Reynoldsovy průměrované Navier-Stokesovy rovnice - Reynolds-averaged Navier–Stokes equations

The Reynoldsovy průměrované Navier-Stokesovy rovnice (nebo RANS rovnice) jsou časově zprůměrovány^[A]pohybové rovnice pro proudění tekutin. Myšlenka za rovnicemi je Reynoldsův rozklad, přičemž okamžitá veličina se rozloží na časově zprůměrované a kolísající veličiny, nápad nejprve navrhl Osborne Reynolds.^[1] Rovnice RANS se primárně používají k popisu turbulentní toky. Tyto rovnice lze použít s aproximacemi založenými na znalostech vlastností toku turbulence poskytnout přibližné časově zprůměrované řešení Navier-Stokesovy rovnice.Pro stacionární tok nestlačitelného Newtonovská tekutina, tyto rovnice lze zapsat Einsteinova notace v Kartézské souřadnice tak jako:

{ displaystyle rho { bar {u}} _ {j} { frac { částečné { bar {u}} _ {i}} { částečné x_ {j}}} = rho { bar { f}} _ {i} + { frac { částečné} { částečné x_ {j}}} vlevo [- { bar {p}} delta _ {ij} + mu vlevo ({ frac { částečné { bar {u}} _ {i}} { částečné x_ {j}}} + { frac { částečné { bar {u}} _ {j}} { částečné x_ {i} }} right) - rho { overline {u_ {i} ^ { prime} u_ {j} ^ { prime}}} right].}

Levá strana této rovnice představuje změnu střední hybnosti tekutinového prvku v důsledku nestability v střední tok a konvekce středním průtokem. Tato změna je vyvážena střední silou těla, izotropním napětím v důsledku středního tlakového pole, viskózními napětími a zdánlivým napětím ${ displaystyle left (- rho { overline {u_ {i} ^ { prime} u_ {j} ^ { prime}}} right)}$ vzhledem k kolísajícímu rychlostnímu poli, obecně označovanému jako Reynoldsův stres. Tento nelineární Reynoldsův stresový člen vyžaduje další modelování k uzavření rovnice RANS pro řešení a vedl k vytvoření mnoha různých modely turbulence. Časově průměrný operátor ${ displaystyle { overline {.}}}$ je Operátor Reynolds.

Odvození RANS rovnic

Základní nástroj potřebný pro odvození RANS rovnic od okamžiku Navier-Stokesovy rovnice je Reynoldsův rozklad. Reynoldsův rozklad označuje oddělení proměnné toku (jako je rychlost ${ displaystyle u}$ ) do střední (časově průměrované) složky ( ${ displaystyle { overline {u}}}$ ) a kolísající složka ( ${ displaystyle u ^ { prime}}$ ). Protože průměrný operátor je a Operátor Reynolds, má sadu vlastností. Jednou z těchto vlastností je, že průměr fluktuující veličiny se rovná nule ${ displaystyle ({ bar {u ^ { prime}}} = 0)}$ . Tím pádem,

{ displaystyle u ({ boldsymbol {x}}, t) = { bar {u}} ({ boldsymbol {x}}) + u ^ { prime} ({ boldsymbol {x}}, t) ,}

, kde

{ displaystyle { boldsymbol {x}} = (x, y, z)}

je poziční vektor. Někteří autoři^[2] raději používat

{ displaystyle U}

namísto

{ displaystyle { bar {u}}}

pro střední výraz (protože k označení vektoru se někdy používá overbar). V tomto případě kolísavý termín

{ displaystyle u ^ { prime}}

je místo toho reprezentováno

{ displaystyle u}

. To je možné, protože tyto dva výrazy se neobjevují současně ve stejné rovnici. Aby nedošlo k záměně, notace

{ displaystyle u, { bar {u}}, { mbox {and}} u ^ { prime}}

bude použito k vyjádření okamžitých, středních a kolísavých výrazů.

Vlastnosti Reynolds operátoři jsou užitečné při odvozování RANS rovnic. Pomocí těchto vlastností jsou Navier-Stokesovy pohybové rovnice, vyjádřené v tenzorové notaci, (pro nestlačitelnou newtonovskou tekutinu):

{ displaystyle { frac { částečné u_ {i}} { částečné x_ {i}}} = 0}

{ displaystyle { frac { částečné u_ {i}} { částečné t}} + u_ {j} { frac { částečné u_ {i}} { částečné x_ {j}}} = f_ {i} - { frac {1} { rho}} { frac { částečné p} { částečné x_ {i}}} + nu { frac { částečné ^ {2} u_ {i}} { částečné x_ {j} částečné x_ {j}}}}

kde ${ displaystyle f_ {i}}$ je vektor představující vnější síly.

Dále lze každou okamžitou veličinu rozdělit na časově průměrované a kolísavé komponenty a výslednou rovnici časově průměrovat, ^[b]výtěžek:

{ displaystyle { frac { částečné { bar {u_ {i}}}} { částečné x_ {i}}} = 0}

{ displaystyle { frac { částečné { bar {u_ {i}}}} { částečné t}} + { bar {u_ {j}}} { frac { částečné { bar {u_ {i }}}} { parciální x_ {j}}} + { overline {u_ {j} ^ { prime} { frac { parciální u_ {i} ^ { prime}} { parciální x_ {j} }}}} = { bar {f_ {i}}} - { frac {1} { rho}} { frac { částečný { bar {p}}} { částečný x_ {i}}} + nu { frac { částečné ^ {2} { bar {u_ {i}}}} { částečné x_ {j} částečné x_ {j}}}.}

Rovnici hybnosti lze také napsat jako,^[C]

{ displaystyle { frac { částečné { bar {u_ {i}}}} { částečné t}} + { bar {u_ {j}}} { frac { částečné { bar {u_ {i }}}} { částečné x_ {j}}} = { bar {f_ {i}}} - { frac {1} { rho}} { frac { částečné { bar {p}}} { částečné x_ {i}}} + nu { frac { částečné ^ {2} { bar {u_ {i}}}} { částečné x_ {j} částečné x_ {j}}} - { frac { částečné { overline {u_ {i} ^ { prime} u_ {j} ^ { prime}}}} { částečné x_ {j}}}.}

Při dalších manipulacích to přináší,

{ displaystyle rho { frac { částečné { bar {u_ {i}}}} { částečné t}} + rho { bar {u_ {j}}} { frac { částečné { bar {u_ {i}}}} { částečné x_ {j}}} = rho { bar {f_ {i}}} + { frac { částečné} { částečné x_ {j}}} vlevo [ - { bar {p}} delta _ {ij} +2 mu { bar {S_ {ij}}} - rho { overline {u_ {i} ^ { prime} u_ {j} ^ { prime}}} vpravo]}

kde, ${ displaystyle { bar {S_ {ij}}} = { frac {1} {2}} vlevo ({ frac { částečný { bar {u_ {i}}}} { částečný x_ {j }}} + { frac { částečný { bar {u_ {j}}}} { částečný x_ {i}}} vpravo)}$ je střední rychlost tenzoru přetvoření.

Nakonec, protože integrace v čase odstraní časovou závislost výsledných termínů, musí být časová derivace vyloučena, přičemž:

{ displaystyle rho { bar {u_ {j}}} { frac { částečné { bar {u_ {i}}}} { částečné x_ {j}}} = rho { bar {f_ { i}}} + { frac { částečné} { částečné x_ {j}}} vlevo [- { bar {p}} delta _ {ij} +2 mu { bar {S_ {ij} }} - rho { overline {u_ {i} ^ { prime} u_ {j} ^ { prime}}} right].}

Rovnice Reynoldsova stresu

Rovnice časového vývoje Reynoldsův stres darováno ^[3]:

{ displaystyle { frac { částečné { overline {u_ {i} ^ { prime} u_ {j} ^ { prime}}}} { částečné t}} + { bar {u}} _ { k} { frac { částečný { overline {u_ {i} ^ { prime} u_ {j} ^ { prime}}}} { částečný x_ {k}}} = - { overline {u_ { i} ^ { prime} u_ {k} ^ { prime}}} { frac { částečný { bar {u}} _ {j}} { částečný x_ {k}}} - { overline { u_ {j} ^ { prime} u_ {k} ^ { prime}}} { frac { částečné { bar {u}} _ {i}} { částečné x_ {k}}} + { overline {{ frac {p ^ { prime}} { rho}} left ({ frac { částečné u_ {i} ^ { prime}} { částečné x_ {j}}} + { frac { částečné u_ {j} ^ { prime}} { částečné x_ {i}}} pravé)}} - { frac { částečné} { částečné x_ {k}}} vlevo ({ overline {u_ {i} ^ { prime} u_ {j} ^ { prime} u_ {k} ^ { prime}}} + { frac { overline {p ^ { prime} u_ {i} ^ { prime}}} { rho}} delta _ {jk} + { frac { overline {p ^ { prime} u_ {j} ^ { prime}}} { rho}} delta _ { ik} - nu { frac { částečné { overline {u_ {i} ^ { prime} u_ {j} ^ { prime}}}} { částečné x_ {k}}} vpravo) -2 nu { overline {{ frac { částečné u_ {i} ^ { prime}} { částečné x_ {k}}} { frac { částečné u_ {j} ^ { prime}} { částečné x_ {k}}}}}}

Tato rovnice je velmi komplikovaná. Li ${ displaystyle { overline {u_ {i} ^ { prime} u_ {j} ^ { prime}}}}$ je vysledován, kinetická energie turbulence je získáno. Poslední termín ${ displaystyle nu { overline {{ frac { částečné u_ {i} ^ { prime}} { částečné x_ {k}}} { frac { částečné u_ {j} ^ { prime}} { částečné x_ {k}}}}}}$ je rychlost turbulentního rozptylu. Všechny modely RANS jsou založeny na výše uvedené rovnici.

Poznámky

^ Průměrný skutečný čas ( ${ displaystyle { bar {X}}}$ ) proměnné ( ${ displaystyle x}$ ) je definován
${ displaystyle { bar {X}} = lim _ {T to infty} { frac {1} {T}} int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T} x , dt.}$
Aby to byl dobře definovaný pojem, limit ( ${ displaystyle { bar {X}}}$ ) musí být nezávislé na počátečním stavu v ${ displaystyle t_ {0}}$ . V případě a chaotický dynamický systém, za které se považují rovnice za turbulentních podmínek, znamená to, že systém může mít pouze jednu podivný atraktor, výsledek, který dosud nebyl prokázán pro Navier-Stokesovy rovnice. Avšak za předpokladu, že limit existuje (což platí pro jakýkoli ohraničený systém, což jsou rychlosti tekutin určitě jsou), existují určité ${ displaystyle T}$ taková integrace z ${ displaystyle t_ {0}}$ na ${ displaystyle T}$ je libovolně blízko průměru. To znamená, že vzhledem k přechodným datům za dostatečně velkou dobu lze průměr vypočítat numericky v rámci malé chyby. Neexistuje však žádný analytický způsob, jak získat horní hranici ${ displaystyle T}$ .
^ Rozdělení každého okamžitého množství na průměrné a kolísavé výnosy složek,
${ displaystyle { frac { částečné vlevo ({ bar {u_ {i}}} + u_ {i} ^ { prime} vpravo)} { částečné x_ {i}}} = 0}$
${ displaystyle { frac { částečné vlevo ({ bar {u_ {i}}} + u_ {i} ^ { prime} vpravo)} { částečné t}} + vlevo ({ bar { u_ {j}}} + u_ {j} ^ { prime} vpravo) { frac { částečné vlevo ({ bar {u_ {i}}} + u_ {i} ^ { prime} vpravo )} { částečné x_ {j}}} = vlevo ({ bar {f_ {i}}} + f_ {i} ^ { prime} vpravo) - { frac {1} { rho}} { frac { částečné levé ({ bar {p}} + p ^ { prime} pravé)} { částečné x_ {i}}} + nu { frac { částečné ^ {2} vlevo ({ bar {u_ {i}}} + u_ {i} ^ { prime} vpravo)} { částečné x_ {j} částečné x_ {j}}}.}$
Časové průměrování těchto rovnic poskytuje výnosy,
${ displaystyle { overline { frac { částečné vlevo ({ bar {u_ {i}}} + u_ {i} ^ { prime} vpravo)} { částečné x_ {i}}}} = 0}$
${ displaystyle { overline { frac { částečné left ({ bar {u_ {i}}} + u_ {i} ^ { prime} right)} { částečné t}}} + { overline { left ({ bar {u_ {j}}} + u_ {j} ^ { prime} right) { frac { částečné left ({ bar {u_ {i}}} + u_ {i } ^ { prime} right)} { částečné x_ {j}}}}} = { overline { left ({ bar {f_ {i}}} + f_ {i} ^ { prime} vpravo)}} - { frac {1} { rho}} { overline { frac { částečné vlevo ({ bar {p}} + p ^ { prime} vpravo)} { částečné x_ {i}}}} + nu { overline { frac { částečné ^ {2} vlevo ({ bar {u_ {i}}} + u_ {i} ^ { prime} vpravo)} { částečné x_ {j} částečné x_ {j}}}}.}$
Všimněte si, že nelineární výrazy (jako ${ displaystyle { overline {u_ {i} u_ {j}}}}$ ) lze zjednodušit na, ${ displaystyle { overline {u_ {i} u_ {j}}} = { overline { left ({ bar {u_ {i}}} + u_ {i} ^ { prime} right) left ({ bar {u_ {j}}} + u_ {j} ^ { prime} right)}} = { overline {{ bar {u_ {i}}} { bar {u_ {j}} } + { bar {u_ {i}}} u_ {j} ^ { prime} + u_ {i} ^ { prime} { bar {u_ {j}}} + u_ {i} ^ { prime } u_ {j} ^ { prime}}} = { bar {u_ {i}}} { bar {u_ {j}}} + { overline {u_ {i} ^ { prime} u_ {j } ^ { prime}}}}$
^ To vyplývá z rovnice zachování hmotnosti, která dává,
${ displaystyle { frac { částečné u_ {i}} { částečné x_ {i}}} = { frac { částečné { bar {u_ {i}}}}} { částečné x_ {i}}} + { frac { částečné u_ {i} ^ { prime}} { částečné x_ {i}}} = 0}$