Číslo děkana - Dean number - Wikipedia

The Číslo děkana (De) je bezrozměrná skupina v mechanika tekutin, ke kterému dochází při studiu toku v zakřivené formě potrubí a kanály. Je pojmenován po britský vědec W. R. Dean, který jako první poskytl teoretické řešení fluidmotionu zakřivenými trubkami pro laminární proudění použitím perturbačního postupu od a Tok Poiseuille v přímém potrubí k průtoku v potrubí s velmi malým zakřivením.^[1][2]

Fyzický kontext

Schéma dvojice Deanových vírů, které se tvoří v zakřivených trubkách.

Pokud se kapalina pohybuje po přímé trubce, která se po určitém bodě zakřiví, dostředivé síly v ohybu způsobí, že částice tekutiny změní svůj hlavní směr pohybu. Vznikne nepříznivý tlakový gradient generovaný zakřivením se zvýšením tlaku, proto pokles rychlosti v blízkosti konvexní stěny, a naopak dojde k vnější straně trubky. To vede k sekundárnímu pohybu superponovanému na primární tok, přičemž tekutina ve středu potrubí je zametena směrem k vnější straně ohybu a tekutina v blízkosti stěny trubky se vrací směrem dovnitř ohybu. Očekává se, že tento sekundární pohyb bude vypadat jako dvojice protiběžných buněk, které se nazývají Dean víry.

Definice

Deanovo číslo je obvykle označeno De (nebo Dn). Pro tok v potrubí nebo trubce je definován jako:

${ displaystyle { mathit {De}} = { frac { sqrt {{ frac {1} {2}} , ({ text {setrvačné síly}}) ({ text {dostředivé síly}}) }} { text {viskózní síly}}} = { frac { sqrt {{ frac {1} {2}} , ( rho , D ^ {2} , R_ {c} , { frac {v ^ {2}} {D}}) ( rho , D ^ {2} , R_ {c} , { frac {v ^ {2}} {R_ {c}}}) }} { mu { frac {v} {D}} D , R_ {c}}} = { frac { rho , D , v} { mu}} { sqrt { frac { D} {2 , R_ {c}}}}} = { textit {Re}} , { sqrt { frac {D} {2 , R_ {c}}}}}$

kde

• ${ displaystyle rho}$ je hustota kapaliny
• ${ displaystyle mu}$ je dynamická viskozita
• ${ displaystyle v}$ je stupnice axiální rychlosti
• ${ displaystyle D}$ je průměr (u nekruhové geometrie se používá ekvivalentní průměr; viz Reynoldsovo číslo )
• ${ displaystyle R_ {c}}$ je poloměr zakřivení dráhy kanálu.
• ${ displaystyle { textit {Re}}}$ je Reynoldsovo číslo.

Deanovo číslo je tedy produktem Reynoldsova čísla (na základě axiálního toku) ${ displaystyle v}$ trubkou o průměru ${ displaystyle D}$) a druhá odmocnina poměru zakřivení.

Přechod turbulence

Tok je zcela jednosměrný pro nízká Deanova čísla (De <40 ~ 60). Jak se Deanovo číslo zvyšuje mezi 40 ~ 60 až 64 ~ 75, lze v průřezu pozorovat některá zvlněná narušení, což dokazuje určitý sekundární tok. Při vyšších Deanových číslech (De> 64 ~ 75) se dvojice Deanových vírů stává stabilní, což naznačuje primární dynamickou nestabilitu. Sekundární nestabilita se objeví pro De> 75 ~ 200, kde víry představují zvlnění, kroucení a případně slučování a párování. Plně turbulentní proudění se vytváří pro De> 400.^[3] Přechod z laminárního na turbulentní proudění byl také zkoumán v řadě studií, i když neexistuje univerzální řešení, protože parametr je vysoce závislý na poměru zakřivení.^[4] Docela neočekávaně lze laminární tok zachovat pro větší Reynoldsova čísla (dokonce i dvojnásobně pro nejvyšší studované poměry zakřivení) než pro přímé trubky, i když je známo, že zakřivení způsobuje nestabilitu.^[5]

Deanovy rovnice

Deanovo číslo se objevuje v tzv Deanovy rovnice.^[6] Jedná se o přibližný údaj Navier-Stokesovy rovnice pro ustálený axiálně rovnoměrný tok a Newtonova tekutina v toroidní potrubí, získané zadržením pouze vedoucí pořadí efekty zakřivení (tj vedoucí pořadí rovnice pro ${ displaystyle a / r ll 1}$).

Používáme ortogonální souřadnice ${ displaystyle (x, y, z)}$ s odpovídajícími jednotkovými vektory ${ displaystyle ({ hat { boldsymbol {x}}}, { hat { boldsymbol {y}}}, { hat { boldsymbol {z}}})}$ zarovnán s osou potrubí v každém bodě. Axiální směr je ${ displaystyle { hat { boldsymbol {z}}}}$, s ${ displaystyle { hat { boldsymbol {x}}}}$ je normální v rovině středové osy a ${ displaystyle { hat { boldsymbol {y}}}}$ the binormální. Pro axiální tok poháněný tlakovým spádem ${ displaystyle G}$, axiální rychlost ${ displaystyle u_ {z}}$ je v měřítku ${ displaystyle U = Ga ^ {2} / mu}$. Rychlost příčného proudu ${ displaystyle u_ {x}, u_ {y}}$ jsou v měřítku ${ displaystyle (a / R) ^ {1/2} U}$a křížové tlaky s ${ displaystyle rho aU ^ {2} / L}$. Délky jsou změněny s poloměrem trubky ${ displaystyle a}$.

Z hlediska těchto bezrozměrných proměnných a souřadnic pak platí Deanovy rovnice

${ displaystyle D left ({ frac { mathrm {D} u_ {x}} { mathrm {D} t}} + u_ {z} ^ {2} right) = - D { frac { částečné p} { částečné x}} + nabla ^ {2} u_ {x}}$

${ displaystyle D { frac { mathrm {D} u_ {y}} { mathrm {D} t}} = - D { frac { částečné p} { částečné y}} + nabla ^ {2 } u_ {y}}$

${ displaystyle D { frac { mathrm {D} u_ {z}} { mathrm {D} t}} = 1+ nabla ^ {2} u_ {z}}$

${ displaystyle { frac { částečné u_ {x}} { částečné x}} + { frac { částečné u_ {y}} { částečné y}} = 0}$

kde

${ displaystyle { frac { mathrm {D}} { mathrm {D} t}} = u_ {x} { frac { částečný} { částečný x}} + u_ {y} { frac { částečné} { částečné y}}}$

je konvektivní derivát.

Deanské číslo D je jediný zbývající parametr v systému a zapouzdřuje vedoucí pořadí efekty zakřivení. Aproximace vyššího řádu budou zahrnovat další parametry.

Pro slabé zakřivení (malé D), Deanovy rovnice lze vyřešit jako sériové rozšíření v D. První korekce axiálního řádu Tok Poiseuille je dvojice vírů v průřezu nesoucích tok zevnitř ven z ohybu přes střed a zpět kolem okrajů. Toto řešení je stabilní až do kritického Deanova čísla ${ displaystyle D_ {c} přibližně 956}$.^[7] Pro větší Dexistuje několik řešení, z nichž mnohá jsou nestabilní.

Vztah s Nusseltovým číslem

${ displaystyle Nu = 0,76 cdot Re ^ {- 0,23} cdot De ^ {- 0,114}}$

kde:

• Re je Reynoldsovo číslo
• De je číslo děkana
• Nu je Nusseltovo číslo

Reference

• Berger, S. A .; Talbot, L .; Yao, L. S. (1983). "Tok v zakřivených trubkách". Annu. Rev. Fluid Mech. 15: 461–512. Bibcode:1983AnRFM..15..461B. doi:10.1146 / annurev.fl.15.010183.002333.