ho _ {0} + ho') (mathbf {v} cdot abla) mathbf {v} + abla p '& = 0qquad {ext {(pohybová rovnice)}} konec {zarovnáno}}} V případě, že fluktuace rychlosti, hustoty a tlaku jsou malé, můžeme je přiblížit jako
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ proti = 0 ∂ proti ∂ t + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {částečné ho '} {částečné t}} + ho _ {0} abla cdot mathbf {v} & = 0 {frac {částečné mathbf {v}} {částečné t}} + {frac {1} {ho _ {0}}} abla p '& = 0end {aligned}}} Kde proti ( X , t ) {displaystyle mathbf {v} (mathbf {x}, t)} je narušená rychlost tekutiny, p 0 {displaystyle p_ {0}} je tlak tekutiny v klidu, p ′ ( X , t ) {displaystyle p '(mathbf {x}, t)} je narušený tlak systému jako funkce prostoru a času, ρ 0 {displaystyle ho _ {0}} je hustota kapaliny v klidu a ρ ′ ( X , t ) {displaystyle ho '(mathbf {x}, t)} je rozptyl hustoty tekutiny v prostoru a čase.
V případě, že rychlost je irrotační ( ∇ × proti = 0 {displaystyle abla imes mathbf {v} = 0} ), máme rovnici akustické vlny, která popisuje systém:
1 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2 − ∇ 2 ϕ = 0 {displaystyle {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {částečné ^ {2} phi} {částečné t ^ {2}}} - abla ^ {2} phi = 0} Kde máme
proti = − ∇ ϕ C 2 = ( ∂ p ∂ ρ ) s p ′ = ρ 0 ∂ ϕ ∂ t ρ ′ = ρ 0 C 2 ∂ ϕ ∂ t {displaystyle {egin {aligned} mathbf {v} & = - abla phi c ^ {2} & = ({frac {částečné p} {částečné ho}}) _ {s} p '& = ho _ {0 } {frac {částečný phi} {částečný t}} ho '& = {frac {ho _ {0}} {c ^ {2}}} {frac {částečný phi} {částečný t}} konec {zarovnán}} }
Odvození pro médium v klidu Počínaje rovnicí kontinuity a Eulerovou rovnicí:
∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ρ proti = 0 ρ ∂ proti ∂ t + ρ ( proti ⋅ ∇ ) proti + ∇ p = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {částečné ho} {částečné t}} + abla cdot ho mathbf {v} & = 0 ho {frac {částečné mathbf {v}} {částečné}} + ho (mathbf { v} cdot abla) mathbf {v} + abla p & = 0end {zarovnáno}}} Vezmeme-li malé poruchy konstantního tlaku a hustoty:
ρ = ρ 0 + ρ ′ p = p 0 + p ′ {displaystyle {egin {aligned} ho & = ho _ {0} + ho ' p & = p_ {0} + p'end {aligned}}} Pak jsou rovnice systému
∂ ∂ t ( ρ 0 + ρ ′ ) + ∇ ⋅ ( ρ 0 + ρ ′ ) proti = 0 ( ρ 0 + ρ ′ ) ∂ proti ∂ t + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( proti ⋅ ∇ ) proti + ∇ ( p 0 + p ′ ) = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {částečný} {částečný t}} (ho _ {0} + ho ') + abla cdot (ho _ {0} + ho') mathbf {v} & = 0 (ho _ {0} + ho ') {frac {částečná mathbf {v}} {částečná t}} + (ho _ {0} + ho') (mathbf {v} cdot abla) mathbf {v} + abla (p_ { 0} + p ') & = 0end {zarovnáno}}} S vědomím, že rovnovážné tlaky a hustoty jsou konstantní, to se zjednodušuje
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ proti + ∇ ⋅ ρ ′ proti = 0 ( ρ 0 + ρ ′ ) ∂ proti ∂ t + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( proti ⋅ ∇ ) proti + ∇ p ′ = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {partial ho '} {částečné t}} + ho _ {0} abla cdot mathbf {v} + abla cdot ho' mathbf {v} & = 0 (ho _ {0} + ho ') {frac {částečná mathbf {v}} {částečná t}} + (ho _ {0} + ho') (mathbf {v} cdot abla) mathbf {v} + abla p '& = 0end {zarovnáno }}} Pohyblivé médium Začínání s
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ w + ∇ ⋅ ρ ′ w = 0 ( ρ 0 + ρ ′ ) ∂ w ∂ t + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( w ⋅ ∇ ) w + ∇ p ′ = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {partial ho '} {částečné t}} + ho _ {0} abla cdot mathbf {w} + abla cdot ho' mathbf {w} & = 0 (ho _ {0} + ho ') {frac {částečná mathbf {w}} {částečná t}} + (ho _ {0} + ho') (mathbf {w} cdot abla) mathbf {w} + abla p '& = 0end {zarovnáno }}} Můžeme nechat tyto rovnice pracovat pro pohyblivé médium nastavením w = u + proti {displaystyle mathbf {w} = mathbf {u} + mathbf {v}} , kde u {displaystyle mathbf {u}} je konstantní rychlost, kterou se pohybuje celá tekutina, než je narušena (ekvivalent pohybujícího se pozorovatele) a proti {displaystyle mathbf {v}} je rychlost tekutiny.
V tomto případě vypadají rovnice velmi podobně:
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ proti + u ⋅ ∇ ρ ′ + ∇ ⋅ ρ ′ proti = 0 ( ρ 0 + ρ ′ ) ∂ proti ∂ t + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( u ⋅ ∇ ) proti + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( proti ⋅ ∇ ) proti + ∇ p ′ = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {partial ho '} {částečné t}} + ho _ {0} abla cdot mathbf {v} + mathbf {u} cdot abla ho' + abla cdot ho 'mathbf {v} & = 0 (ho _ {0} + ho ') {frac {částečná mathbf {v}} {částečná t}} + (ho _ {0} + ho') (mathbf {u} cdot abla) mathbf {v} + (ho _ {0} + ho ') (mathbf {v} cdot abla) mathbf {v} + abla p' & = 0end {aligned}}} Toto nastavení si povšimněte u = 0 {displaystyle mathbf {u} = 0} vrací rovnice v klidu.
Linearizované vlny Počínaje výše uvedenými pohybovými rovnicemi pro klidové médium:
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ proti + ∇ ⋅ ρ ′ proti = 0 ( ρ 0 + ρ ′ ) ∂ proti ∂ t + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( proti ⋅ ∇ ) proti + ∇ p ′ = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {partial ho '} {částečné t}} + ho _ {0} abla cdot mathbf {v} + abla cdot ho' mathbf {v} & = 0 (ho _ {0} + ho ') {frac {částečná mathbf {v}} {částečná t}} + (ho _ {0} + ho') (mathbf {v} cdot abla) mathbf {v} + abla p '& = 0end {zarovnáno }}} Pojďme nyní proti , ρ ′ , p ′ {displaystyle mathbf {v}, ho ', p'} aby to byla malá množství.
V případě, že ponecháme podmínky prvního řádu, pro rovnici kontinuity máme ρ ′ proti {displaystyle ho 'mathbf {v}} termín jde na 0. To obdobně platí pro časy perturbace hustoty, časovou derivaci rychlosti. Navíc prostorové složky materiálové derivace jdou na 0. Po přeuspořádání rovnovážné hustoty tedy máme:
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ proti = 0 ∂ proti ∂ t + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {částečné ho '} {částečné t}} + ho _ {0} abla cdot mathbf {v} & = 0 {frac {částečné mathbf {v}} {částečné t}} + {frac {1} {ho _ {0}}} abla p '& = 0end {aligned}}} Dále, vzhledem k tomu, že se naše zvuková vlna vyskytuje v ideální tekutině, je pohyb adiabatický a potom můžeme spojit malou změnu tlaku s malou změnou hustoty o
p ′ = ( ∂ p ∂ ρ 0 ) s ρ ′ {displaystyle p '= ({frac {částečné p} {částečné ho _ {0}}}) _ {s} ho'} Za této podmínky vidíme, že nyní máme
∂ p ′ ∂ t + ρ 0 ( ∂ p ∂ ρ 0 ) s ∇ ⋅ proti = 0 ∂ proti ∂ t + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {částečné p '} {částečné t}} + ho _ {0} ({frac {částečné p} {částečné ho _ {0}}}) _ {s} abla cdot mathbf { v} & = 0 {frac {částečná mathbf {v}} {částečná t}} + {frac {1} {ho _ {0}}} abla p '& = 0end {zarovnáno}}} Definování rychlosti zvuku systému:
C ≡ ( ∂ p ∂ ρ 0 ) s {displaystyle cequiv {sqrt {({frac {částečné p} {částečné ho _ {0}}}) _ {s}}}} Všechno se stává
∂ p ′ ∂ t + ρ 0 C 2 ∇ ⋅ proti = 0 ∂ proti ∂ t + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {částečné p '} {částečné t}} + ho _ {0} c ^ {2} abla cdot mathbf {v} & = 0 {frac {částečné mathbf {v}} { částečné t}} + {frac {1} {ho _ {0}}} abla p '& = 0end {zarovnáno}}} Pro irrotační kapaliny V případě, že tekutina je irrotační, to je ∇ × proti = 0 {displaystyle abla imes mathbf {v} = 0} , pak můžeme psát proti = − ∇ ϕ {displaystyle mathbf {v} = -abla phi} a tak napište naše pohybové rovnice jako
∂ p ′ ∂ t − ρ 0 C 2 ∇ 2 ϕ = 0 − ∇ ∂ ϕ ∂ t + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {částečné p '} {částečné t}} - ho _ {0} c ^ {2} abla ^ {2} phi & = 0 -abla {frac {částečné phi} {částečné t}} + {frac {1} {ho _ {0}}} abla p '& = 0end {aligned}}} To nám říká druhá rovnice
p ′ = ρ 0 ∂ ϕ ∂ t {displaystyle p '= ho _ {0} {frac {částečné phi} {částečné t}}} A použití této rovnice v rovnici kontinuity nám to říká
ρ 0 ∂ 2 ϕ ∂ t − ρ 0 C 2 ∇ 2 ϕ = 0 {displaystyle ho _ {0} {frac {částečné ^ {2} phi} {částečné t}} - ho _ {0} c ^ {2} abla ^ {2} phi = 0} To se zjednodušuje na
1 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2 − ∇ 2 ϕ = 0 {displaystyle {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {částečné ^ {2} phi} {částečné t ^ {2}}} - abla ^ {2} phi = 0} Tedy rychlostní potenciál ϕ {displaystyle phi} poslouchá vlnovou rovnici v limitu malých poruch. Okrajové podmínky potřebné k řešení potenciálu pocházejí ze skutečnosti, že rychlost kapaliny musí být 0 kolmá k pevným povrchům systému.
Vezmeme-li časovou derivaci této vlnové rovnice a vynásobíme všechny strany neporušenou hustotou a poté použijeme skutečnost, že p ′ = ρ 0 ∂ ϕ ∂ t {displaystyle p '= ho _ {0} {frac {částečný phi} {částečný t}}} říká nám to
1 C 2 ∂ 2 p ′ ∂ t 2 − ∇ 2 p ′ = 0 {displaystyle {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {částečné ^ {2} p '} {částečné t ^ {2}}} - abla ^ {2} p' = 0} Podobně jsme to viděli p ′ = ( ∂ p ∂ ρ 0 ) s ρ ′ = C 2 ρ ′ {displaystyle p '= ({frac {částečné p} {částečné ho _ {0}}}) _ {s} ho' = c ^ {2} ho '} . Můžeme tedy vhodně znásobit výše uvedenou rovnici a vidět to
1 C 2 ∂ 2 ρ ′ ∂ t 2 − ∇ 2 ρ ′ = 0 {displaystyle {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {částečné ^ {2} ho '} {částečné t ^ {2}}} - abla ^ {2} ho' = 0} Takže rychlostní potenciál, tlak a hustota se podřizují vlnové rovnici. Kromě toho musíme vyřešit pouze jednu takovou rovnici, abychom určili všechny ostatní tři. Zejména máme
proti = − ∇ ϕ p ′ = ρ 0 ∂ ϕ ∂ t ρ ′ = ρ 0 C 2 ∂ ϕ ∂ t {displaystyle {egin {aligned} mathbf {v} & = - abla phi p '& = ho _ {0} {frac {částečné phi} {částečné t}} ho' & = {frac {ho _ {0} } {c ^ {2}}} {frac {částečný phi} {částečný t}} konec {zarovnaný}}} Pro pohyblivé médium Opět můžeme odvodit limit malých poruch pro zvukové vlny v pohybujícím se médiu. Opět počínaje
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ proti + u ⋅ ∇ ρ ′ + ∇ ⋅ ρ ′ proti = 0 ( ρ 0 + ρ ′ ) ∂ proti ∂ t + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( u ⋅ ∇ ) proti + ( ρ 0 + ρ ′ ) ( proti ⋅ ∇ ) proti + ∇ p ′ = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {partial ho '} {částečné t}} + ho _ {0} abla cdot mathbf {v} + mathbf {u} cdot abla ho' + abla cdot ho 'mathbf {v} & = 0 (ho _ {0} + ho ') {frac {částečná mathbf {v}} {částečná t}} + (ho _ {0} + ho') (mathbf {u} cdot abla) mathbf {v} + (ho _ {0} + ho ') (mathbf {v} cdot abla) mathbf {v} + abla p' & = 0end {aligned}}} Můžeme je linearizovat do
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ proti + u ⋅ ∇ ρ ′ = 0 ∂ proti ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) proti + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {partial ho '} {částečné t}} + ho _ {0} abla cdot mathbf {v} + mathbf {u} cdot abla ho' & = 0 {frac {částečný mathbf { v}} {částečné t}} + (mathbf {u} cdot abla) mathbf {v} + {frac {1} {ho _ {0}}} abla p '& = 0end {aligned}}} Pro irrotační tekutiny v pohyblivém médiu Vzhledem k tomu, že jsme to viděli
∂ ρ ′ ∂ t + ρ 0 ∇ ⋅ proti + u ⋅ ∇ ρ ′ = 0 ∂ proti ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) proti + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {partial ho '} {částečné t}} + ho _ {0} abla cdot mathbf {v} + mathbf {u} cdot abla ho' & = 0 {frac {částečný mathbf { v}} {částečné t}} + (mathbf {u} cdot abla) mathbf {v} + {frac {1} {ho _ {0}}} abla p '& = 0end {aligned}}} Pokud uděláme předchozí předpoklady o ideální tekutině a irrotační rychlosti, pak máme
p ′ = ( ∂ p ∂ ρ 0 ) s ρ ′ = C 2 ρ ′ proti = − ∇ ϕ {displaystyle {egin {aligned} p '& = ({frac {částečné p} {částečné ho _ {0}}}) _ {s} ho' = c ^ {2} ho ' mathbf {v} & = - konec phla phi {zarovnáno}}} Za těchto předpokladů se stanou naše linearizované zvukové rovnice
1 C 2 ∂ p ′ ∂ t − ρ 0 ∇ 2 ϕ + 1 C 2 u ⋅ ∇ p ′ = 0 − ∂ ∂ t ( ∇ ϕ ) − ( u ⋅ ∇ ) [ ∇ ϕ ] + 1 ρ 0 ∇ p ′ = 0 {displaystyle {egin {aligned} {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {částečné p '} {částečné t}} - ho _ {0} abla ^ {2} phi + {frac {1} {c ^ {2}}} mathbf {u} cdot abla p '& = 0 - {frac {částečné} {částečné t}} (abla phi) - (mathbf {u} cdot abla) [abla phi] + { frac {1} {ho _ {0}}} abla p '& = 0end {aligned}}} Důležité je, protože u {displaystyle mathbf {u}} je konstanta, máme ( u ⋅ ∇ ) [ ∇ ϕ ] = ∇ [ ( u ⋅ ∇ ) ϕ ] {displaystyle (mathbf {u} cdot abla) [abla phi] = abla [(mathbf {u} cdot abla) phi]} a pak nám to říká druhá rovnice
1 ρ 0 ∇ p ′ = ∇ [ ∂ ϕ ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) ϕ ] {displaystyle {frac {1} {ho _ {0}}} abla p '= abla [{frac {částečné phi} {částečné t}} + (mathbf {u} cdot abla) phi]} Nebo jen to
p ′ = ρ 0 [ ∂ ϕ ∂ t + ( u ⋅ ∇ ) ϕ ] {displaystyle p '= ho _ {0} [{frac {částečné phi} {částečné t}} + (mathbf {u} cdot abla) phi]} Nyní, když použijeme tento vztah s tím, že 1 C 2 ∂ p ′ ∂ t − ρ 0 ∇ 2 ϕ + 1 C 2 u ⋅ ∇ p ′ = 0 {displaystyle {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {částečné p '} {částečné t}} - ho _ {0} abla ^ {2} phi + {frac {1} {c ^ {2 }}} mathbf {u} cdot abla p '= 0} vedle zrušení a přeskupení podmínek jsme dospěli k
1 C 2 ∂ 2 ϕ ∂ t 2 − ∇ 2 ϕ + 1 C 2 ∂ ∂ t [ ( u ⋅ ∇ ) ϕ ] + 1 C 2 ∂ ∂ t ( u ⋅ ∇ ϕ ) + 1 C 2 u ⋅ ∇ [ ( u ⋅ ∇ ) ϕ ] = 0 {displaystyle {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {částečné ^ {2} phi} {částečné t ^ {2}}} - abla ^ {2} phi + {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {částečný} {částečný t}} [(mathbf {u} cdot abla) phi] + {frac {1} {c ^ {2}}} {frac {částečný} {částečný t}} (mathbf {u} cdot abla phi) + {frac {1} {c ^ {2}}} mathbf {u} cdot abla [(mathbf {u} cdot abla) phi] = 0} Můžeme to napsat ve známé formě jako
[ 1 C 2 ( ∂ ∂ t + u ⋅ ∇ ) 2 − ∇ 2 ] ϕ = 0 {displaystyle [{frac {1} {c ^ {2}}} ({frac {částečné} {částečné t}} + mathbf {u} cdot abla) ^ {2} -abla ^ {2}] phi = 0} Tato diferenciální rovnice musí být vyřešena příslušnými okrajovými podmínkami. Toto nastavení si povšimněte u = 0 {displaystyle mathbf {u} = 0} vrací nám vlnovou rovnici. Bez ohledu na to, po vyřešení této rovnice pro pohyblivé médium, máme
proti = − ∇ ϕ p ′ = ρ 0 ( ∂ ∂ t + u ⋅ ∇ ) ϕ ρ ′ = ρ 0 C 2 ( ∂ ∂ t + u ⋅ ∇ ) ϕ {displaystyle {egin {aligned} mathbf {v} & = - abla phi p '& = ho _ {0} ({frac {částečné} {částečné t}} + mathbf {u} cdot abla) phi ho' & = {frac {ho _ {0}} {c ^ {2}}} ({frac {částečné} {částečné t}} + mathbf {u} cdot abla) phi end {zarovnáno}}} Viz také Reference Landau, L.D .; Lifshitz, E.M. (1984). Mechanika tekutin (2. vyd.). ISBN 0-7506-2767-0 . Fetter, Alexander; Walecka, John (2003). Mechanika tekutin (1. vyd.). ISBN 0-486-43261-0 .