Metoda konečného objemu pro nestacionární tok - Finite volume method for unsteady flow - Wikipedia

Nestabilní toky jsou charakterizovány jako toky, ve kterých jsou vlastnosti tekutiny závislé na čase. Odráží se v řídících rovnicích, protože chybí časová derivace vlastností. Pro studium Metoda konečných objemů pro nestacionární tok existují některé řídící rovnice^[1]>

Řídící rovnice

Konzervační rovnice pro transport skaláru v nestacionárním toku má obecný tvar jako ^[2]

${ displaystyle { frac { částečné rho phi} { částečné t}} + operatorname {div} left ( rho phi upsilon right) = operatorname {div} left ( Gamma operatorname {grad} phi right) + S _ { phi}}$

${ displaystyle rho}$ je hustota a ${ displaystyle phi}$ je konzervativní forma veškerého toku tekutin,
${ displaystyle Gamma}$ je koeficient difúze a ${ displaystyle S}$ je termín Zdroj.${ displaystyle operatorname {div} left ( rho phi upsilon right)}$ je Čistá rychlost toku ${ displaystyle phi}$ z tekutého prvku (proudění ),
${ displaystyle operatorname {div} left ( Gamma operatorname {grad} phi right)}$ je míra zvýšení o ${ displaystyle phi}$ kvůli difúze,
${ displaystyle S _ { phi}}$ je míra zvýšení o ${ displaystyle phi}$ kvůli zdrojům.

${ displaystyle { frac { částečné rho phi} { částečné t}}}$ je míra zvýšení o ${ displaystyle phi}$ tekutinového prvku (přechodného),

První člen rovnice odráží nestabilitu toku a v případě ustálených toků chybí. Integrace konečného objemu řídící rovnice se provádí přes kontrolní objem a také přes konečný časový krok ∆t.

${ displaystyle int limity _ {cv} ! ! ! int _ {t} ^ {t + Delta t} vlevo ({ frac { částečné rho phi} { částečné t}} , mathrm {d} t right) , mathrm {d} V + int _ {t} ^ {t + Delta t} ! ! ! int limits _ {A} left (n . { rho phi u} , mathrm {d} A right) , mathrm {d} t = int _ {t} ^ {t + Delta t} ! ! ! int limity _ {A} left (n cdot left ( Gamma operatorname {grad} phi right) , mathrm {d} A right) , mathrm {d} t + int _ {t } ^ {t + Delta t} ! ! ! int limity _ {cv} S _ { phi} , mathrm {d} V , mathrm {d} t}$

The ovládání hlasitosti integrace stabilní část rovnice je podobná části ustálený stav řídící integraci rovnice. Musíme se zaměřit na integraci nestacionární složky rovnice. Abychom získali představu o integrační technice, odkazujeme na jednorozměrnou nestabilitu vedení tepla rovnice.^[3]

${ displaystyle rho c { frac { částečné T} { částečné t}} = { frac { částečné { frac {k částečné T} { částečné x}}} { částečné x}} + S}$

${ displaystyle int _ {t} ^ {t + Delta t} ! ! ! int limity _ {cv} rho c { frac { částečné T} { částečné t}} , mathrm {d} V , mathrm {d} t = int _ {t} ^ {t + Delta t} ! ! ! int limity _ {cv} { frac { částečné { frac {k částečné T} { částečné x}}} { částečné x}} , mathrm {d} V , mathrm {d} t + int _ {t} ^ {t + Delta t} ! ! ! int limits _ {cv} S , mathrm {d} V , mathrm {d} t}$

${ displaystyle int _ {e} ^ {w} ! ! ! int _ {t} ^ {t + Delta t} left ( rho c { frac { parciální T} { parciální t }} , mathrm {d} t vpravo) , mathrm {d} V = int _ {t} ^ {t + Delta t} doleva [ doleva (kA { frac { částečné T} { částečné x}} pravé) _ {e} - levé (kA { frac { částečné T} { částečné x}} pravé) _ {w} pravé] , mathrm {d} t + int _ {t} ^ {t + Delta t} { bar {S}} Delta V , mathrm {d} t}$

Nyní, za předpokladu, že teplota v uzlu převládajícím v celém řídicím svazku lze levou stranu rovnice zapsat jako ^[4]

${ displaystyle int limity _ {cv} ! ! ! int _ {t} ^ {t + Delta t} vlevo ( rho c { frac { částečné T} { částečné t}} , mathrm {d} t right) , mathrm {d} V = rho c left (T_ {P} - {T_ {P}} ^ {O} right) Delta V}$

Použitím a první objednávka zpětně diferencující schéma, můžeme napsat pravou stranu rovnice jako

${ displaystyle rho c left (T_ {P} - {T_ {P}} ^ {0} right) Delta V = int _ {t} ^ {t + Delta t} left [ left ( K_ {e} A { frac {T_ {E} -T_ {P}} { delta x_ {PE}}} doprava) - doleva (K_ {w} A { frac {T_ {P} -T_ {W}} { delta x_ {WP}}} right) right] , mathrm {d} t + int _ {t} ^ {t + Delta t} { bar {S}} Delta V , mathrm {d} t}$

Nyní k vyhodnocení pravé strany rovnice použijeme váhový parametr ${ displaystyle theta}$ mezi 0 a 1 a píšeme integraci ${ displaystyle T_ {P}}$

${ displaystyle I_ {T} = int _ {t} ^ {t + Delta t} T_ {P} , mathrm {d} t = left [ theta T_ {P} - left (1- theta right) {T_ {P}} ^ {0} right] Delta t}$

Přesná podoba konečné diskretizované rovnice nyní závisí na hodnotě ${ displaystyle Theta}$. Jako rozptyl ${ displaystyle Theta}$ je 0 < ${ displaystyle Theta}$ <1, schéma, které se použije k výpočtu ${ displaystyle T_ {P}}$ záleží na hodnotě ${ displaystyle Theta}$

Různá schémata

1. Výslovné schéma ve explicitním schématu je zdrojový člen linearizován jako ${ displaystyle b = S_ {u} + {S_ {P}} {T_ {P}} ^ {0}}$. Nahrazujeme ${ displaystyle theta = 0}$ získat explicitní diskretizaci, tj .:^[5]

${ displaystyle a_ {P} T_ {P} = a_ {w} {T_ {w}} ^ {0} + a_ {e} {T_ {e}} ^ {0} + doleva [{a_ {P} } ^ {0} - left (a_ {w} + a_ {e} -S_ {P} right) right] {T_ {P}} ^ {0} + S_ {u}}$

kde ${ displaystyle a_ {P} = {a_ {P}} ^ {0}}$. Jedna věc, kterou stojí za zmínku, je, že pravá strana obsahuje hodnoty ve starém časovém kroku, a proto lze levou stranu vypočítat dopřednou shodou v čase. Schéma je založeno na zpětném rozdílu a jeho chyba zkrácení Taylorovy řady je prvního řádu s ohledem na čas. Všechny koeficienty musí být kladné. Pro konstantní k a rovnoměrné rozteče mřížky, ${ displaystyle delta x_ {PE} = delta x_ {WP} = Delta x}$ tato podmínka může být zapsána jako

${ displaystyle rho c { frac { Delta x} { Delta t}}> { frac {2K} { Delta x}}}$

Tato nerovnost nastavuje přísnou podmínku maximálního časového kroku, který lze použít, a představuje vážné omezení schématu. Vylepšení prostorové přesnosti se stává velmi nákladným, protože maximální možný časový krok je třeba snížit jako druhou mocninu ${ displaystyle Delta x}$ ^[6]

2. Schéma Crank Nicholson : klikové Nicholsonovo schéma je výsledkem nastavení ${ displaystyle theta = { frac {1} {2}}}$. Stává se diskretizovaná rovnice nestabilního vedení tepla

${ displaystyle a_ {P} T_ {P} = a_ {E} left [{ frac {T_ {E} + {T_ {E}} ^ {0}} {2}} right] + a_ {W } left [{ frac {T_ {W} + {T_ {W}} ^ {0}} {2}} right] + left [{a_ {P}} ^ {0} - { frac { a_ {E}} {2}} - { frac {a_ {W}} {2}} vpravo] {T_ {P}} ^ {0} + b}$

Kde ${ displaystyle a_ {P} = { frac {a_ {W} + a_ {E}} {2}} + {a_ {P}} ^ {0} - { frac {S_ {P}} {2} }}$

Jelikož je v rovnici přítomna více než jedna neznámá hodnota T na nové časové úrovni, je metoda implicitní a v každém časovém kroku je třeba vyřešit simultánní rovnice pro všechny body uzlu. Ačkoli schémata s ${ displaystyle { frac {1} {2}} < theta <1}$ včetně Crank-Nicolsonova schématu, jsou bezpodmínečně stabilní pro všechny hodnoty časového kroku, je důležitější zajistit, aby všechny koeficienty byly pozitivní pro fyzicky realistické a omezené výsledky. To je případ, kdy koeficient ${ displaystyle {T_ {P}} ^ {0}}$ splňuje následující podmínku

${ displaystyle {a_ {P}} ^ {0} = left [{ frac {a_ {E} + a_ {W}} {2}} right]}$

což vede k

${ displaystyle Delta t < rho c { frac { Delta x ^ {2}} {K}}}$

klika Nicholson je založena na centrálním rozdílu, a proto je druhého řádu přesná v čase. Celková přesnost výpočtu závisí také na praxi prostorového diferenciace, takže Crank-Nicolsonovo schéma se obvykle používá ve spojení s prostorovým centrálním rozlišením

3. Plně implicitní schéma když je hodnota Ѳ nastavena na 1, dostaneme plně implicitní schéma. Diskrétní rovnice je:^[7]

${ displaystyle a_ {P} T_ {P} = a_ {W} T_ {W} + a_ {E} T_ {E} + {a_ {P}} ^ {0} {T_ {P}} ^ {0} + S_ {u}}$

${ displaystyle a_ {P} = {a_ {P}} ^ {0} + a_ {W} + a_ {E} -S_ {P}}$

Obě strany rovnice obsahují teploty v novém časovém kroku a na každé časové úrovni musí být vyřešen systém algebraických rovnic. Postup časového pochodu začíná daným počátečním polem teplot ${ displaystyle T ^ {0}}$. Systém rovnic je řešen po výběru časového kroku ${ displaystyle Delta t}$. Další řešení ${ displaystyle T}$ je přiřazen ${ displaystyle T ^ {0}}$ a postup se opakuje, aby se řešení posunulo o další časový krok. Je vidět, že všechny koeficienty jsou kladné, díky čemuž je implicitní schéma bezpodmínečně stabilní pro jakoukoli velikost časového kroku. Vzhledem k tomu, že přesnost schématu je v čase pouze prvního řádu, jsou k zajištění přesnosti výsledků nutné malé časové kroky. Implicitní metoda se doporučuje pro přechodné výpočty pro všeobecné účely kvůli své robustnosti a bezpodmínečné stabilitě

Reference