Potenciální tok - Potential flow - Wikipedia

Potenciální tok zefektivňuje kolem a Profil křídla NACA 0012 při 11 ° úhel útoku, s horní a dolní potoky identifikováno.

v dynamika tekutin, potenciální tok popisuje rychlostní pole jako spád skalární funkce: rychlostní potenciál. Ve výsledku je potenciální tok charakterizován pole irrotační rychlosti, což je platná aproximace pro několik aplikací. Irrotacionalita potenciálního toku je způsobena kučera gradientu a skalární vždy rovna nule.

V případě nestlačitelný tok rychlostní potenciál vyhovuje Laplaceova rovnice, a teorie potenciálu je použitelné. K popisu však byly použity i potenciální toky stlačitelné toky. Přístup k potenciálnímu toku se vyskytuje při modelování jak stacionárních, tak i nestacionárních toků. Aplikace potenciálního toku jsou například: vnější pole toku pro křídla, vodní vlny, elektroosmotický tok, a průtok podzemní vody. Pro toky (nebo jejich části) se silným vířivost účinky, aproximace potenciálního toku není použitelná.

Vlastnosti a aplikace

Tok potenciálu je konstruován přidáním jednoduchých elementárních toků a pozorováním výsledku.

Zefektivňuje pro nestlačitelné potenciální tok kolem kruhového válce v jednotném toku.

Popis a vlastnosti

V dynamice tekutin je tok potenciálu popsán pomocí potenciálu rychlosti $φ$ , přičemž funkce prostoru a času. The rychlost proudění $proti$ je vektorové pole rovná se přechodu, $\nabla$ , potenciálu rychlosti $φ$ :^[1]

{ displaystyle mathbf {v} = nabla varphi.}

Někdy také definice $proti = -\nabla φ$ , se znaménkem mínus, je použito. Ale zde použijeme definici výše, bez znaménka mínus. Z vektorový počet je známo, že zvlnění přechodu se rovná nule:^[1]

{ displaystyle nabla times nabla varphi = mathbf {0} ,,}

a následně vířivost, kučera rychlostního pole $proti$ , je nula:^[1]

{ displaystyle nabla times mathbf {v} = mathbf {0} ,.}

To znamená, že potenciální tok je irrotační tok. To má přímé důsledky pro použitelnost potenciálního toku. V oblastech toku, kde je známo, že je důležitá vířivost, jako je probouzí se a mezní vrstvy, teorie potenciálního toku není schopna poskytnout rozumné předpovědi toku.^[2] Naštěstí často existují velké oblasti toku, kde je platný předpoklad irrotacity, a proto se potenciální tok používá pro různé aplikace. Například v: flow around letadlo, průtok podzemní vody, akustika, vodní vlny, a elektroosmotický tok.^[3]

Nestlačitelný tok

V případě nestlačitelný tok - například a kapalný nebo plyn na nízké úrovni Machova čísla; ale ne pro zvuk vlny - rychlost $proti$ má nulu divergence:^[1]

{ displaystyle nabla cdot mathbf {v} = 0 ,,}

s tečkou označující vnitřní produkt. Výsledkem je rychlostní potenciál $φ$ musí uspokojit Laplaceova rovnice^[1]

{ displaystyle nabla ^ {2} varphi = 0 ,,}

kde $\nabla 2 = \nabla \cdot \nabla$ je Operátor Laplace (někdy také psáno $Δ$ ). V tomto případě lze průtok určit zcela z jeho kinematika: předpoklady irrotationality a nulové divergence toku. Dynamika pouze poté, pokud má někdo zájem o výpočet tlaků: například pro proudění kolem profilů křídla pomocí Bernoulliho princip.

Ve dvou dimenzích se potenciální tok redukuje na velmi jednoduchý systém, který je analyzován pomocí komplexní analýza (viz. níže).

Stlačitelný průtok

Stabilní tok

Teorii potenciálního toku lze také použít k modelování irrotačního stlačitelného toku. The rovnice plného potenciálu, popisující a stálý tok, darováno:^[4]

{ displaystyle left (1-M_ {x} ^ {2} right) { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné x ^ {2}}} + doleva (1-M_ { y} ^ {2} vpravo) { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné y ^ {2}}} + vlevo (1-M_ {z} ^ {2} vpravo) { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné z ^ {2}}} - 2M_ {x} M_ {y} { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné x , částečné y}} - 2M_ {y} M_ {z} { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné y , částečné z}} - 2M_ {z} M_ {x} { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné z , částečné x}} = 0 ,,}

s Machovo číslo komponenty

{ displaystyle M_ {x} = { frac {1} {a}} { frac { částečné Phi} { částečné x}} ,, qquad M_ {y} = { frac {1} { a}} { frac { částečné Phi} { částečné y}} ,, qquad { text {a}} qquad M_ {z} = { frac {1} {a}} { frac { částečné Phi} { částečné z}} ,,}

kde $A$ je místní rychlost zvuku. Rychlost proudění $proti$ se opět rovná $\nablaΦ$ , s $Φ$ rychlostní potenciál. Rovnice plného potenciálu platí pro sub-, trans- a nadzvukový tok libovolně úhel útoku, pokud platí předpoklad irrotationality.^[4]

V případě podzvukové nebo nadzvukové (ale ne transsonické nebo nadzvukový ) tok, při malých úhlech náběhu a tenkých tělesech lze učinit další předpoklad: potenciál rychlosti je rozdělen na nerušenou rychlost proudění $PROTI \infty$ v $X$ -směr, a malý rozrušení rychlost $\nabla φ$ z toho. Tak:^[4]

{ displaystyle nabla Phi = V _ { infty} x + nabla varphi ,.}

V takovém případě linearizovaná rovnice potenciálu malé poruchy - přiblížení k rovnici plného potenciálu - lze použít:^[4]

{ displaystyle left (1-M _ { infty} ^ {2} right) { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné z ^ {2}}} = 0,}

s $M \infty = .mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px;white-space:nowrap} PROTI \infty / A \infty$ Machovo číslo příchozího bezplatného streamu. Tato lineární rovnice je mnohem snazší řešit než rovnice plného potenciálu: může být přepracována do Laplaceovy rovnice jednoduchým souřadnicím protaženým v $X$ -směr.

Odvození rovnice plného potenciálu

Pro stálý tok neviditelné látky je Eulerovy rovnice - pro hmotnost a hustotu hybnosti - jsou v dolní indexové notaci a vkonzervační forma:^[5]

{ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { částečné} { částečné x_ {i}}} vlevo ( rho , v_ {i} vpravo) & = 0 ,, rho , v_ {j} , { frac { částečné v_ {i}} { částečné x_ {j}}} & = - { frac { částečné p} { částečné x_ {i}}} ,, end {zarovnáno}}}

při používání konvence součtu: od té doby $j$ vyskytuje se více než jednou v termínu na levé straně rovnice hybnosti, $j$ je sečteno přes všechny jeho složky (což je od 1 do 2 ve dvourozměrném toku a od 1 do 3 ve třech rozměrech). Dále:

$ρ$ je tekutina hustota,
$str$ je tlak,
$(X 1, X 2, X 3) = (X, y, z)$ jsou souřadnice a
$(proti 1, proti 2, proti 3)$ jsou odpovídající složky vektoru rychlosti $proti$ .

Rychlost zvuku na druhou $A 2$ se rovná derivaci tlaku $str$ s ohledem na hustotu $ρ$ konstantní entropie $S$ :^[6]

{ displaystyle a ^ {2} = left [{ frac { částečné p} { částečné rho}} pravé] _ {S}.}

Výsledkem je, že rovnice toku lze zapsat jako:

{ displaystyle v_ {i} , { frac { částečné rho} { částečné x_ {i}}} + rho , { frac { částečné v_ {i}} { částečné x_ {i} }} = 0 qquad { text {a}} qquad rho , v_ {j} , { frac { parciální v_ {i}} { parciální x_ {j}}} = - a ^ { 2} , { frac { částečné rho} { částečné x_ {i}}} ,.}

Vynásobení (a součet) rovnice hybnosti s $proti i$ a pomocí hmotnostní rovnice k eliminaci gradientu hustoty získáte:

{ displaystyle rho , v_ {i} , v_ {j} , { frac { částečné v_ {i}} { částečné x_ {j}}} = rho , a ^ {2} , { frac { částečné v_ {i}} { částečné x_ {i}}} ,.}

Když se dělí $ρ$ , a se všemi členy na jedné straně rovnice je rovnice stlačitelného toku:

{ displaystyle { frac { částečné v_ {i}} { částečné x_ {i}}} - { frac {v_ {i} , v_ {j}} {a ^ {2}}} { frac { částečné v_ {i}} { částečné x_ {j}}} = 0 ,.}

Všimněte si, že do této fáze nebyly učiněny žádné předpoklady týkající se toku (kromě toho je to a stálý tok ).

Nyní pro irrotační tok rychlost $proti$ je gradient potenciálu rychlosti $Φ$ a místní komponenty Machova čísla $M i$ jsou definovány jako:

{ displaystyle v_ {i} = { frac { částečné Phi} { částečné x_ {i}}} qquad { text {a}} qquad M_ {i} = { frac {v_ {i} } {a}} = { frac {1} {a}} { frac { částečné Phi} { částečné x_ {i}}} ,.}

Při použití v rovnici toku vyplyne z rovnice plného potenciálu:

{ displaystyle { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné x_ {i} , částečné x_ {i}}} - M_ {i} , M_ {j} , { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné x_ {i} , částečné x_ {j}}} = 0 ,.}

Vypsáno v komponentách, získá se formulář uvedený na začátku této části. Když konkrétní stavová rovnice je poskytován, související tlak $str$ a hustota $ρ$ , lze určit rychlost zvuku. Následně lze společně s odpovídajícími okrajovými podmínkami vyřešit rovnici plného potenciálu (nejčastěji pomocí a výpočetní dynamika tekutin kód).

Nestálý tok

Teorii potenciálního toku lze také použít k modelování irrotačního stlačitelného toku. The rovnice plného potenciálu, popisující nestacionární tok, je dán vztahem:^[4]

{ displaystyle { begin {aligned} - & { frac {1} {a ^ {2}}} left [{ frac { částečné} { částečné t}} ( nabla Phi cdot nabla Phi) + { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné t ^ {2}}} pravé] + & levé (1-M_ {x} ^ {2} pravé) { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné x ^ {2}}} + vlevo (1-M_ {y} ^ {2} vpravo) { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné y ^ {2}}} + vlevo (1-M_ {z} ^ {2} pravé) { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné z ^ {2 }}} - 2M_ {x} M_ {y} { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné x , částečné y}} - 2M_ {y} M_ {z} { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné y , částečné z}} - 2M_ {z} M_ {x} { frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné z , částečné x }} = 0 end {zarovnáno}}}

s Machovo číslo komponenty

{ displaystyle M_ {x} = { frac {1} {a}} { frac { částečné Phi} { částečné x}} ,, qquad M_ {y} = { frac {1} { a}} { frac { částečné Phi} { částečné y}} ,, qquad { text {a}} qquad M_ {z} = { frac {1} {a}} { frac { částečné Phi} { částečné z}} ,,}

kde $A$ je místní rychlost zvuku. Rychlost proudění $proti$ se opět rovná $\nablaΦ$ , s $Φ$ rychlostní potenciál. Rovnice plného potenciálu platí pro sub-, trans- a nadzvukový tok libovolně úhel útoku, pokud platí předpoklad irrotationality.^[4]

V případě podzvukové nebo nadzvukové (ale ne transsonické nebo nadzvukový ) tok, při malých úhlech náběhu a tenkých tělesech lze učinit další předpoklad: potenciál rychlosti je rozdělen na nerušenou rychlost proudění $PROTI \infty$ v $X$ -směr, a malý rozrušení rychlost $\nabla φ$ z toho. Tak:^[4]

{ displaystyle nabla Phi = V _ { infty} x + nabla varphi ,.}

V takovém případě linearizovaná rovnice potenciálu malé poruchy - přiblížení k rovnici plného potenciálu - lze použít:^[4]

{ displaystyle - { frac {1} {a ^ {2}}} vlevo [2V _ { infty} { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné x částečné t}} + { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné t ^ {2}}} pravé] + levé (1-M _ { infty} ^ {2} pravé) { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné y ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2 } varphi} { částečné z ^ {2}}} = 0,}

s $M \infty = PROTI \infty / A \infty$ Machovo číslo příchozího bezplatného streamu.

Odvození rovnice plného potenciálu

Začneme rovnicí zachování hmotnosti
${ displaystyle { frac {1} { rho}} { frac { částečné rho} { částečné t}} + { frac {{ vec {v}} cdot nabla rho} { rho}} + nabla cdot { vec {v}} = 0}$

Zvažte první termín. Použitím Bernoulliho princip tak píšeme

${ displaystyle { frac {1} { rho}} { frac { částečné rho} { částečné t}} = { frac {1} {a ^ {2} rho}} { frac { částečné p} { částečné t}} = { frac {1} {a ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné t}} int _ {p_ {1}} ^ {p } { frac {d { tilde {p}}} {d rho ({ tilde {p}})}}} = - { frac {1} {a ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné t}} levé [{ frac { částečné Phi} { částečné t}} + { frac { nabla Phi cdot nabla Phi} {2}} vpravo]}$

Podobným způsobem lze napsat druhý termín

${ displaystyle { frac {{ vec {v}} cdot nabla rho} { rho}} = { frac {{ vec {v}} cdot nabla p} {a ^ {2} rho}} = - { frac {1} {a ^ {2}}} { vec {v}} cdot nabla left [{ frac { částečné Phi} { částečné t}} + { frac { nabla Phi cdot nabla Phi} {2}} right] = - { frac {1} {a ^ {2}}} nabla Phi cdot nabla left [{ frac { částečné Phi} { částečné t}} + { frac { nabla Phi cdot nabla Phi} {2}} vpravo]}$

Sbíráním termínů a přeskupováním se stává rovnice zachování hmotnosti

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi - { frac {1} {a ^ {2}}} { frac { částečné} { částečné t}} vlevo [{ frac { částečné Phi } { částečné t}} + { frac { nabla Phi cdot nabla Phi} {2}} doprava] - { frac {1} {a ^ {2}}} nabla Phi cdot nabla left [{ frac { částečné Phi} { částečné t}} + { frac { nabla Phi cdot nabla Phi} {2}} doprava] = 0}$

${ displaystyle nabla ^ {2} Phi - { frac {1} {a ^ {2}}} vlevo [{ frac { částečné ^ {2} Phi} { částečné t ^ {2} }} + { frac { částečné} { částečné t}} ( nabla Phi cdot nabla Phi) + nabla Phi cdot nabla left ({ frac { nabla Phi cdot nabla Phi} {2}} vpravo) vpravo] = 0}$

Zvukové vlny

Zvukové vlny s malou amplitudou lze aproximovat pomocí následujícího modelu potenciálního toku:^[7]

{ displaystyle { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné t ^ {2}}} = { overline {a}} ^ {2} Delta varphi,}

což je lineární vlnová rovnice pro rychlostní potenciál $φ$ . Opět oscilační část vektoru rychlosti $proti$ souvisí s potenciálem rychlosti pomocí $proti = \nabla φ$ , zatímco jako předtím $Δ$ je Operátor Laplace, a $A$ je průměrná rychlost zvuku v homogenní médium. Všimněte si, že také oscilační části tlak $str$ a hustota $ρ$ každý jednotlivě v této aproximaci splňuje vlnovou rovnici.

Použitelnost a omezení

Potenciální tok nezahrnuje všechny charakteristiky toků, se kterými se setkáváme v reálném světě. Teorii potenciálního toku nelze použít pro viskózní vnitřní toky ^[2], až na proudí mezi těsně rozmístěnými deskami. Richard Feynman považoval potenciální tok za tak nefyzický, že jedinou tekutinou, která splňovala předpoklady, byla „suchá voda“ (cituji Johna von Neumanna).^[8] Tok nestlačitelného potenciálu také vytváří řadu neplatných předpovědí, například d'Alembertův paradox, který uvádí, že odpor jakéhokoli objektu pohybujícího se nekonečnou tekutinou, jinak v klidu, je nulový.^[9] Přesněji řečeno, potenciální tok nemůže odpovídat za chování toků, které zahrnují a mezní vrstva.^[2] Porozumění potenciálnímu toku je nicméně důležité v mnoha odvětvích mechaniky tekutin. Zejména jednoduché potenciální toky (tzv elementární toky ) tak jako volný vír a bodový zdroj mít připravená analytická řešení. Tato řešení mohou být nad sebou vytvářet složitější toky splňující různé okrajové podmínky. Tyto toky úzce odpovídají skutečným tokům v celé mechanice tekutin; kromě toho vzniká mnoho cenných poznatků, když se vezme v úvahu odchylka (často nepatrná) mezi pozorovaným tokem a odpovídajícím potenciálním tokem. Potenciální tok nachází mnoho aplikací v oblastech, jako je konstrukce letadel. Například v výpočetní dynamika tekutin, jednou technikou je spojení potenciálního řešení toku mimo mezní vrstva k řešení rovnice mezní vrstvy uvnitř mezní vrstvy. Absence efektů mezní vrstvy znamená, že jakoukoli přímku lze nahradit pevnou hranicí beze změny v poli toku, což je technika používaná v mnoha přístupech aerodynamického návrhu. Další technikou by bylo použití Riabouchinsky pevné látky.^{[pochybný – diskutovat]}

Analýza pro dvourozměrný tok

Potenciální tok ve dvou rozměrech je snadné analyzovat pomocí konformní mapování, použitím transformace z složité letadlo. Použití komplexních čísel však není nutné, jako například při klasické analýze toku tekutiny kolem válce. Není možné vyřešit potenciální tok pomocí komplexní čísla ve třech rozměrech.^[10]

Základní myšlenkou je použít a holomorfní (také zvaný analytický ) nebo meromorfní funkce $F$ , který mapuje fyzickou doménu $(X, y)$ do transformované domény $(φ, ψ)$ . Zatímco $X$ , $y$ , $φ$ a $ψ$ všichni jsou skutečná hodnota, je vhodné definovat komplexní veličiny

{ displaystyle z = x + iy qquad { text {a}} qquad w = varphi + i psi ,.}

Nyní, když napíšeme mapování $F$ tak jako^[10]

{ displaystyle f (x + iy) = varphi + i psi qquad { text {nebo}} qquad f (z) = w ,.}

Potom, protože $F$ je holomorfní nebo meromorfní funkce, musí splňovat Cauchy – Riemannovy rovnice^[10]

{ displaystyle { frac { částečné varphi} { částečné x}} = { frac { částečné psi} { částečné y}} ,, qquad { frac { částečné varphi} { částečné y}} = - { frac { částečné psi} { částečné x}} ,.}

Složky rychlosti $(u, proti)$ , v $(X, y)$ směry lze získat přímo z $F$ rozlišováním s ohledem na $z$ . To je^[10]

{ displaystyle { frac {df} {dz}} = u-iv}

Takže rychlostní pole $proti = (u, proti)$ je specifikováno^[10]

{ displaystyle u = { frac { částečné varphi} { částečné x}} = { frac { částečné psi} { částečné y}}, qquad v = { frac { částečné varphi} { částečné y}} = - { frac { částečné psi} { částečné x}} ,.}

Oba $φ$ a $ψ$ pak uspokojit Laplaceova rovnice:^[10]

{ displaystyle Delta varphi = { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} varphi} { částečné y ^ {2}}} = 0 qquad { text {a}} qquad Delta psi = { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné x ^ {2}}} + { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné y ^ {2}}} = 0 ,.}

Tak $φ$ lze identifikovat jako rychlostní potenciál a $ψ$ se nazývá funkce streamu.^[10] Řádky konstanty $ψ$ jsou známé jako zefektivňuje a řádky konstanty $φ$ jsou známé jako ekvipotenciální čáry (viz ekvipotenciální povrch ).

Streamlines a ekvipotenciální čáry jsou od sebe navzájem kolmé^[10]

{ displaystyle nabla varphi cdot nabla psi = { frac { částečné varphi} { částečné x}} { frac { částečné psi} { částečné x}} + { frac { částečný varphi} { částečný y}} { frac { částečný psi} { částečný y}} = { frac { částečný psi} { částečný y}} { frac { částečný psi} { částečné x}} - { frac { částečné psi} { částečné x}} { frac { částečné psi} { částečné y}} = 0 ,.}

Tok tedy probíhá podél linie konstanty $ψ$ a v pravém úhlu k liniím konstanty $φ$ .^[10]

$Δ ψ = 0$ je rovněž spokojen, tento vztah je rovnocenný $\nabla \times proti = 0$ . Tok je tedy irrotační. Automatický stav $\partial 2 Ψ / \partial X \partial y = \partial 2 Ψ / \partial y \partial X$ pak dává omezení nestlačitelnosti $\nabla \cdot proti = 0$ .

Příklady dvourozměrných toků

Lze použít jakoukoli diferencovatelnou funkci $F$ . Následující příklady používají celou řadu základní funkce; speciální funkce lze také použít. Všimněte si, že funkce s více hodnotami tak jako přirozený logaritmus mohou být použity, ale pozornost musí být omezena na jednu Riemannův povrch.

Zákony moci

V případě následujícího Napájení - je použita zákonná konformní mapa, od $z = X + iy$ na $w = φ + iψ$ :^[11]

{ displaystyle w = Az ^ ​​{n} ,,}

pak, psaní $z$ v polárních souřadnicích jako $z = X + iy = re iθ$ , my máme^[11]

{ displaystyle varphi = Ar ^ {n} cos n theta qquad { text {a}} qquad psi = Ar ^ {n} sin n theta ,.}

Na obrázcích vpravo jsou uvedeny příklady několika hodnot $n$ . Černá čára je hranicí toku, zatímco tmavší modré čáry jsou proudnice a světlejší modré čáry jsou ekvipotenciální čáry. Několik zajímavých schopností $n$ jsou:^[11]

$n = 1 / 2$ : to odpovídá toku kolem polo nekonečné desky,
$n = 2 / 3$ : proudí kolem pravého rohu,
$n = 1$ : triviální případ rovnoměrného toku,
$n = 2$ : proudí rohem nebo poblíž bodu stagnace a
$n = -1$ : tok kvůli dubletu zdroje

Konstanta $A$ je parametr měřítka: jeho absolutní hodnota $| A |$ určuje měřítko, zatímco jeho argument $arg (A)$ zavádí rotaci (pokud není nula).

Zákony moci s $n = 1$ : rovnoměrný tok

Li $w = Az 1$ , tj. mocenský zákon s $n = 1$ , proudnice (tj. řádky konstanty $ψ$ ) jsou soustavy přímek rovnoběžných s $X$ -osa. To je nejjednodušší vidět psaním ve smyslu skutečných a imaginárních komponent:

{ displaystyle f (x + iy) = A , (x + iy) = sekera + iAy}

tedy dávat $φ = Sekera$ a $ψ = Ay$ . Tento tok lze interpretovat jako rovnoměrný tok souběžně s $X$ -osa.

Zákony moci s $n = 2$

Li $n = 2$ , pak $w = Az 2$ a zefektivnění odpovídající konkrétní hodnotě $ψ$ jsou tyto body uspokojivé

{ displaystyle psi = Ar ^ {2} sin 2 theta ,,}

což je systém obdélníkové hyperboly. To lze vidět opětovným přepisováním, pokud jde o skutečné a imaginární komponenty. Všímat si toho $hřích 2 θ = 2 hříchy θ cos θ$ a přepis $hřích θ = y / r$ a $cos θ = X / r$ je vidět (na zjednodušení), že racionalizace jsou dány

{ displaystyle psi = 2Axy ,.}

Pole rychlosti je dáno vztahem $\nabla φ$ nebo

{ displaystyle { begin {pmatrix} u v end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} { frac { částečné varphi} { částečné x}} [2px] { frac { částečné varphi} { částečné y}} konec {pmatrix}} = { začátek {pmatrix} + { částečné psi přes částečné y} [2px] - { částečné psi přes částečné x} end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} + 2Ax [2px] -2Ay end {pmatrix}} ,.}

V dynamice tekutin odpovídá tokové pole poblíž počátku a bod stagnace. Všimněte si, že tekutina na počátku je v klidu (toto následuje po diferenciaci $F (z) = z 2$ na $z = 0$ ). The $ψ = 0$ streamline je obzvláště zajímavý: má dvě (nebo čtyři) větve, sledující souřadnicové osy, tj. $X = 0$ a $y = 0$ . Protože přes neteče žádná tekutina $X$ - osa, to ( $X$ -axis) lze považovat za pevnou hranici. Je tedy možné ignorovat tok ve spodní polorovině kde $y < 0$ a zaměřit se na tok v horní polorovině. S touto interpretací jde o tok vertikálně směrovaného paprsku dopadajícího na vodorovnou plochou desku. Tok lze také interpretovat jako tok do 90 stupňového rohu, pokud regiony určené (řekněme) $X, y < 0$ jsou ignorovány.

Zákony moci s $n = 3$

Li $n = 3$ , výsledný tok je jakousi šestihrannou verzí $n = 2$ výše uvažovaný případ. Streamlines jsou dány, $ψ = 3 X 2 y - y 3$ a tok v tomto případě lze interpretovat jako tok do 60 ° rohu.

Zákony moci s $n = -1$ : dublet

Li $n = -1$ , jsou zjednodušené linie dány

{ displaystyle psi = - { frac {A} {r}} sin theta.}

To je snadněji interpretováno z hlediska skutečných a imaginárních komponent:

{ displaystyle psi = { frac {-Ay} {r ^ {2}}} = { frac {-Ay} {x ^ {2} + y ^ {2}}} ,,}

{ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + { frac {Ay} { psi}} = 0 ,,}

{ displaystyle x ^ {2} + doleva (y + { frac {A} {2 psi}} doprava) ^ {2} = doleva ({ frac {A} {2 psi}} doprava ) ^ {2} ,.}

Tak jsou efektivní kruhy které jsou tečny k ose x v počátku. Kruhy v horní polorovině tedy proudí ve směru hodinových ručiček, kruhy v dolní polorovině proudí proti směru hodinových ručiček. Všimněte si, že složky rychlosti jsou úměrné $r -2$ ; a jejich hodnoty na počátku jsou nekonečné. Tento vzor toku se obvykle označuje jako a dubletnebo dipól, a lze jej interpretovat jako kombinaci dvojice nekonečné síly zdroj-jímka udržované v nekonečně malé vzdálenosti od sebe. Pole rychlosti je dáno vztahem

{ displaystyle (u, v) = left ({ frac { částečné psi} { částečné y}}, - { frac { částečné psi} { částečné x}} vpravo) = vlevo (A { frac {y ^ {2} -x ^ {2}} { left (x ^ {2} + y ^ {2} right) ^ {2}}}, - A { frac {2xy } { left (x ^ {2} + y ^ {2} right) ^ {2}}} right) ,.}

nebo v polárních souřadnicích:

{ displaystyle (u_ {r}, u _ { theta}) = left ({ frac {1} {r}} { frac { částečný psi} { částečný theta}}, - { frac { částečné psi} { částečné r}} pravé) = levé (- { frac {A} {r ^ {2}}} cos theta, - { frac {A} {r ^ { 2}}} sin theta right) ,.}

Zákony moci s $n = -2$ : kvadrupól

Li $n = -2$ , jsou zjednodušené linie dány

{ displaystyle psi = - { frac {A} {r ^ {2}}} sin 2 theta ,.}

Toto je tokové pole spojené s a kvadrupól.^[12]

Zdroj linky a jímka

Zdroj linky nebo jímka síly ${ displaystyle Q}$ ( ${ displaystyle Q> 0}$ pro zdroj a ${ displaystyle Q <0}$ pro dřez) je dán potenciálem

{ displaystyle w = { frac {Q} {2 pi}} ln z}

kde ${ displaystyle Q}$ ve skutečnosti je to objemový tok na jednotku délky napříč povrchem obklopujícím zdroj nebo dřez. Pole rychlosti v polárních souřadnicích je

{ displaystyle u_ {r} = { frac {Q} {2 pi r}}, quad u _ { theta} = 0}

tj. čistě radiální tok.

Lineární vír

Lineární vír síly ${ displaystyle Gamma}$ darováno

{ displaystyle w = { frac { Gamma} {2 pi i}} ln z}

kde ${ displaystyle Gamma}$ je oběh kolem jakéhokoli jednoduchého uzavřeného obrysu obklopujícího vír. Pole rychlosti v polárních souřadnicích je

{ displaystyle u_ {r} = 0, quad u _ { theta} = { frac { Gamma} {2 pi r}}}

tj. čistě azimutální tok.

Analýza pro trojrozměrný tok

U trojrozměrných toků nelze získat komplexní potenciál.

Bodový zdroj a jímka

Potenciál rychlosti bodového zdroje nebo propadu síly ${ displaystyle Q}$ ( ${ displaystyle Q> 0}$ pro zdroj a ${ displaystyle Q <0}$ pro jímku) ve sférických polárních souřadnicích je dán vztahem

{ displaystyle phi = - { frac {Q} {4 pi r}}}

kde ${ displaystyle Q}$ ve skutečnosti je to objemový tok přes uzavřený povrch obklopující zdroj nebo jímku.

Viz také

Poznámky

^ ^A ^b ^C ^d ^E Batchelor (1973), str. 99–101.
^ ^A ^b ^C Batchelor (1973), str. 378–380.
^ Kirby, B.J. (2010), Mikro- a nanoměřítková tekutinová mechanika: Transport v mikrofluidních zařízeních., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h Anderson, J. D. (2002). Moderní stlačitelný průtok. McGraw-Hill. p. 358–359. ISBN 0-07-242443-5.
^ Lamb (1994) §6 – §7, s. 3–6.
^ Batchelor (1973), str. 161.
^ Lamb (1994) §287, s. 492–495.
^ Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1964), Feynmanovy přednášky z fyziky, 2, Addison-Wesley, str. 40-3. Kapitola 40 má název: Tok suché vody.
^ Batchelor (1973), str. 404–405.
^ ^A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ Batchelor (1973), str. 106–108.
^ ^A ^b ^C Batchelor (1973), str. 409–413.
^ Kyrala, A. (1972). Aplikované funkce komplexní proměnné. Wiley-Interscience. str. 116–117. ISBN 9780471511298.

Reference

Batchelor, G.K. (1973), Úvod do dynamiky tekutin, Cambridge University Press, ISBN 0-521-09817-3
Chanson, H. (2009), Aplikovaná hydrodynamika: Úvod do ideálních a skutečných toků tekutin, CRC Press, Taylor & Francis Group, Leiden, Nizozemsko, 478 stran, ISBN 978-0-415-49271-3
Lamb, H. (1994) [1932], Hydrodynamika (6. vydání), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-45868-9
Milne-Thomson, L.M. (1996) [1968], Teoretická hydrodynamika (5. vydání), Dover, ISBN 0-486-68970-0

Další čtení

Chanson, H. (2007), „Le potentiel de vitesse pour les écoulements de fluides réels: la příspěvek de Joseph-Louis Lagrange [Potenciál rychlosti ve skutečných tokech tekutin: příspěvek Joseph-Louis Lagrange]“, La Houille Blanche (ve francouzštině) (5): 127–131, doi:10,1051 / lhb: 2007072
Wehausen, J.V.; Laitone, E.V. (1960), "Povrchové vlny", in Flügge, S.; Truesdell, C. (eds.), Encyklopedie fyziky, IX, Springer Verlag, str. 446–778, archivovány od originál dne 05.01.2009, vyvoláno 2009-03-29

externí odkazy

„Irrotační tok neviditelné kapaliny“. Univerzita v Janově, Strojírenská fakulta. Citováno 2009-03-29.
„Galerie konformních map“. 3D-XplorMath. Citováno 2009-03-29. - Java applety pro zkoumání konformních map
Potenciální vizualizace toku - interaktivní WebApps

[B_99_101-1] A ^b ^C ^d ^E Batchelor (1973), str. 99–101.

[B_378_380-2] A ^b ^C Batchelor (1973), str. 378–380.

[Kirby-3] Kirby, B.J. (2010), Mikro- a nanoměřítková tekutinová mechanika: Transport v mikrofluidních zařízeních., Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-11903-0

[Anderson-4] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h Anderson, J. D. (2002). Moderní stlačitelný průtok. McGraw-Hill. p. 358–359. ISBN 0-07-242443-5.

[Lamb_3_6-5] Lamb (1994) §6 – §7, s. 3–6.

[6] Batchelor (1973), str. 161.

[7] Lamb (1994) §287, s. 492–495.

[8] Feynman, R. P.; Leighton, R. B.; Sands, M. (1964), Feynmanovy přednášky z fyziky, 2, Addison-Wesley, str. 40-3. Kapitola 40 má název: Tok suché vody.

[B_404_405-9] Batchelor (1973), str. 404–405.

[B_106_108-10] A ^b ^C ^d ^E ^F ^G ^h ⁱ Batchelor (1973), str. 106–108.

[B_409_413-11] A ^b ^C Batchelor (1973), str. 409–413.

[12] Kyrala, A. (1972). Aplikované funkce komplexní proměnné. Wiley-Interscience. str. 116–117. ISBN 9780471511298.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]