Kvazi-geostrofické rovnice - Quasi-geostrophic equations

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Dubna 2014) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Zatímco geostrofický pohyb odkazuje na vítr, který by byl výsledkem přesné rovnováhy mezi Coriolisova síla a horizontální tlakově gradientní síly,^[1] kvazi-geostrofický (QG) pohyb označuje toky, kde jsou Coriolisovy síly a síly tlakového gradientu téměř v rovnováze, ale s setrvačnost také má účinek. ^[2]

Původ

Atmosférické a oceánografické toky probíhají na stupnicích horizontální délky, které jsou ve srovnání s jejich vertikální délkovou stupnicí velmi velké, a lze je tedy popsat pomocí rovnice mělké vody. The Rossbyho číslo je bezrozměrné číslo který charakterizuje sílu setrvačnosti ve srovnání se silou Coriolisovy síly. Kvazi-geostrofické rovnice jsou aproximacemi rovnic mělké vody v limitu malého Rossbyho čísla, takže setrvačné síly jsou řádově menší než Coriolisovy a tlakové síly. Pokud se Rossbyho číslo rovná nule, obnovíme geostrofický tok.

Kvazi-geostrofické rovnice byly nejprve formulovány pomocí Jule Charney.^[3]

Odvození jednovrstvých QG rovnic

V kartézských souřadnicích jsou složky geostrofický vítr jsou

${ displaystyle {f_ {0}} {v_ {g}} = { částečné Phi nad částečné x}}$ (1a)

${ displaystyle {f_ {0}} {u_ {g}} = - { částečné Phi nad částečné y}}$ (1b)

kde ${ displaystyle { Phi}}$ je geopotenciál.

Geostrofická vířivost

${ displaystyle { zeta _ {g}} = {{ hat { mathbf {k}}} cdot nabla times mathbf {V_ {g}}}}$

lze tedy vyjádřit geopotenciálem jako

${ displaystyle { zeta _ {g}} = {{ částečné v_ {g} nad částečné x} - { částečné u_ {g} nad částečné y} = {1 nad f_ {0}} left ({{ částečné ^ {2} Phi nad částečné x ^ {2}} + { částečné ^ {2} Phi nad částečné y ^ {2}}} vpravo) = {1 přes f_ {0}} { nabla ^ {2} Phi}}}$ (2)

K vyhledání lze použít rovnici (2) ${ displaystyle { zeta _ {g} (x, y)}}$ ze známého pole ${ displaystyle { Phi (x, y)}}$. Alternativně lze také použít k určení ${ displaystyle { Phi}}$ ze známé distribuce ${ displaystyle { zeta _ {g}}}$ převrácením Laplacian operátor.

Rovnici kvazi-geostrofické vorticity lze získat z ${ displaystyle {x}}$ a ${ displaystyle {y}}$ komponenty rovnice kvazi-geostrofické hybnosti, které lze poté odvodit z rovnice horizontální hybnosti

${ displaystyle {D mathbf {V} nad Dt} + f { hat { mathbf {k}}} times mathbf {V} = - nabla Phi}$ (3)

The materiálový derivát v (3) je definováno

${ displaystyle {{D přes Dt} = { vlevo ({ částečné přes částečné t} pravé) _ {p}} + { levé ({ mathbf {V} cdot nabla} pravé ) _ {p}} + { omega { částečné nad částečné p}}}}$ (4)

kde ${ displaystyle { omega = {Dp over Dt}}}$ je změna tlaku po pohybu.

Horizontální rychlost ${ displaystyle { mathbf {V}}}$ lze rozdělit na geostrofické ${ displaystyle { mathbf {V_ {g}}}}$ a ageostrofický ${ displaystyle { mathbf {V_ {a}}}}$ část

${ displaystyle { mathbf {V} = mathbf {V_ {g}} + mathbf {V_ {a}}}}$ (5)

Dva důležité předpoklady kvazi-geostrofické aproximace jsou

1. ${ displaystyle { mathbf {V_ {g}} gg mathbf {V_ {a}}}}$, nebo přesněji ${ displaystyle {| mathbf {V_ {a}} | over | mathbf {V_ {g}} |} sim O ({ text {Rossby číslo}})}$.

2. the aproximace beta roviny ${ displaystyle {f = f_ {0} + beta y}}$ s ${ displaystyle {{ frac { beta y} {f_ {0}}} sim O ({ text {Rossby číslo}})}}$

Druhý předpoklad ospravedlňuje, aby měl Coriolisův parametr konstantní hodnotu ${ displaystyle {f_ {0}}}$ v geostrofické aproximaci a aproximaci její variace v termínu Coriolisovy síly o ${ displaystyle {f_ {0} + beta y}}$.^[4] Protože však zrychlení po pohybu, které je uvedeno v bodě (1) jako rozdíl mezi Coriolisovou silou a silou tlakového gradientu, závisí na odklonu skutečného větru od geostrofického větru, není možné jednoduše nahradit rychlost svou geostrofickou rychlostí v Coriolisově termínu.^[4] Zrychlení v (3) lze poté přepsat jako

${ displaystyle {f { hat { mathbf {k}}} times mathbf {V} + nabla Phi} = {(f_ {0} + beta y) { hat { mathbf {k} }} times ( mathbf {V_ {g}} + mathbf {V_ {a}}) -f_ {0} { hat { mathbf {k}}} times mathbf {V_ {g}}} = {f_ {0} { hat { mathbf {k}}} times mathbf {V_ {a}} + beta y { hat { mathbf {k}}} times mathbf {V_ {g }}}}$ (6)

Rovnice přibližné horizontální hybnosti má tedy tvar

${ displaystyle {D_ {g} mathbf {V_ {g}} over Dt} = {- f_ {0} { hat { mathbf {k}}} times mathbf {V_ {a}} - beta y { hat { mathbf {k}}} times mathbf {V_ {g}}}}$ (7)

Vyjádření rovnice (7) z hlediska jejích složek,

${ displaystyle {{D_ {g} u_ {g} over Dt} - {f_ {0} v_ {a}} - { beta yv_ {g}} = 0}}$ (8a)

${ displaystyle {{D_ {g} v_ {g} over Dt} + {f_ {0} u_ {a}} + { beta yu_ {g}} = 0}}$ (8b)

Brát ${ displaystyle {{ částečné (8b) nad částečné x} - { částečné (8a) nad částečné y}}}$a poznamenává, že geostrofický vítr je nedivergentní (tj. ${ displaystyle { nabla cdot mathbf {V} = 0}}$), rovnice vířivosti je

${ displaystyle {{D_ {g} zeta _ {g} přes Dt} = f_ {0} vlevo ({{ částečné u_ {a} přes částečné x} + { částečné v_ {a} přes částečné y}} vpravo) - beta v_ {g}}}$ (9)

Protože ${ displaystyle {f}}$ záleží jen na ${ displaystyle {y}}$ (tj., ${ displaystyle {{D_ {g} f over Dt} = mathbf {V_ {g}} cdot nabla f = beta v_ {g}}}$) a že divergenci ageostrofického větru lze zapsat pomocí ${ displaystyle { omega}}$ na základě rovnice kontinuity

${ displaystyle {{ částečné u_ {a} nad částečné x} + { částečné v_ {a} nad částečné y} + { částečné omega nad částečné p} = 0}}$

rovnici (9) lze tedy zapsat jako

${ displaystyle {{ částečné zeta _ {g} nad částečné t} = {- mathbf {V_ {g}} cdot nabla ({ zeta _ {g} + f})} - {f_ {0} { částečné omega nad částečné p}}}}$ (10)

Stejná identita pomocí geopotenciálu

Definování geopotenciální tendence ${ displaystyle { chi = { částečné Phi nad částečné t}}}$ a za zmínku, že částečná diferenciace může být obrácena, lze rovnici (10) přepsat na ${ displaystyle { chi}}$ tak jako

${ displaystyle {{1 over f_ {0}} { nabla ^ {2} chi} = {- mathbf {V_ {g}} cdot nabla left ({{1 over f_ {0} } { nabla ^ {2} chi} + f} vpravo)} + {f_ {0} { částečné omega nad částečné p}}}}$ (11)

Pravá strana rovnice (11) závisí na proměnných ${ displaystyle { chi}}$ a ${ displaystyle { omega}}$. Analogickou rovnici závislou na těchto dvou proměnných lze odvodit z rovnice termodynamické energie

${ displaystyle {{{ left ({{ částečné over částečné t} + { mathbf {V_ {g}} cdot nabla}} right) left ({- částečné Phi over částečné p} vpravo)} - sigma omega} = {kJ přes p}}}$ (12)

kde ${ displaystyle { sigma = {- RT_ {0} nad p} {d log Theta _ {0} nad dp}}}$ a ${ displaystyle { Theta _ {0}}}$ je potenciální teplota odpovídající teplotě základního stavu. Ve střední troposféře ${ displaystyle { Theta _ {0}}}$ ≈ ${ displaystyle {2,5 krát 10 ^ {- 6} mathrm {m} {^ {2}} mathrm {Pa} ^ {- 2} mathrm {s} ^ {- 2}}}$.

Vynásobení (12) ${ displaystyle {f_ {0} over sigma}}$ a rozlišovat s ohledem na ${ displaystyle {p}}$ a pomocí definice ${ displaystyle { chi}}$ výnosy

${ displaystyle {{{{ částečné nad částečné p} levé ({{f_ {0} nad sigma} { částečné chi nad částečné p}} pravé)} = - {{ částečné přes částečné p} vlevo ({{f_ {0} přes sigma} { mathbf {V_ {g}} cdot nabla} { částečné Phi přes částečné p}} pravé)} - {{f_ {0}} { částečné omega nad částečné p}} - {{f_ {0}} { částečné nad částečné p} vlevo ({kJ nad sigma p} vpravo )}}}$ (13)

Pokud pro jednoduchost ${ displaystyle {J}}$ byly nastaveny na 0, což vylučuje ${ displaystyle { omega}}$ v rovnicích (11) a (13) výnosy ^[5]

${ displaystyle {{ left ({ nabla ^ {2} + {{ částečné over částečné p} left ({{f_ {0} ^ {2} over sigma} { částečné over částečný p}} vpravo)}} vpravo) { chi}} = - {{f_ {0}} { mathbf {V_ {g}} cdot nabla} vlevo ({{{1 nad f_ {0}} { nabla ^ {2} Phi}} + f} vpravo)} - {{ částečné nad částečné p} vlevo ({{-} {f_ {0} ^ {2} přes sigma} { mathbf {V_ {g}} cdot nabla} vlevo ({ částečné Phi přes částečné p} pravé)} pravé)}}}$ (14)

Rovnice (14) se často označuje jako rovnice geopotenciální tendence. Vztahuje se k místní geopotenciální tendenci (termín A) k distribuci vorticity advection (termín B) a tloušťce advection (termín C).

Stejná identita s využitím kvazi-geostrofické potenciální vířivosti

Pomocí řetězového pravidla diferenciace lze termín C psát jako

${ displaystyle {- {{ mathbf {V_ {g}} cdot nabla} { částečné nad částečné p} vlevo ({{f_ {0} ^ {2} nad sigma} { částečné Phi přes částečné p}} pravé)} - {{f_ {0} ^ {2} přes sigma} { částečné mathbf {V_ {g}} přes částečné p} { cdot nabla} { částečné Phi nad částečné p}}}}$ (15)

Ale na základě tepelný vítr vztah,

${ displaystyle {{f_ {0} { částečné mathbf {V_ {g}} nad částečné p}} = {{ hat { mathbf {k}}} krát nabla vlevo ({ částečné Phi přes částečné p} pravé)}}}$.

Jinými slovy,${ displaystyle { částečné mathbf {V_ {g}} nad částečné p}}$ je kolmá na ${ displaystyle { nabla ({ částečné Phi nad částečné p})}}$ a druhý člen v rovnici (15) zmizí.

První člen lze kombinovat s členem B v rovnici (14), která po dělení ${ displaystyle {f_ {0}}}$ lze vyjádřit ve formě konzervační rovnice ^[6]

${ displaystyle {{ left ({{ částečné over částečné t} + { mathbf {V_ {g}} cdot nabla}} right) q} = {D_ {g} q over Dt} = 0}}$ (16)

kde ${ displaystyle {q}}$ je kvazi-geostrofická potenciální vorticita definovaná

${ displaystyle {q = {{{1 nad f_ {0}} { nabla ^ {2} Phi}} + {f} + {{ částečné nad částečné p} vlevo ({{f_ { 0} over sigma} { částečné Phi over částečné p}} vpravo)}}}}$ (17)

Tři členy rovnice (17) jsou zleva doprava geostrofické relativní vorticita planetární vorticity a protahování vířivost.

Dopady

Jak se vzduchová zásilka pohybuje v atmosféře, její relativní, planetární a protahující se víry se mohou měnit, ale rovnice (17) ukazuje, že součet těchto tří musí být zachován po geostrofickém pohybu.

K vyhledání lze použít rovnici (17) ${ displaystyle {q}}$ ze známého pole ${ displaystyle { Phi}}$. Alternativně jej lze také použít k předpovědi vývoje geopotenciálního pole při počátečním rozdělení ${ displaystyle { Phi}}$ a vhodné okrajové podmínky pomocí inverzního procesu.

Ještě důležitější je, že kvazi-geostrofický systém redukuje primitivní rovnice pěti proměnných na systém jedné rovnice, kde jsou všechny proměnné jako ${ displaystyle {u_ {g}}}$, ${ displaystyle {v_ {g}}}$ a ${ displaystyle {T}}$ lze získat z ${ displaystyle {q}}$ nebo výška ${ displaystyle { Phi}}$.

Také proto, že ${ displaystyle { zeta _ {g}}}$ a ${ displaystyle { mathbf {V_ {g}}}}$ jsou definovány z hlediska ${ displaystyle { Phi (x, y, p, t)}}$lze k diagnostice použít rovnici vířivosti vertikální pohyb za předpokladu, že pole obou ${ displaystyle { Phi}}$ a ${ displaystyle { částečné Phi nad částečné t}}$ jsou známy.

Reference